張健

摘 要： 作者在對高一復習時（當時已經(jīng)學習了人教版必修1全部內容和必修4“三角函數(shù)”部分內容），和學生一起學習了函數(shù)的凹凸性.本節(jié)課由課本中一道習題出發(fā)，學生運用自身已學知識，在教師引導下，一步一步探究出函數(shù)的凹凸性，了解了凹凸函數(shù)的概念，掌握并有效利用了該性質.在探究過程中，可謂“步步驚心，步步受益”.最后，師生共同收獲了自信、成功和快樂.

關鍵詞： 探究性學習課 凹凸性 自主學習

《課程標準》指出，數(shù)學探究即數(shù)學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數(shù)學問題，自主探究、學習的過程.“探究式”是一種全新的數(shù)學課堂教學模式，與布魯諾的“發(fā)現(xiàn)式”教學法在本質上是一致的.葉瀾教授在“中國基礎教育改革跨世紀思考”中倡導：必須超出和突破“教學特殊認識論”的傳統(tǒng)框架.重新全面地認識課堂教學，構造新的課堂教學觀.這就要求教師在教學中，充分挖掘例題習題的“可探究元素”，讓學生借助原有的知識經(jīng)驗，感悟數(shù)學問題產(chǎn)生的原因，以及解決問題的方法.

下面這個案例是筆者的教學實錄.

一、追本溯源，初探凹凸函數(shù)的概念

師：請同學們完成課本（人教版第45頁）第5題.

教師巡視查看學生做題方法，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)都是用代數(shù)方法證明，也看到有些同學在那里畫圖思考.

師：同學們完成得又快又好，請大家想一想，從幾何視角，為什么會產(chǎn)生這種不等式，你還能舉出一些具體例子嗎？

（表揚永遠是最好的鼓勵方式，拋出問題，先從具體例子開始，由具體到抽象，從特殊到一般的數(shù)學研究方法.）

眾生畫圖，思考.

生1：y=x.

大家齊笑，覺得這個太簡單，就是剛才的y=g（x）特例.

師：其實是一很好的個例子，它最簡單，又是二次函數(shù)的代表.

看到一個同學要發(fā)言，立即示意他發(fā)言.

生2：不等式的兩邊分別表示兩個自變量函數(shù)值的均值和兩個自變量均值的函數(shù)值.

師：有點拗口了，說得很好，是算術平均值.

生2：對，從圖像上看，只要函數(shù)圖像時曲線，就會產(chǎn)生不等式.

師：非常棒，一語道破天機.

生2一直是班上比較能發(fā)現(xiàn)問題的學生，此時他很激動，拉開了全班同學的思緒.

生3：那函數(shù)可多了，我們高中學的函數(shù)都是的.

生4：比如y=，y=x.

生5：例如y=sinx，y=2.

生6：還有y=lgx，y=lnx.

生7：大家舉的例子很多，但是不等式的方向是不一樣的.

師：大家討論得很好.

生8：那還要注意函數(shù)圖像不能連續(xù)波動，也就是所討論的區(qū)間內，圖像不能連續(xù)波動.

師：完美補充.

師：下面給出凹凸函數(shù)的定義.

師：下面再看看凹凸函數(shù)的圖像特征：

生9：由圖像可知，下凸函數(shù)在其定義域中任意兩點x，x之間曲線位于相應弦AB的下方，而上凸函數(shù)在其定義域中任意兩點x，x之間曲線位于相應弦AB的上方.

師：這是從形狀特征的幾何解釋，大家再從圖像切線斜率特征方面看看？

生10：下凸函數(shù)在其定義域里作曲線切線，隨x增大切線斜率增大；而上凸函數(shù)在其定義域里作曲線切線，隨x增大切線斜率減小.

師：回答得很好，我們也畫出圖像.

師：猶如我們平時爬上坡，下凸函數(shù)是越來越難爬，坡度越來越陡；而上凸函數(shù)是越來越容易爬了，坡度越來越平緩.

通過教師的引導，大家踴躍參與，由一道習題發(fā)散出我們所要研究的性質，通過同學們的探究，初步了解了凹凸函數(shù)的定義和圖像特征.通過學生自己所見所識，發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律性，更能深刻把握問題的關鍵.

