徐鳳

摘 要： 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要理解。數(shù)學(xué)知識具有高度的抽象性，學(xué)生對它的認(rèn)識、理解和內(nèi)化是一個漸進的感悟過程，需要讀、說、反復(fù)、反思。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 理解 感受 反思

數(shù)學(xué)一直是大部分學(xué)生公認(rèn)的最難學(xué)的學(xué)科之一。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，很多學(xué)生都面臨相同的困惑：他們認(rèn)識數(shù)學(xué)材料中的每一個字、字母與數(shù)字，可當(dāng)這些字、字母與數(shù)字連在一起以后，他們卻不能理解其中含義了，更不用說體會其中的數(shù)學(xué)思想方法了；上課時感覺都聽懂了，到了解題時卻不會了。這樣的問題，我認(rèn)為是學(xué)生沒能獲得真正的數(shù)學(xué)理解，他們并不理解自以為知道的東西，或許他們根本不理解自己正在學(xué)習(xí)的東西。

國內(nèi)外許多專家學(xué)者從不同角度對理解問題做了積極的探索與研究，不同學(xué)派的研究結(jié)果體現(xiàn)出一個共同的觀點：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要理解？沒有理解就不可能有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

什么是數(shù)學(xué)理解？對于中職數(shù)學(xué)的教與學(xué)，我認(rèn)為首先是學(xué)生要清楚所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容是什么并能清楚表達；其次是學(xué)生能將所學(xué)的內(nèi)容跟其已有的知識建立聯(lián)系，并將新知納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；最后是能在問題情境中運用知識。

一、落實有效的課堂理解教學(xué)

1.讓學(xué)生感受知識產(chǎn)生的背景，理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的必要性。

在日常的教學(xué)過程中，學(xué)生總是會問：學(xué)了這些數(shù)學(xué)知識這有什么用？因為他們在實踐中或自然界中找不到它們，他們不能理解如此這般的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正當(dāng)理由。

任何學(xué)習(xí)都是一個認(rèn)知過程，教科書并不能讓學(xué)生了解知識發(fā)展的所有過程，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題的過程，思考問題的方法，解決問題的途徑不可能全部展示。讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)知識的背景及其必要性，明白知識的產(chǎn)生也有過程，是人類生活和進步的需要，是極其有價值的。例如在推廣角的概念時，向?qū)W生提出如下問題：假如你的手表快了5分鐘或慢了1.5小時，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？校準(zhǔn)后分針各轉(zhuǎn)了多少度？學(xué)生用手表進行實際操作，實驗中學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個問題：一是分針可以順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，二是分針有時候旋轉(zhuǎn)不到一周，有時候要轉(zhuǎn)一周以上才能校準(zhǔn)。這樣的發(fā)現(xiàn)與學(xué)生知識結(jié)構(gòu)中已有的內(nèi)容不再一致，導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)知發(fā)生沖突，使學(xué)生明確角必須重新定義，理解學(xué)習(xí)任意角這一內(nèi)容的必要性，既明確了要研究的問題，又調(diào)動了學(xué)生解決問題的主動性和積極性，是學(xué)生理解和掌握知識的開始。

2.讓學(xué)生體驗知識的形成過程，在自主學(xué)習(xí)活動中感悟。

古人云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行?！睌?shù)學(xué)不是純粹的解題教學(xué)，學(xué)生獲取數(shù)學(xué)結(jié)果遠比不上他獲取這個結(jié)果的過程重要，知識的理解必須讓學(xué)生經(jīng)過親身經(jīng)歷它的產(chǎn)生。

在教學(xué)函數(shù)的奇偶性定義時，設(shè)計以下步驟，讓學(xué)生親歷知識形成的過程。

（2）判斷各函數(shù)圖像的對稱性；

（3）根據(jù)所列表格尋找各函數(shù)圖像上點的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，學(xué)生會得到結(jié)論：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)時，縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)；

