毛曉燕

摘要：反思是數(shù)學思維活動的核心。一般心理能力是順利完成各種活動任務(wù)所必備的基本心理能力，如注意力、記憶力、想象力和思維力等。數(shù)學反思能力卻是一種特殊的心理能力，它屬于較高層次的能力——元認知能力。本文結(jié)合教學實例，分析了在解題教學過程中培養(yǎng)學生反思能力的具體方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學；解題教學；反思能力；方法

中圖分類號：G632.0 文獻標志碼：A？搖 文章編號：1674-9324（2014）13-0100-03

《普通高中數(shù)學新課程標準（實驗）》明確把“反思”這一教學理念提到了應(yīng)有的高度：“人們在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題，不斷地經(jīng)歷直觀感知……反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學生對客觀事物中蘊含的數(shù)學模式進行思考和做出判斷”。美籍數(shù)學教育家波利亞也說，“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面”。在解題過程中注重培養(yǎng)學生的反思能力，能夠有效優(yōu)化思維品質(zhì)，提高思維能力，進而促進學生的全面發(fā)展。

一、反思題目的數(shù)學模型，深思求源

高中數(shù)學的基本內(nèi)容有限，但題目卻靈活多變。同一個數(shù)學模型，命題者可以從不同的角度、不同的層次，以不同的題型進行命題。面對新題型、新情境問題，學生往往會覺得很難，不知從何處下手。因此在平時的教學中要引導學生掌握一些常見的數(shù)學模型，要學會進行有效的轉(zhuǎn)化，讓學生通過解題后的反思真正做到“以點帶面”，達到對某些知識的強化和知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，使得思維更加敏捷、有序、合理。

例1：（1）8個同樣的小球，隨機放入3個盒內(nèi)，求：①有多少種不同的放法？②每盒內(nèi)至少有1球的放法。（2）求方程x1+x2+x3+x4=7的正整數(shù)解的組數(shù)。（3）△ABC的三個內(nèi)角都是■的整數(shù)倍，且三內(nèi)角不全相等，這樣的三角形有多少種？

上述3題，雖然形式和內(nèi)容不同，但是通過分析、類比，不難發(fā)現(xiàn)，對于（2），可將整數(shù)7看成7個相同的小球，變量x1、x2、x3、x4看成4個盒子，那么7球入4盒且無空盒的不同放法種數(shù)就是方程正整數(shù)解的組數(shù)。對于（3），三角形內(nèi)角之和是π，它是■的12倍，將這12個■的角分配到三個內(nèi)角內(nèi)，其不同的分配法（除去正三角形一種），就是所求的三角形的個數(shù)。這樣，三個問題都“化歸”為“小球入盒”的模型：將n個同樣的小球隨機放入m（m≤n）個盒子內(nèi)的不同放法有mn種；若要求m個盒內(nèi)均有球，則不同的放法有c■■種。這樣，不難求出各個問題的答案。

二、反思解題的過程，深思求準

學生解題結(jié)束以后，教師應(yīng)該要求學生對解題過程進行反思，目的是查找自己是否審清題意，能否理清題干之間的內(nèi)在聯(lián)系，能否快速找到解題突破口，存在哪些錯誤，思維偏差及障礙在哪里，這些困難及錯誤是如何一一克服的。通過這些反思使之內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)，從而完成“二次思維”。

三、反思解題的本質(zhì)，深思求同

在平時教學中，對例題、習題的學習應(yīng)引導學生深入研究，揭示通性、通法，從而激發(fā)學生的求知欲由淺入深，水到渠成完成一類問題，達到螺旋式上升。

例2：已知橢圓：■+■=1的上、下頂點分別為A、B，P為橢圓上不同于A、B的任意一點，求證：直線PA、PB的斜率之積為定值。

該題難度不大，學生按題意翻譯就可得到答案，講完該題，做出如下幾個設(shè)計：（1）A，B坐標改為■，-■，-■，■結(jié)果如何？（2）A，B坐標滿足什么條件，結(jié)論不變，并給出證明。

通過特殊點展示通法，類比到一般情況，便于學生思考與掌握。利用這一結(jié)論可以快速完成2011江蘇高考題18題的第三問：

（江蘇18）如圖，在平面直角坐標系xoy中，M、N分別是橢圓：■+■=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k.

