陳亞敏

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)自律性、條理性、創(chuàng)造性及精確性的一門學(xué)問。高斯說：“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的女王?！苯逃壹永飳幷f：“數(shù)學(xué)是思維的體操?！币惶煤玫臄?shù)學(xué)課，能讓人回味無窮，也許并不一定每一個(gè)環(huán)節(jié)都無可挑剔，但是它一定清簡而不淺薄，精致而不拘束，綻放自己獨(dú)特的魅力，讓學(xué)生穿行其中，自由生長。

一、讓課堂綻放簡約之美

學(xué)數(shù)學(xué)，其實(shí)是學(xué)習(xí)一種化繁為簡、解決問題要有依據(jù)的數(shù)學(xué)思想，是在學(xué)習(xí)一種思維方法。因此，數(shù)學(xué)課堂要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，體會(huì)到數(shù)學(xué)那種凝練的思考之美，那種簡約的表達(dá)之美。

1.去同存異，讓“比較”化繁為簡

比較數(shù)據(jù)的大小，是數(shù)學(xué)中常見的思維訓(xùn)練。從低年級“直接比較數(shù)的大小”到中高年級“比較算式的大小”，從簡單到復(fù)雜，思考的要求也越來越高。但是，如果我們教給孩子們“比較”的方法，亦能讓學(xué)生感受到“比較”所帶來的簡約之美。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)六年級補(bǔ)充習(xí)題上有這樣一道題：

小蘭家有兩個(gè)不同的圓柱形水桶，高都是40厘米，大水桶的內(nèi)直徑是32厘米，小水桶的內(nèi)直徑是大水桶的，用大水桶提6桶水可以把水缸裝滿，用小水桶提8桶水能把水缸裝滿嗎？

這是小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域的內(nèi)容，考查學(xué)生對圓柱的體積（容積）計(jì)算是否能正確應(yīng)用，難度不大，但是按照常規(guī)的比較，這一題的計(jì)算過程十分繁瑣，計(jì)算結(jié)果數(shù)值較大。具體如下：

①計(jì)算水缸的容積（即6個(gè)大桶的容積）

3.14×（32÷2）2×40×6=192921.6（立方厘米）。

②計(jì)算8個(gè)小桶的容積

32×=24（厘米），

3.14×（24÷2）2×40×8=144691.2（立方厘米）。

③比較192921.6﹥144691.2。

得出結(jié)論：用小水桶提8桶水不能把水缸裝滿。

結(jié)果，全班只有寥寥幾人做對，算式列對了，但是計(jì)算錯(cuò)誤了。

當(dāng)時(shí)，我就引導(dǎo)學(xué)生：是否需要通過這么繁瑣的計(jì)算來比較？比較6大桶水的體積和8小桶水的體積大小，其實(shí)只要比較什么？

學(xué)生開始討論，很快得出結(jié)論：兩個(gè)算式中都要乘以3.14和40，可以“對消”掉。等于是兩個(gè)算式同時(shí)縮小3.14×40倍，這樣比較兩個(gè)算式的大小可以簡化成比較162×6和122×8的大小了。

受此啟發(fā)，孩子們很快又想出另外的方法，只要看6大桶和8小桶水的體積比，這樣計(jì)算更簡單，可以約分，=。由此看出，8小桶水的體積只是6大桶水體積的。

我讓學(xué)生概括一下這次比較后的收獲。學(xué)生說，在比較兩個(gè)算式的大小時(shí)，不一定非要比較結(jié)果，可以根據(jù)算式的特點(diǎn)進(jìn)行比較。如果兩個(gè)算式中有相同的數(shù)值，可以“對消”掉，直接比較算式中不同的部分，這樣比較起來更加簡單。

也許，學(xué)生的表達(dá)不是很精確，但是我想他們已經(jīng)能領(lǐng)略其中的意思了：那就是比較可以“去同存異”，比較兩者不同的地方。

當(dāng)然，我還得引導(dǎo)學(xué)生去突破另一個(gè)思維定勢，那就是如果要比較出具體的數(shù)據(jù)大小，是否也可以直接計(jì)算算式中不同的部分？

我追問：那你認(rèn)為6大桶水比8小桶水的體積多多少？

一些學(xué)生脫口而出：162×6-122×8=1536-1152=384（立方厘米）。

“是嗎？”我反問到，“請好好想想！”

“不對！”一些原本做對的同學(xué)很激動(dòng)地站起來，“應(yīng)該是192921.6-144691.2=48230.4（立方厘米）。”

“怎么出現(xiàn)了兩種不同的答案？難道我們剛才比較的方法錯(cuò)了嗎？”

