[摘要]以應(yīng)用和計算問題為驅(qū)動，進行教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的研究，促進學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，促進創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。在大學(xué)數(shù)學(xué)公共課教學(xué)中按知識模塊引入應(yīng)用數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)專業(yè)課教學(xué)中注重數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)計算和數(shù)學(xué)實驗相結(jié)合。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教育 數(shù)學(xué)應(yīng)用 數(shù)學(xué)計算 數(shù)學(xué)課程

數(shù)學(xué)教育的重要目的之一是人才培養(yǎng)。在人才強國戰(zhàn)略的新時期，創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)已成為目前高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育研究的重要問題。最近，我們教研室培養(yǎng)的大學(xué)三年級學(xué)生解決了國際數(shù)理邏輯界多年懸而未決的問題，在社會上引起了很大反響。可見，如何通過大學(xué)的教學(xué)過程促進學(xué)生未來成為創(chuàng)新型人才是一件值得深思的問題。數(shù)學(xué)教育界對人才培養(yǎng)過程的方式有多種多樣的看法，如何營造促使創(chuàng)新人才茁壯成長的環(huán)境和氣氛、如何培養(yǎng)學(xué)生旺盛的求知欲、如何培養(yǎng)學(xué)生強烈的好奇心和鉆研精神、如何鼓勵學(xué)生文理相通、使學(xué)生具有高尚的情懷等，是數(shù)學(xué)教育工作者所普遍認同的問題。

人們對不同問題的認識是存在差異的，能較好解決一類問題的人才，不一定能較好地解決其它類型的問題。人才的培養(yǎng)需要資源和時間，我們需要考慮如何確保當前模式下培養(yǎng)的專業(yè)人才成為未來需要的人才。雖然我們早已提倡因材施教的教育觀點，但是如何走出由重教輕學(xué)所導(dǎo)致的灌輸教學(xué)模式？注重怎樣的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式將有利于發(fā)展獨立思考和判斷的能力？針對人才培養(yǎng)的具體方式，基于我們多年的教學(xué)實踐，本文提出一種應(yīng)用和計算問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教育觀，從下面幾個方面進行探討。

一、數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點

數(shù)學(xué)教學(xué)究竟是從定義出發(fā)還是從問題和現(xiàn)象出發(fā)，是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法研究的重要問題。目前的一種指導(dǎo)思想是偏重于形式上的邏輯推理的嚴謹，注重演繹證明的訓(xùn)練。我們認為，數(shù)學(xué)教育研究的發(fā)展應(yīng)該由什么來驅(qū)動是一個值得研究的問題，可以從不同的方面、不同的因素來考慮這一問題。教學(xué)方法的研究應(yīng)該是多方面的，貴在積極探索、勇于創(chuàng)新。

在數(shù)學(xué)科學(xué)的研究中，人們已經(jīng)重視了問題驅(qū)動的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。近年來，國家自然科學(xué)基金委員會專門組織了這方面主題的討論，給予了專門問題研究的基金項目資助。數(shù)學(xué)教育研究與數(shù)學(xué)科學(xué)研究是有聯(lián)系的，是相互影響的。我們覺得，在數(shù)學(xué)教育的研究中，考慮問題驅(qū)動的研究，也將具有特別的科學(xué)意義和重要價值。

從數(shù)學(xué)這門科學(xué)的特點來看，它是在相當廣泛的意義下研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)發(fā)展的根本原動力來自客觀實際的需要。從現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究的特點來看，高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)，而數(shù)學(xué)技術(shù)被認為是數(shù)學(xué)方法和計算技術(shù)的結(jié)合，這已逐漸成為共識。因此，以應(yīng)用和計算問題為驅(qū)動，進行教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的研究，既具有學(xué)科特點，也具有時代特點。

面對科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展、新興學(xué)科不斷出現(xiàn)和計算機的廣泛使用，數(shù)學(xué)高等教育需要改變以簡單地傳授已有知識為中心的狀況，把培養(yǎng)獲取知識的能力、培養(yǎng)應(yīng)用知識的能力、培養(yǎng)創(chuàng)新能力作為重點。數(shù)學(xué)公共課教學(xué)是高等教育中的最基礎(chǔ)最重要的部分，對眾多學(xué)科人才培養(yǎng)質(zhì)量具有重要影響，值得各高等學(xué)校充分重視。數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科教育肩負著培養(yǎng)我國未來應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)研究專門人才的重要任務(wù)。深入進行數(shù)學(xué)學(xué)科下的兩個本科專業(yè)“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”、“信息與計算科學(xué)”的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和實踐教學(xué)的研究，使培養(yǎng)的學(xué)生適應(yīng)于科學(xué)技術(shù)發(fā)展對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)人才的需要，這是培養(yǎng)合格人才的至關(guān)重要問題，是進行數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革研究的重要問題。