（1）當直線PA平分線段MN，求k的值。

（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d。

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB。

四、反思題目的結(jié)構(gòu)，深思求變

在教學中，設(shè)計合理的變式教學，將一題變一串，拓寬思路，提高應(yīng)變能力。

例3：已知函數(shù)f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），則b的取值范圍為

變式1：求a的取值范圍。

變式2：求b·f（a）的取值范圍。

變式3：若有f（a）=g（b）=g（c），（b≠c）求a+b+c的取值范圍。

通過四小題歸納反思變中有同有不同，不要思維定式，讓學生的思維在解題后繼續(xù)飛翔。

五、反思解題的角度，深思求異

教師應(yīng)啟發(fā)學生在掌握基本解法的基礎(chǔ)上再思考其他方法，多角度觀察聯(lián)想，尋找最佳解題方案，以利于提高思維的廣闊性和發(fā)散性。

例4：如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓E：■+■=1，若點A，B分別是橢圓的E左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M，設(shè)直線OM的斜率為K1，直線BP的斜率為K2，求證：K1·K2為定值.

角度1：按題目閱讀的順序知，有了P點坐標，就可求出M點坐標，從而就有K1·K2的表達式，表達式中利用P點滿足橢圓方程進行消元，得出結(jié)論，故而引入變量為P點坐標。

角度2：改變一下順序，若有了M點坐標就可有直線AP方程，再聯(lián)立直線AP與橢圓方程得到P點坐標，代入K1·K2計算即得，故引入變量為M點坐標。

角度3：若直線AP定了，聯(lián)立直線AP與橢圓方程得到P點坐標，聯(lián)立直線AP與l直線方程得到M點坐標，代入K1·K2計算即得，故引入變量為直線AP的斜率k。

歸納：角度1中P點坐標在橢圓上起到了消元作用，角度2、3中P點坐標通過聯(lián)立直線與橢圓方程得到，哪種角度考慮最為簡潔，一目了然。引導學生多角度反思，引入“誰”作變量。

仿照該角度就可輕松解決一類題：（2013蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知橢圓E：■+y2=1的左、右頂點分別為A，B，圓x2+y2=4上有一動點P，P在x軸上方，直線PA交橢圓E于點D，連結(jié)DC，PB，設(shè)直線PB，DC的斜率存在，且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍。

六、反思解題的結(jié)果，深思求真

解題后的驗證過程是確保答案準確無誤的一種有效做法。鑒于數(shù)學問題的特點，對解題結(jié)果的反思，一方面能確保答案準確無誤，另一方面考查了學生審題的嚴密規(guī)范，能逐步養(yǎng)成良好的思維習慣，培養(yǎng)思維的嚴密性和批判性。

總之，解題反思是教學中的一個重要環(huán)節(jié)，教師在教學中要通過自己的示范、引導，對自己的教學內(nèi)容、教學過程、教學重難點的把握進行反思，才能與學生形成師生間的積極互動，使學生在反思中優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，提高學習效率，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，提升數(shù)學能力。endprint

摘要：反思是數(shù)學思維活動的核心。一般心理能力是順利完成各種活動任務(wù)所必備的基本心理能力，如注意力、記憶力、想象力和思維力等。數(shù)學反思能力卻是一種特殊的心理能力，它屬于較高層次的能力——元認知能力。本文結(jié)合教學實例，分析了在解題教學過程中培養(yǎng)學生反思能力的具體方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學；解題教學；反思能力；方法

中圖分類號：G632.0 文獻標志碼：A？搖 文章編號：1674-9324（2014）13-0100-03

《普通高中數(shù)學新課程標準（實驗）》明確把“反思”這一教學理念提到了應(yīng)有的高度：“人們在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題，不斷地經(jīng)歷直觀感知……反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學生對客觀事物中蘊含的數(shù)學模式進行思考和做出判斷”。美籍數(shù)學教育家波利亞也說，“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面”。在解題過程中注重培養(yǎng)學生的反思能力，能夠有效優(yōu)化思維品質(zhì)，提高思維能力，進而促進學生的全面發(fā)展。

一、反思題目的數(shù)學模型，深思求源

高中數(shù)學的基本內(nèi)容有限，但題目卻靈活多變。同一個數(shù)學模型，命題者可以從不同的角度、不同的層次，以不同的題型進行命題。面對新題型、新情境問題，學生往往會覺得很難，不知從何處下手。因此在平時的教學中要引導學生掌握一些常見的數(shù)學模型，要學會進行有效的轉(zhuǎn)化，讓學生通過解題后的反思真正做到“以點帶面”，達到對某些知識的強化和知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，使得思維更加敏捷、有序、合理。

