周有濤

[摘要]本文主要針對高職高等數(shù)學教學的特點，在講解有關(guān)概念或定理時通過恰當引入反例，闡明既要讓學生理解必要的概念又毋須在理論上過多分析，從而既可達到預期教學目的又能增加學生的學習興趣、提高學生分析問題和邏輯思維能力的效果。

[關(guān)鍵詞]反例 概念 定理

美國數(shù)學家B.R 蓋爾鮑姆說過：“一個數(shù)學問題用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇，為數(shù)學作出的許多最優(yōu)雅的和藝術(shù)性很強的貢獻屬于這個流派”。高等數(shù)學是高職院校學生入校后重要的基礎(chǔ)課之一，但也是學生既想學好而又感到比較難懂的一門課程。高職層次的高等數(shù)學強調(diào)以"應用為目的，必須夠用"為原則。許多重要概念及定理的描述和證明、教材大多作了刪減處理，這樣就不可避免增加了學生對涉及內(nèi)容的理解難度。因而恰當?shù)匾敕蠢?，從另一個角度讓學生理解數(shù)學概念本質(zhì)，彌補正例教學的缺憾，簡單明了地說明事物之間的差異和聯(lián)系，從而加深學生對準確理解和掌握教學內(nèi)容是很有幫助的?？梢允盏绞掳牍Ρ兜膶W習效果。

一般地說，數(shù)學中的例子分為兩種類型：用以說明某件事為什么有意義的例子稱為正例，把符合某個命題的條件，但又與該命題結(jié)論相矛盾的例子或稱某例題不成立的例子稱為反例。在數(shù)學的發(fā)展史中，反例和正例有著同等重要的地位。對于數(shù)學學科，正例的推證嚴密、邏輯性強。反例往往出現(xiàn)在老師為了說明一個命題為假命題時而采取規(guī)避推理過程的“魔術(shù)”手段。它在發(fā)現(xiàn)和認識數(shù)學真理、強化數(shù)學基礎(chǔ)知識的理解和掌握，培養(yǎng)學生分析和綜合、概括與抽象的思維能力和創(chuàng)造能力，以及提高學生解題速度等方面有著不可低估的意義和作用。

一、在概念教學中引入反例，有“旁敲側(cè)擊”之效

高等數(shù)學的結(jié)構(gòu)本身就是由概念到性質(zhì)，然后到應用，概念是數(shù)學的重要基礎(chǔ)，概念掌握的程度直接影響到對相關(guān)內(nèi)容的理解和后續(xù)內(nèi)容的學習。如果抓不到它的本質(zhì)屬性，只是機械地記憶概念名稱，肯定沒有學習效果，引入反例顯得必要和及時，對學生理解某些難度大的概念有“旁敲側(cè)擊”之效。

例1.函數(shù)f（x）在x0點連續(xù)必須滿足三個條件，即：①函數(shù)f（x）在點x0及其某個鄰域有定義 ； 。

學生對定理中的三個條件各自重要性往往并不太明白，也就對間斷點類型的區(qū)別有困難，直接引入三個反例便起到警示作用。

例2. 羅爾定理（Rolle）定理：如果函數(shù)f（x）滿足：在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，且f（a）=f（b），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ（a<ξ

例3.若f（x）在（a，b）上可積。則必存在一點ξ∈（a，b）使得 。這個命題是錯的，但錯在哪里，學生并不易察覺，老師只 要舉出下例： ，顯然由定

積分幾何意義可得 ，原因

就出在f（x）不是[0，2]上的連續(xù)函數(shù)。反例說明f（x）是連續(xù)函數(shù)這個條件不是可有可無，不是文字游戲，數(shù)學的嚴謹性正在于此。為進一步強化學生對“連續(xù)”的理解，在下一節(jié)內(nèi)容又接講下例。

例4.牛頓-萊布尼茲定理：如果函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在[a，b]上的一個原函數(shù)，則 ，定理中的“連續(xù)”這一條件是不能隨意減弱的，否則就會導致結(jié)論錯誤。為此可舉下例：

