翟寶玲

“小數(shù)乘法和除法（二）”是蘇教版小學數(shù)學五年級上冊的教學內容。本單元學習后，年級組檢測試卷上出現(xiàn)了這樣一道選擇題：“3噸黃豆可榨油1.2噸，計算榨1噸油需要多少噸黃豆的算式是（ ）。①3÷1.2；②1.2÷3；③3×1.2?！睂W生的答卷上選②的人數(shù)最多，出現(xiàn)這樣的錯誤在我的預料之中，因為以前學習這部分知識后，習題或考卷上常會出現(xiàn)此類題目，學生的錯誤率很高。我評講的方法是引導學生理解小數(shù)乘法和除法與整數(shù)除法意義的聯(lián)系后，再通過反復舉例的訓練加以鞏固。然而，令人尷尬的事實是，學生在后續(xù)的學習中每每碰到這類題目時，錯誤卻依然普遍存在?？磥?，缺少對已有經驗的喚醒，缺失體悟的過程，不能對所學知識實現(xiàn)真正意義上的理解。

為了讓學生理解這一知識難點和其中的規(guī)律，我決定進行一次新的教學嘗試。

教學實踐：

一、課前作業(yè)，獨立探究

當天，布置如下的探究作業(yè)。

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二、課堂實踐，交流提升

1.通過口答喚醒已有經驗，做好新舊知識間的有效對接。（略）

2.討論提煉，把握知識的本質。

師：同學們，“3噸黃豆……”這道題有答案了嗎？通過探究，你有什么想說、想問的？

生1：答案選①。因為3÷1.2表示把3噸黃豆平均分1.2份……3表示的是黃豆……求的是黃豆……（生1支支吾吾，語言斷斷續(xù)續(xù)）

師：你探究了嗎？一組題完成了嗎？

生1（點點頭，聲音?。何液桶职忠黄鹱龅?，我會做。（師將她匯報的習題結果投影在銀幕上，其他學生連聲說道：“對的，全對，我也是這么做的?！保?/p>

生2：老師，我是用整數(shù)除法平均分的意義來推想的。如第1題，10÷4=2.5（元），表示把10元錢平均分4份，就是平均分到4千克香蕉上，每千克香蕉分得2.5元錢，就求出每千克香蕉是2.5元；4÷10=0.4（千克），表示把4千克香蕉平均分10份，就是平均分到10元錢上去，每元錢上分得0.4千克的香蕉，就是1元錢可以買0.4千克的香蕉。

師：不錯，講得既清晰又完整。誰能再具體地說說選擇題答案選①的道理給大家聽聽？

生3：3÷1.2表示把3噸黃豆平均分到1.2噸油上，每噸油上分得了多少噸黃豆，求得的就是“榨1噸油需要多少噸黃豆”。

師：大家聽明白了嗎？誰還有別的想法？

生4：老師，我知道她的想法，我媽媽就是這樣指導我的。如第2題，第一個問題求每小時做的零件個數(shù)，應把“18個零件”當作被除數(shù)，列式為18÷4.5；第二個問題求的是時間，應把“4.5小時”當作被除數(shù)，列式為4.5÷18。上面的選擇題，求的是“需要多少噸黃豆”，應把3當作被除數(shù)，所以答案選①。第1題和第3題都可以這樣來想，直接列出除法算式。（此時，有好幾個學生小聲地嘀咕著，說他們也是這樣來區(qū)分的）

師：知道你媽媽這樣教你是為什么嗎？

生4：有點搞不清楚誰除以誰，但媽媽就叫我用這樣的方法區(qū)分，列式能既快又對。（問生1是不是這樣想的，她羞澀地點了點頭）

生5：現(xiàn)在我懂了，知道求什么就把什么當作被除數(shù)的道理了，實際上就是根據(jù)整數(shù)除法的意義來推想的。

師：你以第3題為例完整地說一說，好嗎？

生5：求“平均每米鋼絲重多少千克”，就是要把重量0.2千克平均分到長度0.25米上，可得到每米重0.8千克，把重量0.2千克來平均分，當然就將0.2當作被除數(shù)了；反過來，求“平均1千克重的鋼絲長多少米”，就是要把長度0.25米平均分到重量0.2千克上，可得到每千克長1.25米，要把長度來平均分，就是將0.25當作被除數(shù)。

師：講得非常好！謝謝這幾位發(fā)言的同學，讓我們對這樣的問題解決有了更深刻的理解。是的，小數(shù)除法的意義和整數(shù)除法的意義是相同的，我們在解決這類問題時，就可以借助整數(shù)除法的平均分意義或數(shù)量之間的關系來幫助理解。這樣不僅能單純地記住解題的方法，而且能深刻地明白其中的道理。