例1：（1）8個同樣的小球，隨機放入3個盒內(nèi)，求：①有多少種不同的放法？②每盒內(nèi)至少有1球的放法。（2）求方程x1+x2+x3+x4=7的正整數(shù)解的組數(shù)。（3）△ABC的三個內(nèi)角都是■的整數(shù)倍，且三內(nèi)角不全相等，這樣的三角形有多少種？

上述3題，雖然形式和內(nèi)容不同，但是通過分析、類比，不難發(fā)現(xiàn)，對于（2），可將整數(shù)7看成7個相同的小球，變量x1、x2、x3、x4看成4個盒子，那么7球入4盒且無空盒的不同放法種數(shù)就是方程正整數(shù)解的組數(shù)。對于（3），三角形內(nèi)角之和是π，它是■的12倍，將這12個■的角分配到三個內(nèi)角內(nèi)，其不同的分配法（除去正三角形一種），就是所求的三角形的個數(shù)。這樣，三個問題都“化歸”為“小球入盒”的模型：將n個同樣的小球隨機放入m（m≤n）個盒子內(nèi)的不同放法有mn種；若要求m個盒內(nèi)均有球，則不同的放法有c■■種。這樣，不難求出各個問題的答案。

二、反思解題的過程，深思求準

學生解題結(jié)束以后，教師應(yīng)該要求學生對解題過程進行反思，目的是查找自己是否審清題意，能否理清題干之間的內(nèi)在聯(lián)系，能否快速找到解題突破口，存在哪些錯誤，思維偏差及障礙在哪里，這些困難及錯誤是如何一一克服的。通過這些反思使之內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)，從而完成“二次思維”。

三、反思解題的本質(zhì)，深思求同

在平時教學中，對例題、習題的學習應(yīng)引導學生深入研究，揭示通性、通法，從而激發(fā)學生的求知欲由淺入深，水到渠成完成一類問題，達到螺旋式上升。

例2：已知橢圓：■+■=1的上、下頂點分別為A、B，P為橢圓上不同于A、B的任意一點，求證：直線PA、PB的斜率之積為定值。

該題難度不大，學生按題意翻譯就可得到答案，講完該題，做出如下幾個設(shè)計：（1）A，B坐標改為■，-■，-■，■結(jié)果如何？（2）A，B坐標滿足什么條件，結(jié)論不變，并給出證明。

通過特殊點展示通法，類比到一般情況，便于學生思考與掌握。利用這一結(jié)論可以快速完成2011江蘇高考題18題的第三問：

（江蘇18）如圖，在平面直角坐標系xoy中，M、N分別是橢圓：■+■=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k.

（1）當直線PA平分線段MN，求k的值。

（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d。

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB。

四、反思題目的結(jié)構(gòu)，深思求變

在教學中，設(shè)計合理的變式教學，將一題變一串，拓寬思路，提高應(yīng)變能力。

例3：已知函數(shù)f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），則b的取值范圍為

變式1：求a的取值范圍。

變式2：求b·f（a）的取值范圍。

變式3：若有f（a）=g（b）=g（c），（b≠c）求a+b+c的取值范圍。

通過四小題歸納反思變中有同有不同，不要思維定式，讓學生的思維在解題后繼續(xù)飛翔。

五、反思解題的角度，深思求異

教師應(yīng)啟發(fā)學生在掌握基本解法的基礎(chǔ)上再思考其他方法，多角度觀察聯(lián)想，尋找最佳解題方案，以利于提高思維的廣闊性和發(fā)散性。

例4：如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓E：■+■=1，若點A，B分別是橢圓的E左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M，設(shè)直線OM的斜率為K1，直線BP的斜率為K2，求證：K1·K2為定值.

