王建磐

（華東師范大學，上海 200062）

數(shù)學為體 文化為魂
——李大潛主編的《數(shù)學文化小叢書》第一、二輯讀后

王建磐

（華東師范大學，上海 200062）

李大潛主編的《數(shù)學文化小叢書》是面向青年學生的數(shù)學與數(shù)學文化課外讀物，每本小冊子有數(shù)學主題，但更注重蘊涵在數(shù)學知識中的文化價值．自2007年以來該叢書陸續(xù)出版了二十余本，其中前20本匯集成了第一、二輯．作者除了對這兩輯叢書做總體介紹外，還把20本小冊子做了分類，并對其中10本小冊子的數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學文化價值做了重點評述．在這些介紹和評述中，也滲透了作者對數(shù)學、數(shù)學文化和數(shù)學教育的一些見解．

數(shù)學主題；數(shù)學文化；課外讀物；讀后感

簡明生動的數(shù)學普及讀物對激發(fā)廣大青年學生對數(shù)學的興趣，乃至引導其中一部分人走上專業(yè)數(shù)學學習與數(shù)學工作之路，往往會比課堂教學起到更大的作用．當我還是一個中學生的時候，非常幸運地見到了老一輩數(shù)學家撰寫的一套《數(shù)學小叢書》1，每冊圍繞一個主題，篇幅短小，融知識性和趣味性于一體，深入淺出地展示了數(shù)學的魅力，讓我愛不釋手，欲罷不能．

五十多年后的今天，我非常欣喜地看到李大潛主編的《數(shù)學文化小叢書》二十余本小冊子又先后面世2，再一次為中學生和熱愛數(shù)學的青年奉上了精美的精神食糧．

與《數(shù)學小叢書》叢書相比，新的叢書標題上多了“文化”二字，它的總序也明確表明這套叢書是“本著弘揚和普及數(shù)學文化的宗旨而編輯出版的”．這也許就是兩套叢書立意和指向上的差異．事實上，由于時代的發(fā)展，基礎(chǔ)教育乃至高等教育的普及，數(shù)學在各種行業(yè)中已得到廣泛的應(yīng)用．于是，更多人學習數(shù)學了，也有更多人希望進一步拓展自己的數(shù)學知識，了解數(shù)學和自己所從事或所希望從事的數(shù)學或非數(shù)學的職業(yè)的聯(lián)系，了解數(shù)學的社會價值和文化價值．這使得近年來“數(shù)學文化”成為熱門話題，數(shù)學工作者為此做了許多努力，相關(guān)的課程、讀物、講座不斷出現(xiàn)．在這個新形勢下數(shù)學普及讀物不能不更多地關(guān)注數(shù)學文化．我以為，這是這套新叢書立意的社會背景和必然選擇．那么，什么是數(shù)學文化呢？也許這沒有公認的準確定義．但一般說來，數(shù)學知識產(chǎn)生與發(fā)展的過程，數(shù)學歷史上的重大事件與重要人物，數(shù)學知識背后的精神實質(zhì)以及蘊含在數(shù)學體系中的數(shù)學哲學、數(shù)學思想與方法論，數(shù)學的宏觀視角與內(nèi)部聯(lián)系，以及數(shù)學與外部世界的聯(lián)系和對外部世界的影響，特別是數(shù)學對科技發(fā)展和社會進步所起的舉足輕重的作用等，都是數(shù)學文化的重要內(nèi)容．數(shù)學文化不是游離在數(shù)學之外的東西，而是滲透在數(shù)學知識體系之中．因此，正如叢書總序指出的，“學好數(shù)學，……要著重領(lǐng)會數(shù)學的思想方法和精神實質(zhì)，了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中所起的關(guān)鍵作用，自覺接受數(shù)學文化的熏陶．”

我現(xiàn)在僅就《數(shù)學文化小叢書》的第一、第二輯的20本小冊子，談一些讀后感．

20本小冊子取材各異，風格多樣，縱橫捭闔，體現(xiàn)的文化側(cè)面也各不相同．我試把它們分為4大類．分類不是絕對的，有些小冊子兼具不同類別的特性．

第一類是以數(shù)學知識為核心，介紹其產(chǎn)生發(fā)展的來龍去脈，或其所蘊涵的哲學、美學的意義，或其在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用．《圓周率π漫話》（李大潛）、《黃金分割漫話》（李大潛）、《連分數(shù)與歷法》（徐誠浩）、《漫話е》（李大潛）、《奇妙的無窮》（李忠）、《對稱與群》（顧沛）、《同余式及其應(yīng)用》（徐誠浩）以及《千古第一定理——勾股定理》（蔡宗熹）等都可以歸為這一類．