（4）引導(dǎo)學(xué)生將語言形式表述的概念轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的表述形式，結(jié)合函數(shù)圖像，得到在定義域內(nèi)有x必定有-x，其對應(yīng)的函數(shù)值f（x）和f（-x）相等時圖像關(guān)于y軸對稱，互為相反數(shù)時圖像關(guān)于原點對稱，既揭示了奇偶函數(shù)的定義，又明確了定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；

（5）啟發(fā)學(xué)生思考定義域不關(guān)于原點對稱，以及f（x）和f（-x）既不相等又不互為相反數(shù)等情況將知識補充完整。

通過以上步驟，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過積極思考，發(fā)現(xiàn)知識的產(chǎn)生，體驗思維過程，探索數(shù)學(xué)結(jié)論，感悟其中的思想方法和內(nèi)在聯(lián)系，真正地理解知識的本質(zhì)。

3.讓學(xué)生在運用中升華數(shù)學(xué)理解。

學(xué)習(xí)知識的最終目的是運用知識解決問題。知識形成后，直接的例題講解是教師帶領(lǐng)學(xué)生加深感性認(rèn)識，感悟知識的內(nèi)在，及時而有針對性的練習(xí)讓學(xué)生自己深化理解。知識只有被深刻地理解了才具有遷移與應(yīng)用的活性，讓學(xué)生在運用中深化理解，在理解中提升運用，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，完成數(shù)學(xué)知識的積累與內(nèi)化。

二、促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解教學(xué)的若干策略

1.閱讀。

談起閱讀，一般都會聯(lián)想到語文和英語學(xué)科，數(shù)學(xué)知識的理解離不開閱讀。數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的一個顯著區(qū)別在于數(shù)學(xué)中充滿著符號、圖形和圖像，它們按照一定規(guī)則表達數(shù)學(xué)意義交流數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)閱讀的過程是一個積極的思考過程，當(dāng)一個學(xué)生閱讀一段數(shù)學(xué)材料時，他眼看、口讀、耳聽、心想，多種感官并用，在讀中消化、感悟所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，并在大腦中形成系統(tǒng)性的知識體系。

數(shù)學(xué)語言的精練和嚴(yán)密常讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)內(nèi)容非常抽象，尤其是在概念、定義、定理的學(xué)習(xí)中，如果僅靠老師的講述，學(xué)生通常是在一知半解的基礎(chǔ)上死記硬背，即使當(dāng)時背得滾瓜爛熟，很快就會忘得一干二凈。引導(dǎo)學(xué)生閱讀，逐字、逐詞、逐句地咬文嚼字，體會其中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)術(shù)語和每個數(shù)學(xué)符號的含義，形成實質(zhì)性的理解。

例如要求學(xué)生讀函數(shù)單調(diào)性的定義，逐字感受“某個區(qū)間”、“任意”等關(guān)鍵詞，強調(diào)學(xué)生對的理解，認(rèn)識單調(diào)區(qū)間的元素。又如在引入對數(shù)，復(fù)數(shù)等內(nèi)容時，閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)史可以讓學(xué)生了解更多知識的背景和發(fā)展過程，完善對知識的理解。

2.說。

學(xué)生理解知識的表現(xiàn)形式之一是能用自己的語言表達，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生對概念或定理進行描述和分析，啟發(fā)學(xué)生講解解題思路和思考過程，把數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為內(nèi)部的思維活動。說的過程，會讓學(xué)生更主動地思考和傾聽，通過說，學(xué)生在嘗試概括出數(shù)學(xué)對象，以自己的經(jīng)驗和已有知識對數(shù)學(xué)對象進行解釋的同時也能接受他人的思想。有條理地說能幫助加深理解，理解了才能有效地講解和交流，更好地表達。