師：好的，定義了凹凸函數(shù)，你還能再挖掘一下它的性質嗎？

生：明露難色.

師：比如前面學習過“增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)”，或者從圖像變換方面……

生11：上凸函數(shù)+上凸函數(shù)=上凸函數(shù).

生12：下凸函數(shù)+下凸函數(shù)=下凸函數(shù).

生13：要求在同一定義域內.

師：是的.

生14：函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=-f（x）的凹凸性相反.

師：很好，完善下表述.

生15：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為上凸函數(shù)，則函數(shù)y=-f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，反之也成立.

師：與函數(shù)單調性一樣，函數(shù)的凹凸性也是函數(shù)的局部性質.

師：也正是這個性質呢，有的文獻資料上只討論上凸函數(shù)的性質，原因在此.

這一環(huán)節(jié)，讓學生對函數(shù)的凹凸性的認識，從剛才的具體實例和圖像中解放出來，對該性質有了更深刻的理解.通過教師引導，學生類比出相應性質，也反映出學生具有舉一反三、觸類旁通的能力.只要引導合理，就能激活學生思維，探究出“步步精彩”.

二、函數(shù)凹凸性概念的進一步延伸

師：剛才我們完成了階段性的勝利（學生此時露出欣慰的笑容），下面繼續(xù)探討.

師：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)（例如f（x）=x），則在D上任意取x，x，x，是否有相應的不等式呢，即自變量增加到三個.

生16：應該有不等式f（）≤.

生17：經(jīng)驗算，函數(shù)f（x）=x滿足該不等式.

猜想，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理很重要的方法.猜想，也需要很大勇氣，是通過類比，推理再加上大膽的假設，是一個高強度的思維過程，并且需要一個強大的內心.

這種推廣，就像是一個新的產(chǎn)品，如果有一個人認可了，接著就有第二個，第三個，然后更多……

師：能否繼續(xù)增加自變量呢？endprint

生18：當然，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取x，x，x，x，有

f（）≤.

生19：要推廣到n個自變量了呢.

生20：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取n個自變量，x，x，…x，有

f（）≤.

師：大家推廣得很好，上凸函數(shù)有類似結論.

師：對于凹凸函數(shù)的一般定義，大家課下可參考一下資料，下面我們就要用性質了.

三、從做題一小步到出題一大步的能力提高

師：請大家嘗試證明下列不等式：

生：（1）可設f（x）=x，證明略.

（2）可設f（x）=x，證明略.

（3）可設f（x）=|x|，證明略.

（4）可設f（x）=2，證明略.

師：同學們出色地完成了習題，下面請根據(jù)凹凸函數(shù)的定義和性質，自己編題.

生21：已知x，y∈R，求證：lg≥或者變形為lg（x+y）≥lg2+.

生22：已知a，b∈R，求證：≥.

生23：已知α，β∈（0，π），求證：sin≥.

生24：已知a，b∈R，求證：≥.

生25：已知a，b∈R，求證：a+b+≤a++b+

（可設f（x）=x+（x>0））.

師：太好了，我們同學們對凹凸函數(shù)性質的理解更進一步了，并且能把已學的基本初等函數(shù)很好運用在這里，實在是太好了.

學生通過對剛才例題解答，凹凸函數(shù)性質的理解，能夠很好地把例題中的幾個基本初等函數(shù)置換成其他的基本初等函數(shù)，構成不等式，并且有的還做了變形，體現(xiàn)學生活學活用、靈活變換的能力，也讓學生在寓學于樂的學習氛圍之中在教師的提醒、點撥下，做得更出色.

師：同學們能不能再構造出新穎的、特別的不等式？可考慮用前面探討出的性質.

生26：已知f（x）=-x+cosx，設x，x∈（-，），求證：f（）≥.

師：這個不等式構造得好，哪個來說說？

生27：這個不等式利用了剛才我們探究出來的性質，可設p（x）=-x，q（x）=cosx在（-，）均為下凸函數(shù)，其和也為下凸函數(shù)，所以有不等式成立.

師：嗯，說得好.我再來看看我們大家寫的.

生28：已知x，y，z∈R，求證：≤（++）（可設f（x）=）.

生29：已知A，B，C為銳角，求證：tan≤（可設f（x）=tanx）.