數(shù)學(xué)教育研究以應(yīng)用和計算問題為驅(qū)動，將對數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革的發(fā)展起到重要的促進作用，對廣大非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，更有利于提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力和計算能力；對數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生，除了有利于提高應(yīng)用能力和計算能力外，也有利于提高解決問題的綜合能力和創(chuàng)新能力。

二、相關(guān)教學(xué)研究現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，20世紀80年代曾經(jīng)強調(diào)開設(shè)“數(shù)值計算”或“計算方法”課程，這表明計算得到了重視。20世紀90年代開始強調(diào)開設(shè)“數(shù)學(xué)建?！闭n程，這表明應(yīng)用得到了重視。然而，專門和系統(tǒng)地進行基于應(yīng)用與計算問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究，卻是鮮為人見的教學(xué)研究課題。

教學(xué)實踐使我們體會到，數(shù)學(xué)課程的教學(xué)仍然存在一些需要重視的問題。比如，教學(xué)內(nèi)容上存在經(jīng)典較多，現(xiàn)代不足，分析推導(dǎo)較多，數(shù)值計算不足，與工程實際和現(xiàn)代生活的應(yīng)用聯(lián)系較少，教學(xué)體系嚴謹，過分強調(diào)各門課程的系統(tǒng)性與完整性，缺乏應(yīng)有的相互聯(lián)系，相互滲透，以教師為中心的注入式、保姆式教學(xué)方法仍然沒有得到根本改變，課堂信息量小，不能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，教學(xué)手段單調(diào)，教學(xué)模式呆板，不能吸引學(xué)生參與課堂活動，實踐性教學(xué)環(huán)節(jié)薄弱，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)等。

我國數(shù)學(xué)教育教學(xué)的研究和發(fā)展，特別是進入21世紀以來，在教育部主持下，進行了課程體系和教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)改革，已經(jīng)取得了一些具有時代特色的成果。在保持傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)點的同時，在課程體系優(yōu)化、專業(yè)建設(shè)與課程建設(shè)、分層次教學(xué)、多媒體教學(xué)、考試方法、數(shù)學(xué)素質(zhì)教育等多方面取得了明顯的進步。然而，數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究的狀況已經(jīng)今非昔比，新時期需要有符合時代特點的要求和發(fā)展。

根據(jù)科學(xué)發(fā)展觀的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)改革的研究還面臨著哪些迫切需要解決的問題？數(shù)學(xué)教學(xué)改革的研究如何更好地促進教學(xué)質(zhì)量的提高？怎樣才能更好地促進數(shù)學(xué)教育的發(fā)展、創(chuàng)新數(shù)學(xué)教育教學(xué)的研究？這些是我們一大批從事數(shù)學(xué)教育工作者需要關(guān)注的問題。

現(xiàn)在，我國高校較普遍地開設(shè)了數(shù)學(xué)模型[1]課程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中對數(shù)學(xué)應(yīng)用的重視。數(shù)學(xué)實驗[2-3]作為提高數(shù)學(xué)能力的手段，也逐步得到重視。近年來，數(shù)學(xué)文化[4-5]教育已成為數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要內(nèi)容。這些都反映了數(shù)學(xué)教育的發(fā)展。我們既要重視開設(shè)體現(xiàn)應(yīng)用和重視能力的課程，也要重視在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中加強能力培養(yǎng)的環(huán)節(jié)。

為了創(chuàng)新數(shù)學(xué)教育、深化數(shù)學(xué)教學(xué)改革、進一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，我們認為，除了繼續(xù)有力支持基于數(shù)學(xué)課程體系、數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的傳統(tǒng)形式的教學(xué)研究外，還要大力提倡從新的角度進行數(shù)學(xué)教學(xué)方法的研究，并以此為契機，更大程度上的調(diào)動廣大數(shù)學(xué)教育工作者的積極性，更好地促進數(shù)學(xué)教學(xué)改革的科學(xué)與協(xié)調(diào)的發(fā)展。基于目前數(shù)學(xué)教育的發(fā)展狀況，以應(yīng)用和計算問題為驅(qū)動進行數(shù)學(xué)教學(xué)方法的研究，符合目前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的發(fā)展趨勢，將進一步更新和豐富數(shù)學(xué)教學(xué)的研究。