3.反復(fù)。

學(xué)習(xí)是一個經(jīng)驗積累的過程，數(shù)學(xué)理解也必定是一個逐步深入的過程，學(xué)生不可能一次性地把握數(shù)學(xué)知識全部的本質(zhì)，初步的經(jīng)驗不是沒有意義，只是通常比較膚淺和片面，理解的過程有發(fā)生也有發(fā)展，需要在解題、復(fù)習(xí)、測驗等情境中，靈活反復(fù)地再現(xiàn)同一知識，才能做到“聽懂、想通、應(yīng)用和鞏固”，使思維對對象的把握達到理性認(rèn)識的階段，進展到一個更深入、更全面、更廣闊的程度，才可能洞察數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征，實現(xiàn)對此知識逐步深化、精確化的理解。endprint

4.反思。

數(shù)學(xué)教育家弗洛登塔爾說：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力?！睌?shù)學(xué)理解是一個動態(tài)發(fā)展的過程，是一個信息要素組織的過程，需要認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再組織。要形成真正的理解，需要學(xué)習(xí)者不斷地鞏固和重組知識網(wǎng)絡(luò)，在認(rèn)識向前發(fā)展的過程中返首回顧，重溫已接觸過的東西。

獲得的知識如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它們聯(lián)系起來，那是一種多半會被遺忘的知識。學(xué)習(xí)到一定的階段時，我們不僅要對所學(xué)內(nèi)容進行回顧，而且要對學(xué)習(xí)活動中所涉及的知識、方法、思路、策略進行反省，理清新舊知識的縱向延伸和橫向聯(lián)系，抓住新舊知識的連接點，體會數(shù)學(xué)是一個有機整體，建立、完善和豐富新舊知識之間的網(wǎng)絡(luò)。

例如將等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義，通項公式，求和公式及有關(guān)性質(zhì)進行類比，不但強化了知識間的對比，而且鮮明地展示了知識獲取的過程，形成了清晰的知識脈絡(luò)。又如學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，兩倍角公式，半角公式，萬能公式后，通過反思公式的內(nèi)在聯(lián)系體會對數(shù)學(xué)公式的理解。

三、教師幫助學(xué)生克服理解困難的幾點做法

1.深入了解學(xué)生已有的知識經(jīng)驗。

每一個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)都要依賴之前學(xué)習(xí)過的很多個環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生常常在我們稱為“教學(xué)難點”的地方出錯。這種情況常常發(fā)生在教學(xué)過程中知識的不連續(xù)處，或是一個特殊知識系列的起點處，教學(xué)內(nèi)容的跳躍處，學(xué)生學(xué)習(xí)所需要的準(zhǔn)備知識。在學(xué)習(xí)一個新概念以前，學(xué)生必須具備與之有關(guān)的準(zhǔn)備知識，如果學(xué)生已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏與新知識相關(guān)的舊知識或經(jīng)驗，就無法提取可利用的知識或經(jīng)驗建立新舊知識的聯(lián)系，從而造成理解困難。

教師必須熟悉學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，采取適當(dāng)?shù)氖侄螏椭麄兘?gòu)那些缺少的觀念，明晰那些模糊的觀念并強化其穩(wěn)定性，為理解數(shù)學(xué)新知識奠定堅實的基礎(chǔ)。

例如在學(xué)習(xí)求一元二次不等式的解時，一元二次方程，二次函數(shù)等相關(guān)知識是支撐新概念形成的依托；復(fù)數(shù)的四則運算需要多項式運算，有理化因式等知識的準(zhǔn)備。

2.注重給予學(xué)生自主活動和學(xué)習(xí)體驗的機會。

數(shù)學(xué)理解教學(xué)是過程性教學(xué)，教師要給學(xué)生充足的思考和探索的時間，足夠的嘗試和討論的時間，提供他們概括和表達的機會，使學(xué)生在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面都得到進步和發(fā)展。

3.教師對數(shù)學(xué)知識的把握直接影響到學(xué)生的理解結(jié)果。

只有教師理解了數(shù)學(xué)知識生成的過程，準(zhǔn)確地把握知識的本質(zhì)及其在整個知識網(wǎng)絡(luò)中的位置，才能為學(xué)生提供信息，創(chuàng)設(shè)情境，搭建理解的平臺，揭示數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)。

數(shù)學(xué)需要被理解地學(xué)習(xí)，理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心環(huán)節(jié)，是獲得數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵，是數(shù)學(xué)能力發(fā)展的“奠基石”。沒有理解就不可能有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師應(yīng)該讓每一個學(xué)生都成為數(shù)學(xué)理解學(xué)習(xí)的參與者、實踐者、探索者和收獲者。

參考文獻：

[1]高洪武.關(guān)注概念教學(xué)加強數(shù)學(xué)理解.現(xiàn)代中小學(xué)教育，2010（9）.