師：誰還有什么疑惑，讓大家討論解決？

生6：做探究題時，我也是仿照整數(shù)除法意義推想的。為了區(qū)分，我是記住問題中的“每什么”，那么這些數(shù)列式時就為除數(shù)。如求“每千克……”“每元錢……”“每小時……”，則以“多少千克”“多少元錢”“多少小時”為除數(shù)。聽了大家的想法，我現(xiàn)在清楚多了。

生7：我還有疑惑。像18÷4.5=4（個），按照平均分的意義，就是把18個零件平均分為4.5份，每小時加工4個零件，但怎么平均分成4.5份呢？4個零件是不是1個小時加工的呢？0.2÷0.25又怎么平均分？0.8千克一定就是長1米的重量嗎？（學生靜靜地傾聽并思考）

師：聽明白他的疑惑了嗎？我要特地夸獎一下他，敢于把自己的疑惑給說出來。愛因斯坦曾經說過“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”，把這句名言送給每一位同學，希望大家學習中多問一些“為什么”。

師：誰也有像他這樣的疑惑？（一些學生點點頭）是啊，除數(shù)是整數(shù)時，我們可以去實踐分一分來驗證，或者想象一下分的過程幫助理解?？沙龜?shù)是小數(shù)時，平均分怎么操作呢？想不想跟著老師一起分分看？挑個最容易的我們一起試試，好嗎？

指導學生畫出“18÷4.5=4（個）”平均分的示意圖，如下。

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師：通過實踐，我們驗證了每小時確實加工了4個零件。其實，每道題都可以證明所得結果就是每份數(shù)的量，只不過都用具體分一分或畫圖的辦法來驗證難度太大了。想一想，有沒有更好的方法來驗證？（教室里靜悄悄的，學生一下子還找不著方法）

師：剛剛學習計算除數(shù)是小數(shù)的除法，用的是什么策略？（這時，部分學生茅塞頓開）

生8：可以把被除數(shù)和除數(shù)同時擴大2倍轉化成整數(shù)思考，原題就相當于9小時加工了36個零件，可得每小時加工4個零件。endprint

師：為什么要同時乘2呢？

生8：同時乘2才能保證商不變（商不變的性質），這樣被除數(shù)和除數(shù)都轉化成了整數(shù)，易于理解。

師：同學們，商不變的性質告訴我們，不僅僅18÷4.5與36÷9、180÷45的值都是4，同時這個4所表示“每小時加工的零件個數(shù)”的意義也是不會變的。大家用這個更為簡單的轉化方法驗證一下其他題吧。

生9：0.2÷0.25可想成0.8÷1=0.8或20÷25=0.8，0.25÷0.2可想成1.25÷1=1.25、2.5÷2=1.25、25÷20=1.25……

師：轉化是一種非常重要的數(shù)學思想方法，在今后的學習中，我們遇到比較困難的問題時要常想到用它，可使未知的問題借助已學的舊知來解決。

……

教學思考：

1.基于問題描述及問題成因的思考

教學“小數(shù)乘法和除法（二）”后，只要讓學生做“一臺拖拉機4小時耕地5公頃。平均每小時耕地（ ）公頃，平均每耕地1公頃需要（ ）小時”這類題目（即使題目中出現(xiàn)的都是整數(shù)），學生解決問題的正確率會明顯降低。為什么學生解答一個問題單獨出現(xiàn)的題時正確率很高，但將兩個問題合二為一后，學生卻反而不會了？

（1）從不同角度豐富小數(shù)除法含義的理解與平均分含義理解的沖突。

新課程理念倡導：“課程內容要反映社會的需要、數(shù)學的特點，要符合學生的認知規(guī)律。課程內容的選擇要貼近學生的生活實際，有利于他們體驗與理解、思考與探索?！痹凇靶?shù)乘法和除法（二）”教學中，教材多是通過學生的生活實際場景設計問題，以激活學生的已有經驗，引導學生借助具體數(shù)量關系列出一個數(shù)除以小數(shù)的算式。同時，教材還在練習中讓學生根據(jù)數(shù)量間的倍數(shù)關系列出除法算式。教材從多角度豐富學生對小數(shù)乘除法含義的理解，體現(xiàn)了新課程的基本理念。學生在具體情境中聯(lián)系整數(shù)乘除法的意義很容易理解小數(shù)乘除法的計算意義，因而列式時沒有學習障礙。如教材P93例5（7.98÷4.2）及P95例6（1.1÷0.55）的教學問題設計，都是讓學生用“總價÷單價=數(shù)量”這一數(shù)量關系來列式，避免了求單價用平均分理解的情況出現(xiàn)，這是教材有意降低學生學習的難度。而上述探究題，卻讓學生從除法平均分的角度思考問題，學生思維的形象性與問題的抽象性之間發(fā)生沖突，導致解題出現(xiàn)錯誤。小學階段，學生的思維處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段，即便到了中高年級，抽象思維有所發(fā)展，但學生思考問題時仍然需要感性材料的支持，所以學生解決上述教學中的問題感到棘手也就理所當然。此外，混淆兩個問題也是學生出現(xiàn)錯誤的原因之一。在實際教學中，由于教師忽視對常用數(shù)量關系的提煉和介紹，如“1元錢可以買多少千克香蕉”“平均每加工1個零件需要多少小時”等，導致學生得不到已有數(shù)量關系知識經驗的支撐，所以解題出現(xiàn)錯誤在所難免。

