王洪霞

摘 要 事件的互斥、互逆和獨(dú)立性是概率論中重要的基本概念，為了便于初學(xué)者很好地掌握這三個(gè)概念，本文力圖從基本概念出發(fā)循序漸進(jìn)地提出幾個(gè)問題，以問答的形式展示出來。

關(guān)鍵詞 事件的互斥 互逆 獨(dú)立性

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Problems and Thinking of "Events' Mutually Exclusive，

Reciprocal and Independence"

WANG Hongxia

（Statistical Institute of He'nan University of Economics and Law， Zhengzhou， He'nan 450002）

Abstract Mutually exclusive events， reciprocal and independence is an important basic probability theory concepts， in order to facilitate a good grasp of beginners these three concepts， this paper tries gradual departure from the basic concept raised several questions， in the form of quiz show come out.

Key words mutually exclusive events； reciprocal； independence

在概率論的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：很多初學(xué)者對(duì)“事件的互斥、互逆和獨(dú)立性”的概念理解不透，經(jīng)常將互斥和獨(dú)立性搞混。 為了便于大家更好地學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，筆者力圖從基本概念出發(fā)循序漸進(jìn)地提出了幾個(gè)問題，以問答的形式展示出來。 這些問題不但涉及到基本概念，而且又有較全面的方法性問題，應(yīng)該是初學(xué)者的疑難所在。

1 問題與解答

下面我們展示出在“事件的互斥、互逆和獨(dú)立性”的學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題。

問題（1）：事件的互斥、獨(dú)立與獨(dú)立性有何異同？

答：互斥是指任意兩個(gè)事件間的一種關(guān)系，即若 = ，則稱與互斥；互逆是指與 之間的關(guān)系，即若 = ， = ，則稱為互逆，并記 = 。兩個(gè)事件與相互獨(dú)立是由概率來定義的，即若（）= （）（），則稱與相互獨(dú)立。因此，若事件與互逆，則與一定互斥；反之不然。例如，以1，2，…，9這九個(gè)數(shù)中任取一數(shù)，記 = “取得偶數(shù)”， = “取得奇數(shù)”， = “取得1或3”，則與既互逆又互斥，但與互斥，而與并非互逆。另外，互斥和互逆與獨(dú)立都沒有直接關(guān)系。

問題（2）：若 = ，那么兩兩互斥嗎？

答：否。兩兩互斥是指 = ， = ，并且 = 。但由 = 推不出上述等式成立。 例如，擲一枚骰子，令 = “出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”， = “出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于4”， = “出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則有 = ，但 ={2}≠ 。

問題（3）：若，，…，互斥，那么其中任意個(gè)事件互斥嗎？

答：互斥。事實(shí)上，由互斥定義知：，，…，互斥 ，，…，兩兩互斥 ，，…，中個(gè)事件兩兩互斥 這個(gè)事件互斥。

問題4：事件“都發(fā)生”與“都不發(fā)生”互逆嗎？

答：否。 “都發(fā)生” = ，“都不發(fā)生” = 。 由狄莫根定律：≠ = ，故事件與并非互逆。

例如，從1，2，…，9這九個(gè)數(shù)字中任取一數(shù)，樣本空間 = {1，2，…，9}，記 = “取得偶數(shù)”， = “取得的倍數(shù)”，有 = {2，4，6，8}， = {3，6，9}。而 = {6}， = {1，3，5，7，9}{1，2，4，5，7，8} = {1，5，7}。故事件與不互逆。

問題（5）：事件“都發(fā)生”與“不都發(fā)生”互逆嗎？

答：互逆。 事實(shí)上，以上兩事件可分別表示為及。 故由狄莫根定律易知 = 。 由此可知事件及互逆。

問題（6）：事件“至少發(fā)生一個(gè)”與“最多發(fā)生一個(gè)”互逆嗎？

答：否。 可以看出：“至少發(fā)生一個(gè)” = 。“最多發(fā)生一個(gè)” = 。故所述兩事件不互逆。

問題（7）：若事件互逆，那么是否構(gòu)成完備事件組？

答：構(gòu)成。所謂，，…，構(gòu)成完備事件組，當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)滿足

因此，互逆構(gòu)成完備事件組。

問題（8）：任意事件與不可能事件是否既互斥又獨(dú)立？

答：是。因?yàn)?= ，所以與互斥，又（） = （） = 0 = （）（），因此與相互獨(dú)立。

問題（9）：若與獨(dú)立，與獨(dú)立，那么與是否獨(dú)立？

答：否。因?yàn)槭录莫?dú)立不具有傳遞性。例如，擲一均勻骰子，令 = “出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”， = “出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于3”， = “出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則有 = {2，4，6}， = {1，2}， = {1，3，5}， = {2}， = {1}， = 。于是（） = ，（） = ，（）（下轉(zhuǎn)第57頁）（上接第52頁） = ，（） = ，（） = ，（） = 0。

從而可知（） = （）（），（） = （）（），（）≠（）（）。

這說明：獨(dú)立且與獨(dú)立，但與并不獨(dú)立。由此，可以得知，事件兩兩獨(dú)立只能與等價(jià)，而不能省略其中任何一個(gè)等式。

問題（10）：由個(gè)事件兩兩獨(dú)立能否導(dǎo)出這個(gè)事件相互獨(dú)立？

答：否。例如：一個(gè)均勻的四面體，有三個(gè)面各涂上紅、黃、黑三種顏色，第四個(gè)面同時(shí)涂上三種顏色，投擲此四面體，觀察底面的顏色。記 = “底面為紅色”， = “底面為黃色”， = “底面為黑色”。易知（） = （） = （） = ；（） = （） = （） = ；（） = 。

可見，（） = （）（），（） = （）（），（） = （）（）。但（）≠（）（）（）。這說明兩兩獨(dú)立，但是這三個(gè)事件不相互獨(dú)立。

問題（11）：若（） = （）（）（），那么是否相互獨(dú)立？

答：否。例如盒中有8張紙條，一張寫1，兩張寫2，兩張寫3，一張寫1、2，一張寫1、3，最后一張寫1、2、3。從中任取一張，記 = “得1”， = “得2”， =“得3”。顯見（） = （） = （） = ，（） = = （）（）（）。

然而，（） = ≠ = （）（）。

注：?jiǎn)栴}（10）和問題（11）說明：三個(gè)事件相互獨(dú)立，等價(jià)于下面四個(gè)等式同時(shí)成立：。

對(duì)于多個(gè)事件的獨(dú)立性也是如此。

2 結(jié)束語

“事件的互斥、互逆與獨(dú)立性”歷來是概率論教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)部分。學(xué)好此部分內(nèi)容可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題。概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)事件與概率的意義，加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象。

經(jīng)過第2節(jié)中11個(gè)問題的解答與思考，相信大家對(duì)“事件的互斥、互逆與獨(dú)立性”都有了較深入的理解。

基金項(xiàng)目：本文由河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金資助

參考文獻(xiàn)

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