1 這套《數(shù)學小叢書》的發(fā)端可以追溯到科學出版社1956年出版的《從楊輝三角談起》（華羅庚）和《對稱》（段學復）．上世紀60年代，北京數(shù)學會把這兩本著作連同其他一些著名數(shù)學家撰寫的科普小冊子合編成《數(shù)學小叢書》，由多家出版社分別出版．2002年科學出版社又重新結(jié)集出版了這套叢書，共18本（其中兩本是新增的）．

2 《數(shù)學文化小叢書》，高等教育出版社出版，第一輯共10本，2007—2009；第二輯共10本，2013；第三輯正在陸續(xù)面世中．

圓周率π與自然對數(shù)的底е是最常見的兩個超越數(shù)．人類對π的認識可以追溯到遙遠的古代，中國古代數(shù)學家如劉徽、祖沖之對π的研究有著輝煌的成就；常數(shù)е的歷史要短得多，它是隨著極限理論的發(fā)展在17世紀至18世紀才逐漸為人們所認識．但這兩個數(shù)卻是形影相隨，如下號稱“最美的數(shù)學公式”就把π和е（以及0、實數(shù)單位1和虛數(shù)單位i）聯(lián)系起來：еiπ+1=0．但這個公式的真正意義卻不是中學課本的內(nèi)容．《圓周率π漫話》和《漫話е》兩本小冊子把π和е的前世今生娓娓道來：第一本小冊子既介紹了中西方對π的研究的歷史，也介紹了π的若干性質(zhì)和經(jīng)典尺規(guī)作圖難題“化圓為方”的不可能；第二本小冊子從對數(shù)的發(fā)明和е的自然現(xiàn)身開始，進而展示了е在數(shù)學中的無處不在，最后介紹了大數(shù)學家歐拉在指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)表達式中“異想天開”地用復變量取代實變量，定義出復指數(shù)函數(shù)，從而得出上述“最美的數(shù)學公式”．這兩本小冊子要求的數(shù)學基礎(chǔ)不高，但又能給學生相對完整的數(shù)學知識和數(shù)學文化的熏陶．兩個似乎“素昧平生”的常數(shù)卻能如此美妙地聯(lián)系在一起，顯示了數(shù)學的內(nèi)在規(guī)律，給人以美的充分享受．

《同余式及其應(yīng)用》雖然內(nèi)容淺顯，寫作手法上卻像一本標準的數(shù)學讀物．給學生這樣的體驗也是有益的．特別值得提出的是，這本小冊子介紹了源于中國古代“算經(jīng)十書”之一的《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”問題及其解答的一個定理．這個定理國內(nèi)一般稱為“孫子定理”，而在國外卻有個更為響亮的名字——“中國剩余定理（Chinеsе Rеmаindеr Thеоrеm）”．后一名字可能更為確切，因為在《孫子算經(jīng)》之后，歷代不少的數(shù)學著作（如程大位的《算法統(tǒng)宗》、楊輝的《續(xù)古摘奇算法》、秦九韶的《數(shù)書九章》等）都對此有所闡述，這個定理是中華民族文明的體現(xiàn)．在國際數(shù)學界，不僅把關(guān)于整數(shù)同余方程組的這一定理的原始形式稱為“中國剩余定理”，還把它在現(xiàn)代數(shù)學的各種推廣都稱為“中國剩余定理”，這個定理的重要性可見一斑．

第二類則以數(shù)學史上的人或事為脈絡(luò)，展示數(shù)學發(fā)展的壯美圖景．《從趙爽弦圖談起》（李文林）、《費馬大定理的證明與啟示》（周明儒）、《笛卡爾之夢》（李文林）、《并不神秘的非歐幾何》（李忠）以及《走近高斯》（周明儒）等是屬于這一類的．

