曹玉松

(許昌學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 許昌 461000)

風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率下的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

曹玉松

(許昌學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 許昌 461000)

摘要：在均值-方差保費(fèi)計(jì)算原理下給出了最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)策略，從保險(xiǎn)人的角度，給出了基于風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率最大的自留風(fēng)險(xiǎn)比率和額度， 使得保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率最大.

關(guān)鍵詞：期望-方差計(jì)算原理；風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本率；比例再保險(xiǎn)；停止損失再保險(xiǎn)

再保險(xiǎn)指保險(xiǎn)公司分散風(fēng)險(xiǎn)的重要途徑，保險(xiǎn)公司通過(guò)購(gòu)買(mǎi)再保險(xiǎn)可以有效的進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，一般地，保險(xiǎn)人通過(guò)支付一定的保費(fèi)購(gòu)買(mǎi)再保險(xiǎn)人的再保險(xiǎn)，相應(yīng)的將一部分風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)移，當(dāng)索賠一旦發(fā)生，再保險(xiǎn)人根據(jù)再保險(xiǎn)合同的預(yù)定，承擔(dān)相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn).

再保險(xiǎn)過(guò)程中面臨著兩個(gè)重要問(wèn)題，一是再保險(xiǎn)合同衡量標(biāo)準(zhǔn)，Pesonen.M[1]討論了原保險(xiǎn)人的方差風(fēng)險(xiǎn)的最小，本文討論了風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整收益率最大下的最優(yōu)再保險(xiǎn)，20世紀(jì)70年代，美國(guó)信孚銀行提出利用風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整收益率衡量銀行投資風(fēng)險(xiǎn)，此后風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率被廣泛應(yīng)用在績(jī)效評(píng)估和風(fēng)險(xiǎn)測(cè)算中，其計(jì)算公式為

第二個(gè)問(wèn)題是保費(fèi)原則，即如何計(jì)算再保險(xiǎn)的保費(fèi).Kaluszka[2]研究了在π(R)=(1+β)ER(Y)保費(fèi)計(jì)算原理下的方差風(fēng)險(xiǎn)最小的停止損失再保險(xiǎn).Young[3,4]基于Wangs保費(fèi)計(jì)算原理下，討論了使得期末效用最大的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)，更一般地情況參見(jiàn)文獻(xiàn)[5-7].

本文的保費(fèi)計(jì)算原理采取期望值保費(fèi)計(jì)算原理，即

P(R)=ER(Y)+βDR(Y).

(1)

1模型

設(shè)Y原保險(xiǎn)人在最初簽訂合同的整個(gè)索賠，Y為隨機(jī)變量，非負(fù)；R為再保險(xiǎn)人承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，即整個(gè)索賠分為

Y=R(Y)+R1(Y)，

R(Y)為保險(xiǎn)人的自留風(fēng)險(xiǎn)，R1(Y)為保險(xiǎn)人的分出風(fēng)險(xiǎn).

則保險(xiǎn)人從保單持有人針對(duì)風(fēng)險(xiǎn)X收取的保費(fèi)為EX+βDX，針對(duì)轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)R1(X)，再保險(xiǎn)保費(fèi)為

ER1(X)+βDR1(X).

通過(guò)再保險(xiǎn)后，保險(xiǎn)人的剩余保費(fèi)收入為

PR1=EX+βDX-ER1(X)-βDR1(X)=ER(X)+β(DX-DR1(X)).

簽訂再保險(xiǎn)合同后，保險(xiǎn)人的期末期望利潤(rùn)為

期望利潤(rùn)=PR1-ER(X)=β(DX-DR1(X)).

為了獲得期望收益，保險(xiǎn)人需要額外補(bǔ)入資本以提高償付能力，根據(jù)巴塞爾II協(xié)議，我們采用給定置信水平下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值來(lái)計(jì)算保險(xiǎn)公司的償付能力.則對(duì)自留風(fēng)險(xiǎn)R(X)，置信水平α，償付能力要求資本為

VaRR(X)(α)=inf{y:P(R(X)>y)<1-α).

從概率論的角度而言，VaRR(X)(α)為自留風(fēng)險(xiǎn)的α分位點(diǎn).因此保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本為償付能力要求資本減去剩余保費(fèi)部分，即：

風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本=VaRR(X)(α)-PR=VaRR(X)(α)-ER(X)-β(DX-DR1(X)) .

風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率定義為

(2)

本文的目的就是找到最優(yōu)的比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)使得(2)式最大.

對(duì)于VaRR(X)(α)，我們給出如下引理

引理1如果R(X)是一個(gè)連續(xù)的單調(diào)非減函數(shù)，則

VaRR(X)(α)=R(VaRX(α)).

