黃美建

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?！毙W(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域中涉及的數(shù)學(xué)思想有很多，下面筆者從幾何形體教學(xué)中有效落實系統(tǒng)思想方面，談一些自己的心得。

所謂系統(tǒng)思想，就是要求人們以系統(tǒng)要素相互關(guān)聯(lián)的觀點，從系統(tǒng)與要素之間、要素與要素之間及系統(tǒng)與外部環(huán)境之間的相互關(guān)聯(lián)和相互作用中考察對象，得出研究和解決問題的最佳方案。系統(tǒng)思想對數(shù)學(xué)問題的觀察、分析是從宏觀和大處著手，整體把握，化零為整的。

一、解析公式——感悟系統(tǒng)思想

小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域，學(xué)生第一次接觸系統(tǒng)思想是在三角形面積公式的學(xué)習(xí)中，由于處于這個年齡段的學(xué)生的認(rèn)知特點對單個元素敏感度較高，對整體認(rèn)識、系統(tǒng)認(rèn)識的敏感度較低，再加上是第一次接觸系統(tǒng)思想，所以他們自身的認(rèn)識是蒼白的。因此，在總結(jié)出三角形的面積公式后，教師要有意識地解析公式：“在三角形面積公式中，知道哪些條件就可以求出三角形的面積？”學(xué)生會很自然地會說出“知道底和高，就能求出三角形的面積”。這時，教師要及時進行追問：“還知道什么條件也能求出三角形的面積？”如果學(xué)生答不出來，教師要有意識地引導(dǎo)，并用彩色粉筆在三角形面積公式“底×高”的下面劃一下，強化學(xué)生的感官刺激，讓學(xué)生直觀感受到“知道底×高的積，也能求出三角形的面積”，初步感悟系統(tǒng)思想。

在幾何形體的面積、周長或體積計算中，還有幾處用到系統(tǒng)思想：一是梯形的面積計算。在學(xué)生總結(jié)出梯形的面積公式后，教師要及時引導(dǎo)學(xué)生自主解析公式。由于學(xué)生有解析三角形面積公式的經(jīng)驗，大部分學(xué)生能從單個元素的角度計算梯形面積，而且有一部分優(yōu)秀學(xué)生能從系統(tǒng)的角度解析梯形面積公式，如“知道梯形上底與下底的和與高，也能求出梯形的面積”。如果學(xué)生說出“知道梯形上底加下底的和乘高的積，也能求出梯形的面積”，教師就要肯定學(xué)生，因為這時學(xué)生已經(jīng)知道從系統(tǒng)、整體上把握梯形的面積公式。二是長方體、圓柱體的體積計算。教材已經(jīng)用公式總結(jié)長方體、圓柱體的體積計算，即長方體、正方體、圓柱體都可以用“底面積×高”求出體積。三是圓的面積公式。由于學(xué)生已有解析公式的經(jīng)驗積累，課堂教學(xué)中，教師可以放手讓學(xué)生自主解析圓的面積公式。這時學(xué)生不僅能從單個元素的角度進行思考，如“知道圓的半徑就能求出圓的面積”，而且能從系統(tǒng)中把握圓的面積公式，通過r2求出圓的面積。課堂教學(xué)中，通過第一次教師“引”出系統(tǒng)思想、第二次師生合作“導(dǎo)”出系統(tǒng)思想、第三次學(xué)生“說”出系統(tǒng)思想，使學(xué)生在多次的數(shù)學(xué)活動中感悟系統(tǒng)思想，并且印象深刻。

二、練習(xí)嘗試——理解系統(tǒng)思想

學(xué)生能從整體上把握公式，如果沒有相應(yīng)的鞏固練習(xí)，并不能真正理解系統(tǒng)思想。“我看見了，就忘記了;我聽見了，就知道了;我做過了，就理解了?！边@里說明聽只能聽懂，做才能會做。課堂教學(xué)中，教師要讓學(xué)生真真切切地理解系統(tǒng)思想，可通過練習(xí)這一途徑達到目標(biāo)。所以，在學(xué)生解析公式之后，教師可以先讓學(xué)生做“已知單個元素，求面積”的基本練習(xí)，再提供“已知整體，求面積”的練習(xí)。

例如，教學(xué)“三角形的面積”一課時，教師出示這樣一道題：“如圖1，已知長方形ABDC的面積是24平方厘米，三角形AEC的面積=（ ? ? ? ? ? ）平方厘米?！碑?dāng)學(xué)生解答之后，教師要讓學(xué)生說說是怎么想的、為什么這樣做，引導(dǎo)學(xué)生明確已知長方形的面積，也就是知道了三角形AEC底乘高的積，再通過“積÷2”就能求出三角形的面積。這樣教學(xué)，使學(xué)生在做數(shù)學(xué)、說數(shù)學(xué)的過程中理解系統(tǒng)思想。