在[-1，1]上的可積性。

很明顯， 在x=0處間斷，若盲目使用定理，則有

結(jié)果對與錯在學生還沒有接觸到廣義積分時自己是無法判斷的。老師可作為“伏筆”留給學生。當學到廣義積分后再回問此題，學生很快醒悟。因為 是發(fā)散的，積分不存在。

二、在解題教學中設(shè)置反例。有“柳暗花明”之效

解題在高等數(shù)學教學中課時所占比例較大，特別在求函數(shù)極限和求不定積分兩部分，涉及到數(shù)學相關(guān)知識信息量大，技巧性強，方法靈活。通過適當?shù)胤蠢崾緦W生在解題時避免出現(xiàn)此類的錯誤。從而讓學生感到通過反例的解惑有“柳暗花明”之效。

例5.計算

這是一道看似簡單的極限題，老師可設(shè)“套”讓學生“中計”不被察覺，即：

然后讓學生回答解題有無錯誤，接著又用下列方法解：

再問有誤沒有？然后讓學生討論，究竟問題出在哪？

學生最終發(fā)現(xiàn)了極限運算法則中的“有限個”的條件特別重要。從而加深了他們對解數(shù)列極限的題目印象。在教學實踐中此題的解答引起學生特別好奇吸引著他們的注意力。

例6.計算 老師可先寫出下面的解題過程，讓學生辨別正誤，并指出原因。

錯誤的原因是求商的極限運算中以兩個等價無窮小代入等式之中，雖然α1～β1.α2～β2，但α1-α2～β1-β2不一定成立，因為它們的差不一定是等價的無窮小，這事實上是擴大了無窮小等價代換的外延。這個例子很清楚地告訴學生利用無窮小代換定理進行運算時必須特別仔細.

例7.計算 正確答案為 。

學生很容易如下去做：

問題的關(guān)鍵是 的隱性條件不易被發(fā)現(xiàn)。錯誤的原因是 的間斷點導致的。

三、在命題教學中設(shè)量反例，有“言簡意賅”之效

反例在判斷命題或逆命題是否為真時尤其適用較廣，由于課時和層次要求，教學內(nèi)容里許多定理、性質(zhì)、證明往往略去不講，這在一定程度上削弱教學的嚴密性，導致對于某些命題的必要性或充分性的推理和敘述不夠嚴謹，反例的出現(xiàn)時機好，言簡意賅，說服力強。

例8.已知：當f（x）為奇數(shù)時 那么，若

，f（x）是奇數(shù)嗎？只須舉一個反例可以說明。

顯然f（x）不是奇函數(shù)。畫出它的圖形后，接著老師可進一步引深，這樣的函數(shù)是否唯一？當然不唯一，平移函數(shù)圖形還會得到眾多結(jié)果。

例9.命題：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必連續(xù)。很多同學對此命題回答是肯定的。若引入反例

說明它是初等函數(shù)。但因定義域為離散點集，因而談不上連續(xù)性。從反例中讓學生明白命題中的“域”應為“區(qū)間”才為真。

例10.若f（u）在u0不可導，u=g（x）在x0可導，且u0=g（x0）。則f[g（x）]在x0必不可導。這是對復合函數(shù)的可導性的一個命題，答案是非。

反例f（u）=|u|在u=0不可導，u=g（x）=x4在x=0可導。 而f[g（x）]=|x4|=x4在x=0卻可導。

總之，反例在教學中作為用以說明某個問題為什么講不通的常見方法，盡管它的使用有時顯得過于簡單化，只要選擇出具有目的性、啟發(fā)性、典型性、延伸性等特點的反例，對于培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力以及學習問題，刺激學習興趣，加深知識在大腦中的印跡不無裨益。同時也是教學改革與創(chuàng)新、加強素質(zhì)教育的嘗試，對提高教學質(zhì)量能起到積極作用。

[參考文獻]

[1]高等教學是非300例分析[M].北京航空學院出版社 1985.

[2]【美】B.R蓋爾鮑姆著.分析中的反例[M].上?？茖W出版社. 1980.

[3]孫旭東，肖業(yè)勝著.應用高等數(shù)學 [M].湖南師范大學出版社.2011

（作者單位：武漢職業(yè)技術(shù)學院 湖北武漢）