2最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

目前，最常用的兩種再保險(xiǎn)策略是比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)，本文我們對(duì)這兩種常見(jiàn)的再保險(xiǎn)策略分別來(lái)討論如何選取自留風(fēng)險(xiǎn)的比例和自留風(fēng)險(xiǎn)的額度，使得保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)資本收益率最大.

2.1最優(yōu)比例再保險(xiǎn)

設(shè)保險(xiǎn)人的自留風(fēng)險(xiǎn)比例為1-q，即再保險(xiǎn)函數(shù)為

R(x)=(1-q)x.

保險(xiǎn)人的自留風(fēng)險(xiǎn)為R1(x)=qx，相應(yīng)地我們通過(guò)選擇合適的自留風(fēng)險(xiǎn)比例1-q使得風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率最大.對(duì)于比例再保險(xiǎn)，可得結(jié)論：

定理1

若再保險(xiǎn)合同為傳統(tǒng)的比例再保險(xiǎn)，則保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)資本調(diào)節(jié)收益率與自留風(fēng)險(xiǎn)比率無(wú)關(guān)，其值為

證明

2.2停止損失再保險(xiǎn)

停止損失再保險(xiǎn)是另外一種常用的再保險(xiǎn)函數(shù)，若自留額度為b，則原保險(xiǎn)人承保不超過(guò)b的損失，超過(guò)b的部分由再保險(xiǎn)人承擔(dān).即

相應(yīng)地我們通過(guò)選擇合適的自留風(fēng)險(xiǎn)額b使得風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率最大.對(duì)于該問(wèn)題，我們又如下結(jié)論.

定理2保險(xiǎn)人采用停止損失再保險(xiǎn)

(1)當(dāng)VaRX(α)

(2)VaRX(α)>b時(shí)， 此時(shí)知RORAC是b的增函數(shù)，b越大，RORAC越大，所以在b=VaRR(X)(α)時(shí)，取得最大.

(1)當(dāng)VaRX(α)

(2)VaRX(α)>b時(shí)，

此時(shí)知RORAC是b的增函數(shù)，b越大，RORAC越大，所以在b=VaRR(X)(α)時(shí)，取得最大，最大為

3結(jié)語(yǔ)

本文的構(gòu)建了風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率最大下的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)模型，主要考慮了再保險(xiǎn)過(guò)程中比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)，在保費(fèi)采取方差計(jì)算原理的假設(shè)下，得到了比例再保險(xiǎn)函數(shù)的自留風(fēng)險(xiǎn)比例及停止損失再保險(xiǎn)中的自留風(fēng)險(xiǎn)額度.根據(jù)上述論證可得如下結(jié)論，若選擇比例再保險(xiǎn)，保險(xiǎn)人自留風(fēng)險(xiǎn)越多，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率越大，保險(xiǎn)人應(yīng)該根據(jù)自己的資本盡可能多的保留風(fēng)險(xiǎn).

參考文獻(xiàn)：

[1]PESONEN M L. Optimal reinsurances[J]. Scandinavian Actuarial Journal, 1984, 84(1): 65-90.

[2]KALUSZKA M. Optimal reinsurance under mean-variance premium principles [J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2001, 28(1): 61-69.

[3]YOUNG V R. Optimal insurance under Wang’s premium principle[J]. Insurance: Mathematics and Ecomonics, 1999, 25(2): 109-122.

[4]YOUNG V R. Discussion of Christofides’ conjecture regarding Wang’s premium principle [J]. ASTIN Bulletin, 1999, 29(2): 191-195.

[5]GAJEK L, ZAGRODNY D. Insurer’s optimal reinsurance strategies[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2000, 27(1): 105-122.

[6]BUHLMANN H. Mathematical Methods in Risk Theory [M]. New York： Springer, 1970.

[7]DAYKIN C D, PENTIKAINEN T, PESONEN M. Practical Risk Theory for Actuaries [M]. London： Chapman&Hall, 1993.

Optimal Reinsurance Strategies under Return

On Risk Adjusted Capital

CAO Yu-song

(SchoolofComputerScience&Technology,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

Abstract:The paper addresses to the question of how to purchase proportional reinsurance and stop-loss reinsurance in order to get the insurer’s maximum risk-adjusted capital rate. In the paper, the contract is priced according to the mean-variance principle. The paper obtains the optimal retention ration and the optimal retention level respectively.

Key words:mean-variance principle; risk-adjusted capital rate; proportional reinsurance; stop-loss reinsurance

責(zé)任編輯：趙秋宇

中圖分類(lèi)號(hào)：O211.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-9824(2015)02-0019-04

作者簡(jiǎn)介：曹玉松(1981—)，女，河南濮陽(yáng)人，副教授，碩士，研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì).

基金項(xiàng)目：河南省科技廳基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(132300410323)；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15A11041);許昌市科技局基礎(chǔ)與前沿項(xiàng)目(1404016)

收稿日期：2014-03-22