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圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2 ? ? ? ? ? ? ? ?圖3

又如，在學(xué)生學(xué)習(xí)梯形面積之后，教師可出示以下有關(guān)系統(tǒng)思想的基本練習(xí)：“如圖2，張大爺用籬笆圍一塊梯形菜地，一面靠墻。籬笆全長48米，這塊地的面積是多少平方米？”再如：“如圖3，已知正方形面積是20平方厘米，求圓的面積?！边@些練習(xí)都是已知一個整體、一個系統(tǒng)，求面積的直接應(yīng)用。通過直接應(yīng)用，加深學(xué)生對系統(tǒng)思想的直觀認(rèn)識，有效促進學(xué)生理解系統(tǒng)思想。

三、系統(tǒng)應(yīng)用——深化系統(tǒng)思想

“學(xué)無定法，貴在得法”，這個法就是數(shù)學(xué)思想。要讓教材體系中的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦中的個性化的數(shù)學(xué)思想，系統(tǒng)的變式發(fā)展訓(xùn)練是一條有效途徑。系統(tǒng)的變式發(fā)展訓(xùn)練，既能讓內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想外顯化，又能適當(dāng)降低思維難度，給學(xué)生自主學(xué)習(xí)搭建一個“腳手架”，有利于學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)思想，提升思維能力。因此，在練習(xí)課或復(fù)習(xí)課中，教師要有意識地安排系統(tǒng)的變式練習(xí)，促進學(xué)生思維的發(fā)展。

例如，學(xué)習(xí)圓的面積計算后，教師可以出示一些運用r2求面積的系統(tǒng)變式練習(xí)，使學(xué)生突破原有的思維定式，發(fā)展思維能力，有效促進數(shù)學(xué)思想——系統(tǒng)思想的內(nèi)化。

例1.如圖4，正方形OABC的面積是10平方厘米，O是圓心。求圓的面積。

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圖4

例1為基礎(chǔ)題，由于有新授時的解析、嘗試練習(xí)時的體驗，教師可放手讓學(xué)生獨立完成，這樣使學(xué)有困難的學(xué)生在優(yōu)生匯報中經(jīng)歷一次“再學(xué)習(xí)”的過程，逐步領(lǐng)會系統(tǒng)思想。

例2.如圖5，正方形ABCD的面積是40平方厘米，求圓的面積。

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圖5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖6

例2為發(fā)展題，但由于有例1的鋪墊，優(yōu)生能自覺地把例2轉(zhuǎn)化為例1——畫兩條與正方形鄰邊互相垂直的直徑（如圖6），這樣就把大正方形平均分成了四個小正方形，可以求出每個小正方形的面積，也就是求出r2的值，再運用r2的值求出圓的面積。從例1到例2，例1是例2的數(shù)學(xué)模型。在中等生面對題目束手無策時，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分比較圖5和圖4，提示學(xué)生能否將圖5和圖4建立聯(lián)系，進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。在優(yōu)生匯報后，教師要及時引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)，使他們深化所學(xué)的系統(tǒng)思想、化歸思想、模型思想。

例3.如圖7，已知正方形ABDC的面積是20平方厘米，求圓的面積。

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圖7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖8

例3為變式發(fā)展題，學(xué)生初看此題無從下手。此時，教師要給予適時的引導(dǎo)：“求圓的面積，要知道什么條件才可以解答？”生：“r或r2?！苯處熢賳枺骸邦}目中沒有告知圓的半徑，有沒有辦法創(chuàng)造出半徑？”“創(chuàng)造出的半徑能否和正方形的面積建立聯(lián)系？有怎樣的聯(lián)系？”通過教師的暗示與引導(dǎo)，學(xué)生就會想到畫兩條對角線（如圖8），創(chuàng)造出圓的4條半徑，這樣就把正方形平均分成4等分，每個小三角形的面積是20÷4=5（平方厘米），由于r×r÷2=r2÷2=5，所以r2=10，這樣就可以求出圓的面積。

通過系統(tǒng)的變式發(fā)展訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生的思維經(jīng)歷了知識發(fā)生、發(fā)展的過程，并通過反思、梳理、調(diào)控，使學(xué)生在腦海中形成一個含金量很高的思維鏈。上述教學(xué)，通過三個例題的比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這一系列圖形題的共性——用r2求圓面積，從而深化了系統(tǒng)思想。

總之，要讓教材中的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想，教師要充分挖掘教材，讓學(xué)生適時感悟。如果學(xué)生感悟不到或感悟不深，教師要適時給予引導(dǎo)，必要時可以明示，然后通過系統(tǒng)訓(xùn)練，使學(xué)生理解、深化所學(xué)的數(shù)學(xué)思想。

（責(zé)編 藍 天）endprint