（2）計算方法掌握的主要教學目標與教學忽視小數(shù)除法計算意義理解的沖突。

這部分內容的教學目標為理解并掌握小數(shù)乘除法計算的筆算方法，會用小數(shù)的計算解決一些比較簡單的實際問題。反觀我們的教學設計與教學過程，教師更多的是引領學生通過合乎邏輯的思考，逐步理解小數(shù)乘除法的計算方法和能夠正確計算，從而忽略了引導學生對除法計算意義的理解。教學中，學生感受小數(shù)與整數(shù)乘除法的內在聯(lián)系、發(fā)展類比遷移能力和合情推理能力、重點體會轉化的策略及獲得的感性與理性認識等，更多的是體現(xiàn)在小數(shù)乘除法計算方法的層面上。我認為學生借助具體情境容易理解小數(shù)除法的意義，但還需教師引導學生把初步形成的感性認識進一步深化。如題目：“服裝小組用21.45米布做了15件短袖衫，平均每件短袖衫用布多少米？”學生列出除法算式后，教師不要急于告訴學生正確的計算結果，而是追問：“21.45除以15，是否可以理解成把21.45米平均分成15份，求每份是多少？”通過追問，引發(fā)學生的深入思考，加深他們對小數(shù)乘除法意義的理解。

2.基于本次數(shù)學活動的思考。

根據(jù)分析，類似上述教學中的探究題是學生學習小數(shù)乘除法時的難點。陳洪杰老師說過：“以紙筆形式解題雖是小學數(shù)學學習的常態(tài)，但真正的學習不是‘解題，而是‘問題解決?！蹦敲矗@一問題該如何解決呢？如上述教學，課前安排自主探究環(huán)節(jié)有以下的意圖：首先，讓學生進行專項問題的自主探究，這樣才能發(fā)揮每位學生的積極性，避免課堂上思考的只是那些思維敏捷且敢于發(fā)言的學生，讓那些默默無聞的學生也能積極主動地進行獨立思考；其次，給學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，保證學生有足夠的時間、空間與精力進行探究，以便課堂交流時學生有話可說、有話要說，有助于他們對問題的深入認識與理解；再次，學生間存在個體差異，所以解決問題的路徑也有差異，但經歷了這樣的探究過程，每個學生的能力都各有提升，實現(xiàn)“不同的學生得到不同的發(fā)展”的教學目的。

雖然數(shù)學學習主要是思維活動的過程，依靠個人的獨立思考完成學習任務，但讓學生通過交流討論，能修正、優(yōu)化自己的思維過程與結果。本次教學，我沒有止步于學生獲得高正確率的解題結果上，而是將教學重點放在組織課堂交流環(huán)節(jié)中。課堂交流中，我通過不斷的追問和質疑，引導學生進一步交流與反思，促使他們在思維碰撞中不斷提高認識、深化理解、積累經驗，使大多數(shù)學生對原有問題的理解從具體層面上升為一般化概括的水平。本節(jié)課學生獲得以下發(fā)展：第一，拓展對小數(shù)除法計算含義的已有認識，即在原有乘法的逆運算、數(shù)量的平均分配、數(shù)量間的倍數(shù)的基礎上，把對數(shù)量平均分配的認識拓寬到小數(shù)范圍，且將除法與后續(xù)比（商和比值）的知識建立了初步的內在聯(lián)系；第二，既改變學生對教師所授予知識的被動接受狀態(tài)，實踐以其已有知識和經驗為基礎的主動建構的探究學習方式，又改變學生把解決問題等同于得到答案的學習習慣；第三，感悟數(shù)學思想方法，積累數(shù)學活動經驗。上述教學過程，既有驗證、歸納，又有推理和探究，使學生在知識和方法方面進行更高層次上的抽象與概括，從而深刻理解所學知識，獲得真正的發(fā)展。

（責編 杜 華）endprint