[2]徐志蓮.論高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)模式.麗水學(xué)院學(xué)報，2005-10.

[3]王愛珍.新課程下數(shù)學(xué)理解與促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008-5.

[4]于福群.高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生的理解學(xué)習(xí).教育實踐與研究，2009-10.endprint

4.反思。

數(shù)學(xué)教育家弗洛登塔爾說：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力?！睌?shù)學(xué)理解是一個動態(tài)發(fā)展的過程，是一個信息要素組織的過程，需要認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再組織。要形成真正的理解，需要學(xué)習(xí)者不斷地鞏固和重組知識網(wǎng)絡(luò)，在認(rèn)識向前發(fā)展的過程中返首回顧，重溫已接觸過的東西。

獲得的知識如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它們聯(lián)系起來，那是一種多半會被遺忘的知識。學(xué)習(xí)到一定的階段時，我們不僅要對所學(xué)內(nèi)容進行回顧，而且要對學(xué)習(xí)活動中所涉及的知識、方法、思路、策略進行反省，理清新舊知識的縱向延伸和橫向聯(lián)系，抓住新舊知識的連接點，體會數(shù)學(xué)是一個有機整體，建立、完善和豐富新舊知識之間的網(wǎng)絡(luò)。

例如將等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義，通項公式，求和公式及有關(guān)性質(zhì)進行類比，不但強化了知識間的對比，而且鮮明地展示了知識獲取的過程，形成了清晰的知識脈絡(luò)。又如學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，兩倍角公式，半角公式，萬能公式后，通過反思公式的內(nèi)在聯(lián)系體會對數(shù)學(xué)公式的理解。

三、教師幫助學(xué)生克服理解困難的幾點做法

1.深入了解學(xué)生已有的知識經(jīng)驗。

每一個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)都要依賴之前學(xué)習(xí)過的很多個環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生常常在我們稱為“教學(xué)難點”的地方出錯。這種情況常常發(fā)生在教學(xué)過程中知識的不連續(xù)處，或是一個特殊知識系列的起點處，教學(xué)內(nèi)容的跳躍處，學(xué)生學(xué)習(xí)所需要的準(zhǔn)備知識。在學(xué)習(xí)一個新概念以前，學(xué)生必須具備與之有關(guān)的準(zhǔn)備知識，如果學(xué)生已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏與新知識相關(guān)的舊知識或經(jīng)驗，就無法提取可利用的知識或經(jīng)驗建立新舊知識的聯(lián)系，從而造成理解困難。

教師必須熟悉學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，采取適當(dāng)?shù)氖侄螏椭麄兘?gòu)那些缺少的觀念，明晰那些模糊的觀念并強化其穩(wěn)定性，為理解數(shù)學(xué)新知識奠定堅實的基礎(chǔ)。

例如在學(xué)習(xí)求一元二次不等式的解時，一元二次方程，二次函數(shù)等相關(guān)知識是支撐新概念形成的依托；復(fù)數(shù)的四則運算需要多項式運算，有理化因式等知識的準(zhǔn)備。

2.注重給予學(xué)生自主活動和學(xué)習(xí)體驗的機會。

數(shù)學(xué)理解教學(xué)是過程性教學(xué)，教師要給學(xué)生充足的思考和探索的時間，足夠的嘗試和討論的時間，提供他們概括和表達的機會，使學(xué)生在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面都得到進步和發(fā)展。

