馮杰 陳瑤 具香辰 張媛媛 劉東旭

摘 要 文章討論了人機系統(tǒng)模型，利用定常線性系統(tǒng)及線性算子半群的相關理論，證明了在一定條件下，系統(tǒng)的瞬時可用度（）單調遞減，從而保證了系統(tǒng)的可靠性。

關鍵詞 半群 瞬時可用度 單調性 指數(shù)穩(wěn)定性

中圖分類號：O211.62 文獻標識碼：A

Instantaneous Availability Analysis of Repairable Human-machine Systems

FENG Jie， CHEN Yao， JU Xiangchen， ZHANG Yuanyuan， LIU Dongxu

（Department Mathematics， College of Science， Yanbian University， Yanji， Jilin 133000）

Abstract This paper discusses the man-machine system model using invariant linear systems and linear operator semi group theory， proved that under certain conditions， the instantaneous availability （） of the system monotonically decreasing， thus ensuring the reliability of the system.

Key words semi group； instantaneous availability； monotonic； exponential stability

1 模型方程描述

所謂可修復系統(tǒng)就是指當構成系統(tǒng)的部件故障或劣化時能通過各種維修手段使其恢復功能的一類系統(tǒng)，它是可靠性理論中研究的一個重要內(nèi)容。人機系統(tǒng)是對作為主體的人和所控制的各種類型機器的統(tǒng)稱。隨著科技的發(fā)展，人機系統(tǒng)日益龐大，機器設備的高精度、高性能使人們所擔負的工作責任更加重大，存在著由人為失誤引起的重大事故發(fā)生的可能性，因此我們不但在實際工作中，而且應在理論上解決人機系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻[1]用Laplace變換研究了此模型，給出了Laplace變換公式且指出系統(tǒng)穩(wěn)定解的存在性；文獻[2]證明了系統(tǒng)動態(tài)非負解是存在唯一的。文獻[3]討論了系統(tǒng)動態(tài)解的漸近穩(wěn)定性；文獻[4]利用算子半群的性質證明了系統(tǒng)解具有指數(shù)穩(wěn)定性；文獻[5]研究了單部件可修復系統(tǒng)的瞬時可用度的單調性問題，本文將利用算子半群理論研究人機儲備系統(tǒng)的瞬時可用度的單調性。

此可修復系統(tǒng)由一個運行部件和一個熱儲備部件組成，運行部件發(fā)生故障將用儲備部件替換，故障后的部件能被及時維修，熱儲備部件在不替換情況下保持良好狀態(tài)。系統(tǒng)各狀態(tài)間轉換關系如圖1。

此模型可用以下微分-積分方程描述：

（1.1）

為計算方便我們令：

= + + + ， = + + + ， = + + + ，

= [ ， ， ， ， ， ]，

圖1

則上述系統(tǒng)模型（1.1）可描述為Banach空間中一個抽象的Cauchy問題：

（1.2）

2 系統(tǒng)解的穩(wěn)定性

定理2.1 設是相應于0本征值對應的一個非負本征向量，且滿足|||| = 1，則系統(tǒng)的非負動態(tài)解趨向于系統(tǒng)的穩(wěn)定解，即，其中為系統(tǒng)的初值。

定理2.2 設是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，滿足條件，那么對，，及任意給定的>0，滿足 + <0，存在>0，使得，其中（）為系統(tǒng)算子生成的-半群。

由上述定理可知，系統(tǒng)解具有漸近穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性，穩(wěn)定速度較快，并且。但如果瞬時可用度（）在[0，+）上不單調，則不能保證在[0，+）上總有（）≥，此時系統(tǒng)的牢固可用度未必是，系統(tǒng)將不可靠。

下面我們討論瞬時可用度的單調性問題。

3 系統(tǒng)瞬時可用度的分析

在此部分，我們設（） = ， = 3，4，5，其中為常數(shù)值，則系統(tǒng)（1.1）可化為：

令

則此方程可抽象為

其中

解（3.4）-（3.5）得

（3.6）

由此可求得，其中依照文獻[3]中的定義，（ = 1，2，3）為的特征值。

由于的特征值均為負，易驗證（）<0，即（）單調遞減。

下面我們先選取一組數(shù)據(jù)，取不同的來模擬系統(tǒng)瞬時可用度（表1）：

表1

表2

利用Matlab可做出以上數(shù)據(jù)對應的瞬時可用度的數(shù)值模擬圖像（Ⅰ）（Ⅱ） （Ⅲ） ：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

下面我們再取不同數(shù)據(jù)對比瞬時可用度（表2）：

以上數(shù)據(jù)對應的瞬時可用度的模擬圖像為（Ⅰ） （Ⅳ）：

（Ⅰ）

（Ⅳ）

因此，由于系統(tǒng)的瞬時可用度（）在[0，+）上單調遞減，故總有（）≥。在此模型中，，即牢固可用度就是穩(wěn)態(tài)可用度，系統(tǒng)是可靠的。

基金項目：延大科合字（2013）第17號

參考文獻

[1] LAM Yeh.” The rule occurren of failure.” Journal of Applied Probability，1997.34（1）：234- 247.

[2] A bbs B S， Kuo W. Stochastic effectiveness model for human-machine systems. IEEE Trans.Systems，M an， Cybernetics， 1990.20（4）：826-834.

[3] Wang Li-Qiao，Zhang Yu-feng， Piao Dong-zhe. The Asymptotic Stability and Reliability of the Solution of a Repairable Standby Human-Machine System. Mathematics In Practice And Theory，2007.37（19）：118-126.

[4] Dongxu Liu， Wenyi Si， Zhe Yin. Exponential Stability Analysis of the Solution of a Repairable Human-Machine System. Scientific Journal of Control Engineering，2014.4（3）：86-93.

[5] 劉東旭，司文藝，袁玉嬌.一類單部件可修復系統(tǒng)的穩(wěn)定性及可靠性分析[J].延邊大學學報（自然科學版），2014.40（1）：15-19.