三、教學(xué)改革思想

以應(yīng)用和計算問題為驅(qū)動進行數(shù)學(xué)教學(xué)，是我們逐漸形成的一種教學(xué)觀念。我們認為，要以數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)計算促進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。以應(yīng)用和計算問題為驅(qū)動進行數(shù)學(xué)教學(xué)，也是教學(xué)內(nèi)容的改革，要求我們在教學(xué)中加強應(yīng)用內(nèi)容和增強計算環(huán)節(jié)。同時，以應(yīng)用和計算問題為驅(qū)動進行數(shù)學(xué)教學(xué)，也將改進教學(xué)方法，要求我們改進教學(xué)內(nèi)容引入、改進教學(xué)過程的組織、改進鞏固知識和訓(xùn)練的方式。

中國古代數(shù)學(xué)及印度古代數(shù)學(xué)被稱為所謂的東方數(shù)學(xué)。東方數(shù)學(xué)與西方數(shù)學(xué)有一定的差異。學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)體會到，其主要內(nèi)容是證明定理。中國的古代數(shù)學(xué)很少形式上考慮定理，它的主要內(nèi)容是著重解決各式各樣的問題，著重計算。中國的古代數(shù)學(xué)是一種體現(xiàn)計算方法的數(shù)學(xué)，進入到計算機時代，這種體現(xiàn)計算方法的數(shù)學(xué)，恰好是符合時代要求和時代精神的。

應(yīng)用問題既體現(xiàn)數(shù)學(xué)的外部驅(qū)動，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題之間的驅(qū)動。計算問題則是數(shù)學(xué)從古至今的基本問題和核心問題。，應(yīng)用和計算問題的驅(qū)動體現(xiàn)了外部需要的驅(qū)動和內(nèi)部矛盾的驅(qū)動?；趹?yīng)用和計算的數(shù)學(xué)教學(xué)研究體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和實踐性教學(xué)研究。

四、教學(xué)實踐的實施方法和手段

在以數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)計算促進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)實踐過程中，我們按課程內(nèi)容進行實施，將教學(xué)方法實施于不同的教學(xué)環(huán)節(jié)，注重數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)計算和數(shù)學(xué)實驗相結(jié)合。我們圍繞著多門數(shù)學(xué)課程的教學(xué)進行了實踐，可以從下面三個方面進行說明。

（1）大學(xué)數(shù)學(xué)教程中引入應(yīng)用數(shù)學(xué)模型模塊。作為數(shù)學(xué)計算與數(shù)學(xué)實驗的基礎(chǔ)和重要內(nèi)容，首次在大學(xué)數(shù)學(xué)公共課（高等數(shù)學(xué)課程、線性代數(shù)課程、概率統(tǒng)計課程）中，有針對地、適合教學(xué)內(nèi)容地、較全面地融入了應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。我們編寫出版了這方面的教材，見[6]。該教材是全國眾多大學(xué)數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)教材中獨具特色的。在大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中融入數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，不同于目前國內(nèi)外教材中含有應(yīng)用性的例題和習(xí)題，相比之下要復(fù)雜一些、綜合性強一些，是教學(xué)內(nèi)容的有益補充，但不喧賓奪主，使之主次分明，相得益彰。具體教學(xué)方法有溢出式（在講述大學(xué)數(shù)學(xué)課程知識時溢出去講一些科學(xué)典故或前輩科學(xué)家探索過程的故事）、引入式（從數(shù)學(xué)建模問題提出概念和計算問題）、案例式（適用于較簡單的數(shù)學(xué)建模例子）、評注式（適用于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模例子）、討論式（適用于解法多樣或可以進一步擴展的數(shù)學(xué)建模例子）。