其中李文林的《笛卡爾之夢》給我留下深刻的印象．初看標題，讀者很可能會把它看成介紹笛卡爾通過引入坐標系、把幾何問題代數(shù)化的過程；或者，如果讀者對笛卡爾的著作《指導思維的法則》有所了解的話，會把它看成介紹笛卡爾追求“通用數(shù)學”，以期尋找發(fā)現(xiàn)真理的普遍方法的思想過程．其實，在這本小冊子中，作者以笛卡爾的夢為楔子，以笛卡爾對數(shù)學普遍方法的追求為脈絡(luò)，對數(shù)學中的“幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題算法化，算法問題程序化，程序問題機械化”的思想與實踐做了全面的闡述．算法是古代中國數(shù)學的特色，有著輝煌的成就；中國當代數(shù)學家吳文俊在現(xiàn)代科學技術(shù)的高平臺上更進一步對數(shù)學問題的程序化和機械化進行了深入的研究，登上了科學的高峰．吳文俊的方法既是中國數(shù)學傳統(tǒng)的繼承，也是笛卡爾思想的實踐．這本小冊子所介紹的數(shù)學發(fā)展始于中國，終于中國，卻又深刻地反映了四百多年前一個德國哲學家、數(shù)學家的思想，中西不同的數(shù)學體系對數(shù)學本質(zhì)的共同的理解，是很值得深思的．

《并不神秘的非歐幾何》也是很有特色的一本小冊子．非歐幾何在初學者眼里是非常神秘的和另類的，簡直匪夷所思．但作者用很小的篇幅闡述了從歐幾里得第五公設(shè)獨立性的研究導致非歐幾何的誕生的過程，介紹了非歐幾何的基本理論特征及其模型和應(yīng)用．這里至少給讀者展現(xiàn)了數(shù)學理論的兩方面特征：一是數(shù)學追求建立數(shù)學理論體系的基礎(chǔ)的嚴密性和簡潔性（對歐幾里得第五公設(shè)的質(zhì)疑）；二是好的數(shù)學體系有其內(nèi)在的發(fā)展動力與發(fā)展邏輯，并且這樣的發(fā)展與描述客觀世界的需求是一致的（非歐幾何的誕生及其應(yīng)用）．

第三類借助數(shù)學史料和數(shù)學問題，闡述學習數(shù)學、發(fā)現(xiàn)與發(fā)展數(shù)學中的方法，給數(shù)學學習者與研究者以啟示．這一類小冊子目前有《數(shù)學中之類比》（王培甫）和《從歐拉的數(shù)學直覺談起》（周明儒）．

談到學習數(shù)學的方法，在現(xiàn)在的以考試為中心的教育體制下，中學數(shù)學教育幾乎被簡單地等同于解題訓練，其方法基本是“機械分類，反復操練，強化記憶，快速反應(yīng)”，數(shù)學知識被分割成孤立的點，而數(shù)學體系之優(yōu)美，結(jié)構(gòu)之精細，應(yīng)用之廣泛，基本被忽略了，學生學習數(shù)學的興趣也被逐漸消磨掉．其實數(shù)學學習與研究所采用的方法是非常豐富多彩的，既有演繹推理和數(shù)值與符號計算等具體的數(shù)學解題中常用的方法，也有合情推理、試錯與調(diào)整、分析與綜合、歸納與約化等分析問題策略方面的方法，而建立形象，積累經(jīng)驗，形成直覺，宏觀把握，則是數(shù)學天地的遨游者與初學者相比技高一籌之處．

《數(shù)學中的類比》談的是類比推理（歸于合情推理范疇），舉出了許多數(shù)學概念、問題、定理在不同場合的類比和推廣，揭示了數(shù)學不同問題和不同分支的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)內(nèi)核．當然，讀者可以看出，類比不能代替數(shù)學證明中的演繹推理，類比得到的啟示必須通過演繹推理獲得證實，才能成為數(shù)學；讀者還可以看出，類比不是同義的反復，而是在新語境中尋找熟悉的脈絡(luò)，一旦成功，往往是“柳暗花明又一村”．如果讀者有更多的數(shù)學知識，還可以發(fā)現(xiàn)類比在數(shù)學中的更深入的運用和更精彩的案例，甚至一個數(shù)學分支可以是另一個數(shù)學分支的類比和模擬．例如，p-進數(shù)理論是實數(shù)理論的類比，不過對絕對值概念進行了“偷梁換柱”；代數(shù)群理論是李群理論的類比，不過把特征0的實數(shù)域或復數(shù)域換成了任意特征的域．