生30：已知a，a，…，a∈R，求證：tan≥（可設f（x）=lnx）.

師：大家已經(jīng)能夠把自變量推廣到三個以上了.

此時已經(jīng)下課了，可大家仍在構造中……

對于函數(shù)的凹凸性學習，可讓學生課下查閱相關資料，看看更一般的定義，以及相關證明方法和其他方面的應用，讓這種探究從課堂上延續(xù)到課堂外，讓這種探究精神培養(yǎng)起來，堅持下去.《課程標準》鼓勵學生進行數(shù)學探究活動，所以只要教師堅持“以科學探究為課程改革的突破口”的理念，就能在數(shù)學課堂教學中引導學生通過探究的方法學習知識，從而真正實現(xiàn)對學生探究能力的培養(yǎng)，也有助于培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新能力.

參考文獻：

[1]數(shù)學課程標準研制組.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[2]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陳光立.新課程高中教師手冊·數(shù)學[M].南京：南京大學出版社，2012.

[4]沈紅霞.探究能力培養(yǎng)例說.數(shù)學通報[J].2011，VOL50（10）.

[5]王奇南.讓課堂教學煥發(fā)出生命活力——一道習題探究教學案例[J].中學數(shù)學教學參考，2013（7）.endprint

生18：當然，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取x，x，x，x，有

f（）≤.

生19：要推廣到n個自變量了呢.

生20：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取n個自變量，x，x，…x，有

f（）≤.

師：大家推廣得很好，上凸函數(shù)有類似結論.

師：對于凹凸函數(shù)的一般定義，大家課下可參考一下資料，下面我們就要用性質了.

三、從做題一小步到出題一大步的能力提高

師：請大家嘗試證明下列不等式：

生：（1）可設f（x）=x，證明略.

（2）可設f（x）=x，證明略.

（3）可設f（x）=|x|，證明略.

（4）可設f（x）=2，證明略.

師：同學們出色地完成了習題，下面請根據(jù)凹凸函數(shù)的定義和性質，自己編題.

生21：已知x，y∈R，求證：lg≥或者變形為lg（x+y）≥lg2+.

生22：已知a，b∈R，求證：≥.

生23：已知α，β∈（0，π），求證：sin≥.

生24：已知a，b∈R，求證：≥.

生25：已知a，b∈R，求證：a+b+≤a++b+

（可設f（x）=x+（x>0））.

師：太好了，我們同學們對凹凸函數(shù)性質的理解更進一步了，并且能把已學的基本初等函數(shù)很好運用在這里，實在是太好了.

學生通過對剛才例題解答，凹凸函數(shù)性質的理解，能夠很好地把例題中的幾個基本初等函數(shù)置換成其他的基本初等函數(shù)，構成不等式，并且有的還做了變形，體現(xiàn)學生活學活用、靈活變換的能力，也讓學生在寓學于樂的學習氛圍之中在教師的提醒、點撥下，做得更出色.

師：同學們能不能再構造出新穎的、特別的不等式？可考慮用前面探討出的性質.

生26：已知f（x）=-x+cosx，設x，x∈（-，），求證：f（）≥.

師：這個不等式構造得好，哪個來說說？

生27：這個不等式利用了剛才我們探究出來的性質，可設p（x）=-x，q（x）=cosx在（-，）均為下凸函數(shù)，其和也為下凸函數(shù)，所以有不等式成立.

師：嗯，說得好.我再來看看我們大家寫的.

生28：已知x，y，z∈R，求證：≤（++）（可設f（x）=）.

生29：已知A，B，C為銳角，求證：tan≤（可設f（x）=tanx）.

生30：已知a，a，…，a∈R，求證：tan≥（可設f（x）=lnx）.

師：大家已經(jīng)能夠把自變量推廣到三個以上了.

此時已經(jīng)下課了，可大家仍在構造中……

對于函數(shù)的凹凸性學習，可讓學生課下查閱相關資料，看看更一般的定義，以及相關證明方法和其他方面的應用，讓這種探究從課堂上延續(xù)到課堂外，讓這種探究精神培養(yǎng)起來，堅持下去.《課程標準》鼓勵學生進行數(shù)學探究活動，所以只要教師堅持“以科學探究為課程改革的突破口”的理念，就能在數(shù)學課堂教學中引導學生通過探究的方法學習知識，從而真正實現(xiàn)對學生探究能力的培養(yǎng)，也有助于培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新能力.