（2）數(shù)學(xué)建模和科學(xué)計算課程的教學(xué)實踐。我們首先在學(xué)校教改實驗班中進行了種教學(xué)實踐，現(xiàn)在已經(jīng)將這種形式的教學(xué)推廣到全校的文化素質(zhì)課教學(xué)。使數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用性教學(xué)通過計算求解來完善，使數(shù)值計算的算法構(gòu)造分析和實驗性教學(xué)通過應(yīng)用問題提供背景和意義。這種有機結(jié)合地教學(xué)，既豐富了教學(xué)內(nèi)容、增強了教學(xué)活力，也大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（3）數(shù)值分析（數(shù)值計算方法）課程教學(xué)實踐。在實際應(yīng)用上，在數(shù)值分析開頭精選了實際問題引入，即注重模型引入，盡量聯(lián)系問題的應(yīng)用背景和相關(guān)數(shù)學(xué)問題的背景。在實踐環(huán)節(jié)上，對數(shù)值分析內(nèi)容的每一章，精選了數(shù)值實驗題和內(nèi)容擴展題，突出了計算實驗分析環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了數(shù)值計算與數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容的結(jié)合。體現(xiàn)這些特點的教材見[7]，除了內(nèi)容注重思想方法的闡述外，每章都有問題特例和擴展問題。這種將應(yīng)用問題、計算方法和數(shù)值實驗結(jié)合闡述，有利于學(xué)生更好地理解和應(yīng)用課程所學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生應(yīng)用計算機進行科學(xué)工程計算和解決實際問題的能力。

（4）創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)討論式教學(xué)平臺。以信息技術(shù)支持教育改革，針對應(yīng)用性和計算性問題的特點設(shè)計教學(xué)評臺，教學(xué)平臺下已有數(shù)值分析課程、微積分課程、線性代數(shù)課程、概率與統(tǒng)計課程、最優(yōu)化方法課程。每門課程下設(shè)計了問題提出與提示、原理與技巧說明、提問與點評、作業(yè)提交與優(yōu)秀解答展示等欄目。引導(dǎo)學(xué)生自主性學(xué)習(xí)，使老師和學(xué)生都可以得到個性化的教學(xué)體驗。

五、進一步地討論

教學(xué)實踐使我們認識到，基于應(yīng)用和計算問題的驅(qū)動進行教學(xué)研究，有大量的工作可做，對基礎(chǔ)課、專業(yè)基礎(chǔ)課、專業(yè)課等不同層次課程的教學(xué)應(yīng)各有側(cè)重。具體地說，可以從下面幾個方面來考慮。

（1）對大學(xué)數(shù)學(xué)公共課的應(yīng)用性教學(xué)研究，可以按模塊適當融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，分析和整理出體現(xiàn)應(yīng)用關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容和方法。

（2）對大學(xué)數(shù)學(xué)公共課的計算實驗教學(xué)研究，可以適當融入使用計算軟件的實踐性教學(xué)，研究如何選擇通過計算促進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方法。

（3）對數(shù)學(xué)類專業(yè)主干課程的應(yīng)用性教學(xué)研究，應(yīng)該滲透現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀點、概念和方法，引導(dǎo)學(xué)生基于課程內(nèi)容進行聯(lián)想和應(yīng)用。

（4）對數(shù)學(xué)類專業(yè)主干課程的有關(guān)計算演化的教學(xué)研究，應(yīng)該注重問題背景的引入，加強數(shù)值計算技術(shù)的培訓(xùn)，利用計算內(nèi)容的特點來增強分析推理與實踐性教學(xué)。

（5）強化以應(yīng)用和計算問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)方法的實踐，有利于為本科生的畢業(yè)論文與畢業(yè)設(shè)計開拓思路，可以開展這方面的專題討論。

除了上述方面外，還可以進一步探討其它途徑。當然，在教學(xué)實踐中，會遇到各種問題和困難。比如，單元教學(xué)內(nèi)容的局限性與應(yīng)用和計算問題的綜合性之間的困難問題；除了實際應(yīng)用問題外，數(shù)學(xué)內(nèi)容本身之間的相互應(yīng)用關(guān)系的教學(xué)方法問題；邏輯推理、分析數(shù)學(xué)與計算演化的關(guān)系的教學(xué)方法問題。只要我們不斷豐富和提煉教學(xué)內(nèi)容，改進教學(xué)方法，就一定能夠更好地提高教學(xué)質(zhì)量，取得豐富的教學(xué)研究成果。

資助項目：國家精品課程項目（教高函[2008]22號）和湖南省教學(xué)改革項目（湘教通[2009]321號）資助。

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[3]郭迎春，實驗與教學(xué)相結(jié)合改革高等數(shù)學(xué)教育模式[J]，數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2008，17（3）：76-77。

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[5]陳克勝，基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)課程在思考[J]，數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（1）：22-24。

[6]韓旭里，大學(xué)數(shù)學(xué)教程（第二版）[M]，北京：科學(xué)出版社，2008。

[7]韓旭里，數(shù)值分析[M]，北京：高等教育出版社，2011。

（作者單位：中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 湖南長沙）