另一本小冊子（《從歐拉的數(shù)學直覺談起》）的主題是數(shù)學直覺．“直覺”是人的自然稟賦，如果僅就個人稟賦角度談直覺，無涉方法或方法論．但小冊子的作者最后提出了數(shù)學直覺的培養(yǎng)．我的理解是，作者通過歐拉作為數(shù)學家的曲折但輝煌的一生，以及歐拉的數(shù)學直覺的精彩案例的介紹，給后來人一個啟示：要真正理解數(shù)學，使已有數(shù)學知識形成經(jīng)驗組塊，并“通過那種以對經(jīng)驗的共鳴的理解為依據(jù)的直覺”（愛因斯坦語），以獲得新的可能的數(shù)學理論．作者希望讀者自覺地從這個角度培養(yǎng)自己的直覺，并把它運用到數(shù)學學習和研究中去．如果做到這一點，“數(shù)學直覺”就是我前面所說的“遨游者”水平的方法了．

第四類是在更廣闊的視野下展示數(shù)學在人類文明發(fā)展中所起的關(guān)鍵作用．這一類包括了兩本《遙望星空》（齊民友）以及《幾何學在文明中所扮演的角色》（項武義）、《二戰(zhàn)時期密碼決戰(zhàn)中的數(shù)學故事》（王善平、張奠宙）和《認識博弈的納什均衡》（王則柯）等．

編號1與2的兩本小冊子是齊民友撰寫的《遙望星空（一）》與《遙望星空（二）》．其中《遙望星空（一）》初看不像數(shù)學讀物．但是，歷史上數(shù)學知識產(chǎn)生和發(fā)展的一個重要動力便是天文和歷算，并反過來給予天文與歷算以極大的思想支撐和技術(shù)支持，因此天文和歷算的發(fā)展著著實實體現(xiàn)了數(shù)學的文化與工具內(nèi)涵．《遙望星空（一）》的副標題是“人類怎樣開始認識太陽系”，闡述了人類從地心說到日心說的認識過程，結(jié)束于開普勒的三定律，并介紹了伽俐略對近代科學的開創(chuàng)性偉大貢獻．這里數(shù)學主題沒有顯性表達，但數(shù)學無處不在：它不僅是先哲們提出理論、解釋現(xiàn)象的基礎(chǔ)，也是與論敵和宗教勢力戰(zhàn)斗的武器．當然，當時的數(shù)學還基本停留在歐幾里得為代表的初等幾何，難以揭示像開普勒三定律這樣的“惟象定律”后面的本質(zhì)，因此呼喚更新的數(shù)學和用更新數(shù)學表達的更深層次的規(guī)律．這更新的數(shù)學集中表現(xiàn)為微積分，而這更深層次的規(guī)律就是萬有引力定律．這就引出了《遙望星空（二）》的主題：牛頓、微積分、萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)．在簡介了牛頓的生平之后，作者花較大篇幅描述了微積分從誕生到完善的過程，然后回歸“星空”，介紹并證明了萬有引力定律．兩本小冊子一氣呵成，用不大的篇幅不僅給讀者描繪了人類認識宇宙的歷史進程，還揭示了數(shù)學在其中的關(guān)鍵作用．作者在繁復的歷史過程和浩如煙海的文獻中費盡心機，理出脈絡(luò)，既對歷史細節(jié)準確把握，又能簡明扼要地展示清晰的宏觀畫卷，是非常難能可貴的．

《幾何學在文明中所扮演的角色》是美籍華裔數(shù)學家項武義為紀念陳省身而寫的，是全套叢書中所涉及的數(shù)學較為高深的一本，因為它總是以小見大，從淺望深，以幾何學從古到今發(fā)展的一些例子，展示了幾何學在天文學（和《遙望星空》一樣，涉及了開普勒三定律和牛頓的萬有引力定律）和近代物理學中（拉格朗日最小原理、電磁的麥克斯韋理論、狹義相對論、纖維叢與規(guī)范場理論等）的應(yīng)用．這里已經(jīng)不僅僅是中學生所了解的幾何學了，一些更高深的幾何學內(nèi)容被引進來．雖然作者盡量使敘述通俗化，但我相信這些內(nèi)容的存在還是會給中學生的閱讀造成一定的困難．盡管這樣，如果從數(shù)學文化的角度，學生只要理解幾何學（或更廣義的數(shù)學）的現(xiàn)代發(fā)展是和現(xiàn)代科技的發(fā)展密切聯(lián)系的，數(shù)學的發(fā)展為現(xiàn)代科技發(fā)展提供了基礎(chǔ)和工具，反過來，現(xiàn)代科技的需要又為數(shù)學的進一步發(fā)展提供啟發(fā)和動力．理解這一點難度不大，更多的細節(jié)也作為學生進一步學習的啟發(fā)和動力吧．