角度1：按題目閱讀的順序知，有了P點坐標，就可求出M點坐標，從而就有K1·K2的表達式，表達式中利用P點滿足橢圓方程進行消元，得出結(jié)論，故而引入變量為P點坐標。

角度2：改變一下順序，若有了M點坐標就可有直線AP方程，再聯(lián)立直線AP與橢圓方程得到P點坐標，代入K1·K2計算即得，故引入變量為M點坐標。

角度3：若直線AP定了，聯(lián)立直線AP與橢圓方程得到P點坐標，聯(lián)立直線AP與l直線方程得到M點坐標，代入K1·K2計算即得，故引入變量為直線AP的斜率k。

歸納：角度1中P點坐標在橢圓上起到了消元作用，角度2、3中P點坐標通過聯(lián)立直線與橢圓方程得到，哪種角度考慮最為簡潔，一目了然。引導學生多角度反思，引入“誰”作變量。

仿照該角度就可輕松解決一類題：（2013蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知橢圓E：■+y2=1的左、右頂點分別為A，B，圓x2+y2=4上有一動點P，P在x軸上方，直線PA交橢圓E于點D，連結(jié)DC，PB，設(shè)直線PB，DC的斜率存在，且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍。

六、反思解題的結(jié)果，深思求真

解題后的驗證過程是確保答案準確無誤的一種有效做法。鑒于數(shù)學問題的特點，對解題結(jié)果的反思，一方面能確保答案準確無誤，另一方面考查了學生審題的嚴密規(guī)范，能逐步養(yǎng)成良好的思維習慣，培養(yǎng)思維的嚴密性和批判性。

總之，解題反思是教學中的一個重要環(huán)節(jié)，教師在教學中要通過自己的示范、引導，對自己的教學內(nèi)容、教學過程、教學重難點的把握進行反思，才能與學生形成師生間的積極互動，使學生在反思中優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，提高學習效率，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，提升數(shù)學能力。endprint

摘要：反思是數(shù)學思維活動的核心。一般心理能力是順利完成各種活動任務(wù)所必備的基本心理能力，如注意力、記憶力、想象力和思維力等。數(shù)學反思能力卻是一種特殊的心理能力，它屬于較高層次的能力——元認知能力。本文結(jié)合教學實例，分析了在解題教學過程中培養(yǎng)學生反思能力的具體方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學；解題教學；反思能力；方法

中圖分類號：G632.0 文獻標志碼：A？搖 文章編號：1674-9324（2014）13-0100-03

《普通高中數(shù)學新課程標準（實驗）》明確把“反思”這一教學理念提到了應(yīng)有的高度：“人們在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題，不斷地經(jīng)歷直觀感知……反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學生對客觀事物中蘊含的數(shù)學模式進行思考和做出判斷”。美籍數(shù)學教育家波利亞也說，“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面”。在解題過程中注重培養(yǎng)學生的反思能力，能夠有效優(yōu)化思維品質(zhì)，提高思維能力，進而促進學生的全面發(fā)展。

一、反思題目的數(shù)學模型，深思求源

高中數(shù)學的基本內(nèi)容有限，但題目卻靈活多變。同一個數(shù)學模型，命題者可以從不同的角度、不同的層次，以不同的題型進行命題。面對新題型、新情境問題，學生往往會覺得很難，不知從何處下手。因此在平時的教學中要引導學生掌握一些常見的數(shù)學模型，要學會進行有效的轉(zhuǎn)化，讓學生通過解題后的反思真正做到“以點帶面”，達到對某些知識的強化和知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，使得思維更加敏捷、有序、合理。

例1：（1）8個同樣的小球，隨機放入3個盒內(nèi)，求：①有多少種不同的放法？②每盒內(nèi)至少有1球的放法。（2）求方程x1+x2+x3+x4=7的正整數(shù)解的組數(shù)。（3）△ABC的三個內(nèi)角都是■的整數(shù)倍，且三內(nèi)角不全相等，這樣的三角形有多少種？

上述3題，雖然形式和內(nèi)容不同，但是通過分析、類比，不難發(fā)現(xiàn)，對于（2），可將整數(shù)7看成7個相同的小球，變量x1、x2、x3、x4看成4個盒子，那么7球入4盒且無空盒的不同放法種數(shù)就是方程正整數(shù)解的組數(shù)。對于（3），三角形內(nèi)角之和是π，它是■的12倍，將這12個■的角分配到三個內(nèi)角內(nèi)，其不同的分配法（除去正三角形一種），就是所求的三角形的個數(shù)。這樣，三個問題都“化歸”為“小球入盒”的模型：將n個同樣的小球隨機放入m（m≤n）個盒子內(nèi)的不同放法有mn種；若要求m個盒內(nèi)均有球，則不同的放法有c■■種。這樣，不難求出各個問題的答案。