學(xué)生沉默了一會(huì)，開始在小組里展開討論，很快，答案出來了：比較的方法沒錯(cuò)，當(dāng)我們不需要比較出兩者的具體數(shù)據(jù)時(shí)，完全可以用這樣的方法。但是，其實(shí)3.14和40并沒有真的“消掉”，在具體計(jì)算時(shí)，它們還是存在的，所以需要比較具體的結(jié)果時(shí)，它們必須乘進(jìn)去。當(dāng)然算式可以簡寫成3.14×40×（162×6-122×8）=3.14×40×384=48230.4（立方厘米）！

許多剛才有困惑的孩子露出了恍然大悟的表情，有幾個(gè)在嘀咕：看來數(shù)學(xué)還蠻有趣的，比較算式的大小還有這樣的學(xué)問。這次比較的思維歷程，給學(xué)生留下了深刻的印象，在接下來的學(xué)習(xí)中，開始從原來的機(jī)械比較走向化繁為簡的比較，我想這也是學(xué)生的思維從表面轉(zhuǎn)向深入的一種體現(xiàn)！

2.理清關(guān)系，讓思考化繁為簡

數(shù)學(xué)中，其實(shí)還有很多錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，在空間與圖形這一領(lǐng)域顯得尤為突出。但是一旦找準(zhǔn)了圖形之間的關(guān)系，對于解決一些數(shù)學(xué)問題就會(huì)事半功倍了！

例如：已知圖1中，正方形的面積是10平方厘米，你知道圓的面積是多少嗎？

結(jié)果，很多孩子找不到“線索”——無法算出圓的直徑。因此有些學(xué)生最終沒能給出答案。

其實(shí)，學(xué)生的思維受到了定勢的影響，認(rèn)為要算圓的面積必須先算出圓的半徑。遇到這樣的題，老師要引導(dǎo)學(xué)生盡量從圓與正方形之間的關(guān)系上下工夫，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這是正方形內(nèi)最大的圓，圓的直徑就是正方形的邊長。如果將正方形這樣分（如圖2），那么10÷4=2.5，這個(gè)2.5就是圓的半徑的平方。因此，這個(gè)圓的面積就是3.14×2.5=7.85（平方厘米）。

當(dāng)然，解決這樣的問題還可以抓住一些特定的關(guān)系。在蘇教版數(shù)學(xué)第十二冊第102頁中，有這樣的探究（如圖3）：

有兩個(gè)邊長都是6厘米的正方形，在其中一個(gè)正方形里畫一個(gè)最大的圓，另一個(gè)正方形里畫4個(gè)相等的盡量大的圓。

（1）圓的半徑各是多少？

（2）兩個(gè)正方形里圓的面積各是多少？各占正方形面積的百分之幾？

（3）如果像這樣在正方形里面畫9個(gè)相等的盡量大的圓，這9個(gè)圓的面積之和占正方形面積的幾分之幾？你發(fā)現(xiàn)了什么？endprint

當(dāng)我們引導(dǎo)學(xué)生逐一探究上面的3個(gè)問題，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：像這樣在正方形里畫1、4、9、16……個(gè)盡可能大的圓，這些圓的面積之和都占正方形面積的78.5%。

利用這個(gè)知識，我們可以很快算出圖2中圓的面積是10×78.5%=7.85（平方厘米）。

因此，如果我們引領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中存在的各種關(guān)系，可以很好地幫助學(xué)生理解題意，尋找合理的解題策略，從復(fù)雜繁瑣的無效思考中解脫出來，感受數(shù)學(xué)思考中化繁為簡帶來的美妙體驗(yàn)！

簡約的課堂總在不經(jīng)意間顯得輕松和簡潔。這里，簡潔的教學(xué)方法、明快的教學(xué)節(jié)奏的背后，是教師深邃的教學(xué)思考和經(jīng)驗(yàn)?！昂喍槐　保拍芟闯觥鞍姿魈锾?，碧峰出山后”的清簡味道。

二、讓課堂綻放“厚實(shí)”之美

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感是我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的焦點(diǎn)，也是新課標(biāo)倡導(dǎo)的理念。數(shù)學(xué)特級教師潘小明曾經(jīng)用“冰山原理新解”對這三者之間的關(guān)系做過形象的說明：數(shù)學(xué)知識是顯性的，是浮出水面的“山頭”;數(shù)學(xué)情感是隱性的，是在水面下面支撐著整座“山”的重要基座;而數(shù)學(xué)思維是一個(gè)重要的中介，數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)情感都是寓于數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的。我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該注重創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的問題情境，以此來構(gòu)建一個(gè)有寬度、有深度的“思維場”，它開放而蘊(yùn)含數(shù)學(xué)的價(jià)值，它能激活經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生意向，激發(fā)創(chuàng)造。