總之，20本小冊子基本都有特定的數(shù)學主題，給讀者數(shù)學知識上的拓展，充分體現(xiàn)了數(shù)學是這套叢書之“體”；但小冊子的字里行間更充滿著數(shù)學主題所蘊涵的文化之“魂”，給人以超越數(shù)學知識的形而上的美妙體驗．由于篇幅的限制，我無法對其它各本小冊子做更多的介紹，即使是重點評述的幾本小冊子，也有意猶未盡的感覺．本文僅是拋磚引玉，讀者應(yīng)該自己去體驗閱讀這套叢書的樂趣．

叢書的裝幀設(shè)計也是有特色的．小開本便于攜帶和利用零星時間閱讀；10冊一輯，盒裝為封，又可以收藏．兩輯分別以天壇祈年殿和長城作為封面，富有數(shù)學內(nèi)涵和民族韻味，低調(diào)內(nèi)斂，樸實無華，又非常契合數(shù)學文化的主題．

李大潛院士身體力行，不僅是叢書的主編，還是其中3本小冊子的作者．他的淵博的知識、精彩的文筆，為叢書增色不少．許多國內(nèi)名家熱心為青年讀者寫普及讀物，繼承了老一輩數(shù)學家的傳統(tǒng)，又在新時代背景下發(fā)揚光大．他們的努力應(yīng)該得到社會和讀者的贊譽．我也應(yīng)該好好地向他們學習．

Mathematics the Substance, while Culture the Soul——A Review of Booklets on Mathematical Culture, Series I & II, Edited by Li Tatsien

WANG Jiаn-раn
(Eаst Chinа Nоrmаl Univеrsity, Shаnghаi 200062, Chinа)

Booklets on Mathematical Culture еditеd by Li Tаtsiеn sеrvе аs оut-оf-сlаss rеаding mаtеriаl in mаthеmаtiсs аnd mаthеmаtiсаl сulturе fоr yоung studеnts. Eасh bооklеt invоl(xiāng)vеs а mаthеmаtiсаl thеmе, with mоrе аttеntiоn раid tо thе сulturаl vаluе hiddеn in thе mаthеmаtiсаl knоwlеdgе. Sinсе 2007, mоrе thаn 20 bооklеts hаvе bееn рublishеd, аnd thе first 20 аrе соl(xiāng)lесtеd аs Sеriеs I аnd Sеriеs II. Веsidеs аn оvеrаll intrоduсtiоn tо thе twо sеriеs, thе аuthоr саtеgоrizеs thе 20 bооklеts аnd furthеrmоrе, hе sеlесts 10 оut оf thе 20 аnd mаkе mеtiсulоus rеviеw оn thеir mаthеmаtiсаl соntеnts аnd сulturаl vаluеs. Thе аuthоr’s viеws оn mаthеmаtiсs, mаthеmаtiсаl сulturе аnd mаthеmаtiсs еduсаtiоn аrе аlsо rеflесtеd in thе intrоduсtiоn аnd rеviеws.

mаthеmаtiсаl thеmе; mаthеmаtiсаl сulturе; оut-оf-сlаss rеаding mаtеriаl; bооk rеviеw

G40-055

：A

：1004-9894（2015）02-0001-03

[責任編校：周學智]

2015-01-18

王建磐（1949—），男，福建古田人，中國首批18個博士學位獲得者之一，華東師范大學教授，數(shù)學和數(shù)學教育博士生導師，國際歐亞科學院院士，曾任華東師范大學校長、上海市數(shù)學會理事長和國際數(shù)學教育委員會執(zhí)行委員會成員等職，目前為國際數(shù)學教育委員會中國代表，主要從事代數(shù)群與量子群的表示理論和數(shù)學教育的研究．