二、反思解題的過程，深思求準

學生解題結(jié)束以后，教師應(yīng)該要求學生對解題過程進行反思，目的是查找自己是否審清題意，能否理清題干之間的內(nèi)在聯(lián)系，能否快速找到解題突破口，存在哪些錯誤，思維偏差及障礙在哪里，這些困難及錯誤是如何一一克服的。通過這些反思使之內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)，從而完成“二次思維”。

三、反思解題的本質(zhì)，深思求同

在平時教學中，對例題、習題的學習應(yīng)引導學生深入研究，揭示通性、通法，從而激發(fā)學生的求知欲由淺入深，水到渠成完成一類問題，達到螺旋式上升。

例2：已知橢圓：■+■=1的上、下頂點分別為A、B，P為橢圓上不同于A、B的任意一點，求證：直線PA、PB的斜率之積為定值。

該題難度不大，學生按題意翻譯就可得到答案，講完該題，做出如下幾個設(shè)計：（1）A，B坐標改為■，-■，-■，■結(jié)果如何？（2）A，B坐標滿足什么條件，結(jié)論不變，并給出證明。

通過特殊點展示通法，類比到一般情況，便于學生思考與掌握。利用這一結(jié)論可以快速完成2011江蘇高考題18題的第三問：

（江蘇18）如圖，在平面直角坐標系xoy中，M、N分別是橢圓：■+■=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k.

（1）當直線PA平分線段MN，求k的值。

（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d。

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB。

四、反思題目的結(jié)構(gòu)，深思求變

在教學中，設(shè)計合理的變式教學，將一題變一串，拓寬思路，提高應(yīng)變能力。

例3：已知函數(shù)f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），則b的取值范圍為

變式1：求a的取值范圍。

變式2：求b·f（a）的取值范圍。

變式3：若有f（a）=g（b）=g（c），（b≠c）求a+b+c的取值范圍。

通過四小題歸納反思變中有同有不同，不要思維定式，讓學生的思維在解題后繼續(xù)飛翔。

五、反思解題的角度，深思求異

教師應(yīng)啟發(fā)學生在掌握基本解法的基礎(chǔ)上再思考其他方法，多角度觀察聯(lián)想，尋找最佳解題方案，以利于提高思維的廣闊性和發(fā)散性。

例4：如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓E：■+■=1，若點A，B分別是橢圓的E左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M，設(shè)直線OM的斜率為K1，直線BP的斜率為K2，求證：K1·K2為定值.

角度1：按題目閱讀的順序知，有了P點坐標，就可求出M點坐標，從而就有K1·K2的表達式，表達式中利用P點滿足橢圓方程進行消元，得出結(jié)論，故而引入變量為P點坐標。

角度2：改變一下順序，若有了M點坐標就可有直線AP方程，再聯(lián)立直線AP與橢圓方程得到P點坐標，代入K1·K2計算即得，故引入變量為M點坐標。

角度3：若直線AP定了，聯(lián)立直線AP與橢圓方程得到P點坐標，聯(lián)立直線AP與l直線方程得到M點坐標，代入K1·K2計算即得，故引入變量為直線AP的斜率k。

歸納：角度1中P點坐標在橢圓上起到了消元作用，角度2、3中P點坐標通過聯(lián)立直線與橢圓方程得到，哪種角度考慮最為簡潔，一目了然。引導學生多角度反思，引入“誰”作變量。

仿照該角度就可輕松解決一類題：（2013蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知橢圓E：■+y2=1的左、右頂點分別為A，B，圓x2+y2=4上有一動點P，P在x軸上方，直線PA交橢圓E于點D，連結(jié)DC，PB，設(shè)直線PB，DC的斜率存在，且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍。

六、反思解題的結(jié)果，深思求真

解題后的驗證過程是確保答案準確無誤的一種有效做法。鑒于數(shù)學問題的特點，對解題結(jié)果的反思，一方面能確保答案準確無誤，另一方面考查了學生審題的嚴密規(guī)范，能逐步養(yǎng)成良好的思維習慣，培養(yǎng)思維的嚴密性和批判性。

總之，解題反思是教學中的一個重要環(huán)節(jié)，教師在教學中要通過自己的示范、引導，對自己的教學內(nèi)容、教學過程、教學重難點的把握進行反思，才能與學生形成師生間的積極互動，使學生在反思中優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，提高學習效率，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，提升數(shù)學能力。endprint