1.構(gòu)建有寬度的思維場

長方體與正方體的體積公式，除了有一般與特殊的關(guān)系（正方體是特殊的長方體，正方體的體積公式是長方體體積公式的特例），還有相同的內(nèi)容——它們都可以用“底面積×高”來計(jì)算?！堕L方體和正方體的體積》這節(jié)課就是讓學(xué)生掌握這一公式。我是這樣開展教學(xué)的：

（1）觀察復(fù)習(xí)中的圖（如圖4）。

師：根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為這里的長×寬、棱長×棱長分別求的是什么？

生：下面的面積。

師：是的，我們一般稱這樣的面為底面。長方體和正方體底面的面積，叫作它們的底面積。

（2）認(rèn)識長方體不同位置放置時(shí)的底面。

師出示一長方體盒子。提問：老師這兒有一個(gè)長方體，我這樣放你能指出它的底面嗎？這樣放呢？

（在不同的位置擺放長方體，每擺放一次讓學(xué)生進(jìn)行指認(rèn)哪個(gè)面是底面。）

提問：在剛才這個(gè)操作中，你有什么新的認(rèn)識？

生：擺放位置不同，得到的底面也不同。

師：說得好，這個(gè)認(rèn)識對我們解決實(shí)際問題非常重要。

對底面的拓展認(rèn)識，打破了學(xué)生的思維定勢，使學(xué)生更加靈活而全面地認(rèn)識到只要擺放位置不同，長方體的六個(gè)面都可以作為底面，這為今后靈活解決體積計(jì)算問題作了很好的鋪墊。其實(shí)，這一環(huán)節(jié)所呈現(xiàn)的問題情境把學(xué)生的思維由對底面的單一認(rèn)識拓展到比較全面的認(rèn)識，構(gòu)建了一個(gè)有寬度的思維場。

2.構(gòu)建有深度的思維場

教育學(xué)告訴我們：數(shù)學(xué)既能鍛煉人的形象思維能力，又能鍛煉人的邏輯思維能力，主體思維善于在事物的不同層次上向縱、橫兩個(gè)方向發(fā)展，向問題的深度和廣度發(fā)展，以此達(dá)成對事物的全面認(rèn)識。為此，有經(jīng)驗(yàn)的老師不但注重構(gòu)建有寬度的思維場，還努力向深處發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建一個(gè)既有寬度又有深度的數(shù)學(xué)思維場。

在《長方體和正方體的體積》一課的教學(xué)中，我設(shè)計(jì)了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：

課件展示，幫助學(xué)生理解什么叫“橫截面”。

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，組織全班交流：木料的橫截面就是這個(gè)長方體的哪個(gè)面？木料的長與豎起來的長方體的高有什么關(guān)系？通過這道題你對底面積和高有什么新的理解嗎？（底面積和高有時(shí)可以變成橫截面面積和長）

出示下圖：

這幅圖中已知了哪個(gè)面的面積？如果知道哪條棱的長度就可以求出它的體積了？（根據(jù)學(xué)生的回答出示：寬8分米，你能口算出這個(gè)長方體的體積嗎？）

學(xué)生列式計(jì)算后交流。

提問：從這兩個(gè)問題中，你又有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：解決這個(gè)問題可以把前面看作底面，把寬看作高。

師：對，不一定要以水平放置的面作底面。應(yīng)根據(jù)問題的需要來決定，哪個(gè)面利于問題的解決，就確定哪個(gè)面為底面，與它垂直的棱的長度就是它對應(yīng)的高。

這一環(huán)節(jié)，通過計(jì)算橫截面的面積，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識這個(gè)面，并體會(huì)長方體、正方體的體積公式還能演變成長×橫截面面積、橫截面面積×棱長。而拓展題所創(chuàng)設(shè)的問題情境，則讓學(xué)生運(yùn)用知識遷移領(lǐng)悟到：可以根據(jù)解決問題的實(shí)際需要來確定底面，同時(shí)把與底面垂直的棱的長度作為高，以此把長方體和正方體的體積計(jì)算挖掘得更加深刻，從而把學(xué)生的思維引向深入。通過這樣的處理，學(xué)生對體積公式有更充實(shí)、更豐富、更深入的體驗(yàn)。

“厚實(shí)”的數(shù)學(xué)課堂，總會(huì)在不經(jīng)意間顯示其獨(dú)特的魅力，它延伸著課堂的寬度和深度，揭示著數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，幫助學(xué)生提高思維的凝練，從而提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。你看不到故意，但是你能感受它的深度。