參考文獻：

[1]數(shù)學課程標準研制組.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[2]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陳光立.新課程高中教師手冊·數(shù)學[M].南京：南京大學出版社，2012.

[4]沈紅霞.探究能力培養(yǎng)例說.數(shù)學通報[J].2011，VOL50（10）.

[5]王奇南.讓課堂教學煥發(fā)出生命活力——一道習題探究教學案例[J].中學數(shù)學教學參考，2013（7）.endprint

生18：當然，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取x，x，x，x，有

f（）≤.

生19：要推廣到n個自變量了呢.

生20：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取n個自變量，x，x，…x，有

f（）≤.

師：大家推廣得很好，上凸函數(shù)有類似結論.

師：對于凹凸函數(shù)的一般定義，大家課下可參考一下資料，下面我們就要用性質了.

三、從做題一小步到出題一大步的能力提高

師：請大家嘗試證明下列不等式：

生：（1）可設f（x）=x，證明略.

（2）可設f（x）=x，證明略.

（3）可設f（x）=|x|，證明略.

（4）可設f（x）=2，證明略.

師：同學們出色地完成了習題，下面請根據(jù)凹凸函數(shù)的定義和性質，自己編題.

生21：已知x，y∈R，求證：lg≥或者變形為lg（x+y）≥lg2+.

生22：已知a，b∈R，求證：≥.

生23：已知α，β∈（0，π），求證：sin≥.

生24：已知a，b∈R，求證：≥.

生25：已知a，b∈R，求證：a+b+≤a++b+

（可設f（x）=x+（x>0））.

師：太好了，我們同學們對凹凸函數(shù)性質的理解更進一步了，并且能把已學的基本初等函數(shù)很好運用在這里，實在是太好了.

學生通過對剛才例題解答，凹凸函數(shù)性質的理解，能夠很好地把例題中的幾個基本初等函數(shù)置換成其他的基本初等函數(shù)，構成不等式，并且有的還做了變形，體現(xiàn)學生活學活用、靈活變換的能力，也讓學生在寓學于樂的學習氛圍之中在教師的提醒、點撥下，做得更出色.

師：同學們能不能再構造出新穎的、特別的不等式？可考慮用前面探討出的性質.

生26：已知f（x）=-x+cosx，設x，x∈（-，），求證：f（）≥.

師：這個不等式構造得好，哪個來說說？

生27：這個不等式利用了剛才我們探究出來的性質，可設p（x）=-x，q（x）=cosx在（-，）均為下凸函數(shù)，其和也為下凸函數(shù)，所以有不等式成立.

師：嗯，說得好.我再來看看我們大家寫的.

生28：已知x，y，z∈R，求證：≤（++）（可設f（x）=）.

生29：已知A，B，C為銳角，求證：tan≤（可設f（x）=tanx）.

生30：已知a，a，…，a∈R，求證：tan≥（可設f（x）=lnx）.

師：大家已經(jīng)能夠把自變量推廣到三個以上了.

此時已經(jīng)下課了，可大家仍在構造中……

對于函數(shù)的凹凸性學習，可讓學生課下查閱相關資料，看看更一般的定義，以及相關證明方法和其他方面的應用，讓這種探究從課堂上延續(xù)到課堂外，讓這種探究精神培養(yǎng)起來，堅持下去.《課程標準》鼓勵學生進行數(shù)學探究活動，所以只要教師堅持“以科學探究為課程改革的突破口”的理念，就能在數(shù)學課堂教學中引導學生通過探究的方法學習知識，從而真正實現(xiàn)對學生探究能力的培養(yǎng)，也有助于培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新能力.

參考文獻：

[1]數(shù)學課程標準研制組.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[2]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陳光立.新課程高中教師手冊·數(shù)學[M].南京：南京大學出版社，2012.

[4]沈紅霞.探究能力培養(yǎng)例說.數(shù)學通報[J].2011，VOL50（10）.

[5]王奇南.讓課堂教學煥發(fā)出生命活力——一道習題探究教學案例[J].中學數(shù)學教學參考，2013（7）.endprint