三、讓課堂綻放靈動(dòng)之美

新課程標(biāo)準(zhǔn)最大的變化在于明確指出要關(guān)注課堂生成。我們可以有精彩的預(yù)設(shè)，可以有完美的引導(dǎo)，但是一切的一切還在于“精而不拘”——要在精彩的預(yù)設(shè)中把目光投向?qū)W生在課堂教學(xué)中的實(shí)際表現(xiàn)，投向?qū)W生的生成，投向教學(xué)與生活的聯(lián)系。

教學(xué)“打折問題”時(shí)，有一節(jié)專門的練習(xí)課，備課時(shí)我聯(lián)想到平時(shí)一直有“買幾送幾”的促銷活動(dòng)，再加上曾經(jīng)在練習(xí)中做過一個(gè)類似的“買四送一”的練習(xí)，想到要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“合理選擇”，我便設(shè)計(jì)了一個(gè)拓展性的內(nèi)容。商場正在促銷：A商場籃球打八折，B商場籃球買三送一。

如果單從字面上理解：B商場其實(shí)是打了七五折。但是，它有一個(gè)附帶條件：就是要買滿3個(gè)才送。因此，為了讓學(xué)生更加全面地理解“合理選擇”，我設(shè)計(jì)了三個(gè)問題：

（1）小明買一個(gè)籃球，選哪個(gè)商場？（因?yàn)橹毁I一個(gè)，所以選擇A商場。）endprint

（2）學(xué)校買10個(gè)籃球，選哪個(gè)商場？（如果在A商場買，實(shí)際付8個(gè)籃球的錢;如果在B商場買，也是付8個(gè)的錢，先買6個(gè)，送到了2個(gè)，再買2個(gè)，所以隨便選哪個(gè)商場都是一樣的。）

（3）學(xué)校買20個(gè)籃球，選哪個(gè)商場？（如果在A商場買，實(shí)際付16個(gè)籃球的錢;如果在B商場買，只要付15個(gè)的錢，因?yàn)槟芩偷?個(gè)，所以選B商場比較合理。）

問題出來后，孩子們開始熱烈討論起來，對于第1個(gè)，基本沒有意見，有的孩子解釋道：盡管表面上看B商場是打七五折，但是總不能為了送一個(gè)去買三個(gè)吧，小明只要一個(gè)球就可以了，所以選A商場。

第三個(gè)也沒有大的爭議。

對于第二個(gè)，可能有點(diǎn)難度，討論了一會(huì)兒，我啟發(fā)了一下才說到哪個(gè)商場買都是一樣的。這時(shí)，小李高高舉手，他說他有不同想法，于是請他談?wù)勏敕?。他說，在B商場買6個(gè)，送了2個(gè)，這樣有8個(gè);然后跑到A商場買2個(gè)，還打到了八折。這樣不是更便宜??！

是啊，有的學(xué)生開始附和。說實(shí)話，我不得不佩服學(xué)生短時(shí)間內(nèi)思考出來的方法，比我花了心思的預(yù)設(shè)要精彩！

有的學(xué)生反駁：如果兩個(gè)商場離得很遠(yuǎn)，還得開著汽車去，那還是不要跑來跑去了！

也有道理！

驚奇于學(xué)生的思維，也很驚喜地聽到這樣與眾不同的答案。合理選擇本身沒有一定正確的答案，我的本意就是引導(dǎo)學(xué)生了解生活中的實(shí)際問題，在面對各種打折時(shí)作出合理的選擇，既然學(xué)生已經(jīng)能這樣思考了，那么我的教學(xué)目標(biāo)也就達(dá)成了。

我表揚(yáng)了小李：你這樣選擇確實(shí)比我的更便宜！當(dāng)然，生活中的合理選擇還有更多的情況，有的人在選擇的時(shí)候，也許不只是看重價(jià)格;有的人在選擇時(shí)，還注重商家的信譽(yù);有的人在選擇時(shí)，可能有數(shù)量的需求等等，所以大家以后也要做出：合理選擇！

研究“蘇派教學(xué)”的專家們指出：課堂可以精耕細(xì)作，但精致不是追求極致，不是追求游離內(nèi)容的形式，也不是拘泥于無意義的細(xì)節(jié)，而是在宏觀和全局的視野中去設(shè)計(jì)和生成，“活實(shí)兼重”?；钪幸妼?shí)，實(shí)中有活，在活與實(shí)的相諧中，追索教學(xué)的智慧……是的，“精而不拘”才能使我們的數(shù)學(xué)課堂靈動(dòng)而不僵化。

“簡而不薄，精而不拘”的數(shù)學(xué)課堂看似簡潔、隨意，但它會(huì)聚焦課堂教學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的形成，關(guān)注數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的形成。作為一名數(shù)學(xué)教師，要有深邃的數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)思考的能力。只有這樣，才能真正讓數(shù)學(xué)課堂清簡、靈動(dòng)、厚實(shí)而又精致。？筻endprint