3.教師對數(shù)學(xué)知識的把握直接影響到學(xué)生的理解結(jié)果。

只有教師理解了數(shù)學(xué)知識生成的過程，準(zhǔn)確地把握知識的本質(zhì)及其在整個知識網(wǎng)絡(luò)中的位置，才能為學(xué)生提供信息，創(chuàng)設(shè)情境，搭建理解的平臺，揭示數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)。

數(shù)學(xué)需要被理解地學(xué)習(xí)，理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心環(huán)節(jié)，是獲得數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵，是數(shù)學(xué)能力發(fā)展的“奠基石”。沒有理解就不可能有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師應(yīng)該讓每一個學(xué)生都成為數(shù)學(xué)理解學(xué)習(xí)的參與者、實踐者、探索者和收獲者。

參考文獻：

[1]高洪武.關(guān)注概念教學(xué)加強數(shù)學(xué)理解.現(xiàn)代中小學(xué)教育，2010（9）.

[2]徐志蓮.論高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)模式.麗水學(xué)院學(xué)報，2005-10.

[3]王愛珍.新課程下數(shù)學(xué)理解與促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008-5.

[4]于福群.高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生的理解學(xué)習(xí).教育實踐與研究，2009-10.endprint

4.反思。

數(shù)學(xué)教育家弗洛登塔爾說：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力?！睌?shù)學(xué)理解是一個動態(tài)發(fā)展的過程，是一個信息要素組織的過程，需要認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再組織。要形成真正的理解，需要學(xué)習(xí)者不斷地鞏固和重組知識網(wǎng)絡(luò)，在認(rèn)識向前發(fā)展的過程中返首回顧，重溫已接觸過的東西。

獲得的知識如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它們聯(lián)系起來，那是一種多半會被遺忘的知識。學(xué)習(xí)到一定的階段時，我們不僅要對所學(xué)內(nèi)容進行回顧，而且要對學(xué)習(xí)活動中所涉及的知識、方法、思路、策略進行反省，理清新舊知識的縱向延伸和橫向聯(lián)系，抓住新舊知識的連接點，體會數(shù)學(xué)是一個有機整體，建立、完善和豐富新舊知識之間的網(wǎng)絡(luò)。

例如將等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義，通項公式，求和公式及有關(guān)性質(zhì)進行類比，不但強化了知識間的對比，而且鮮明地展示了知識獲取的過程，形成了清晰的知識脈絡(luò)。又如學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，兩倍角公式，半角公式，萬能公式后，通過反思公式的內(nèi)在聯(lián)系體會對數(shù)學(xué)公式的理解。

三、教師幫助學(xué)生克服理解困難的幾點做法

1.深入了解學(xué)生已有的知識經(jīng)驗。

每一個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)都要依賴之前學(xué)習(xí)過的很多個環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生常常在我們稱為“教學(xué)難點”的地方出錯。這種情況常常發(fā)生在教學(xué)過程中知識的不連續(xù)處，或是一個特殊知識系列的起點處，教學(xué)內(nèi)容的跳躍處，學(xué)生學(xué)習(xí)所需要的準(zhǔn)備知識。在學(xué)習(xí)一個新概念以前，學(xué)生必須具備與之有關(guān)的準(zhǔn)備知識，如果學(xué)生已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏與新知識相關(guān)的舊知識或經(jīng)驗，就無法提取可利用的知識或經(jīng)驗建立新舊知識的聯(lián)系，從而造成理解困難。

教師必須熟悉學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，采取適當(dāng)?shù)氖侄螏椭麄兘?gòu)那些缺少的觀念，明晰那些模糊的觀念并強化其穩(wěn)定性，為理解數(shù)學(xué)新知識奠定堅實的基礎(chǔ)。

例如在學(xué)習(xí)求一元二次不等式的解時，一元二次方程，二次函數(shù)等相關(guān)知識是支撐新概念形成的依托；復(fù)數(shù)的四則運算需要多項式運算，有理化因式等知識的準(zhǔn)備。

2.注重給予學(xué)生自主活動和學(xué)習(xí)體驗的機會。

數(shù)學(xué)理解教學(xué)是過程性教學(xué)，教師要給學(xué)生充足的思考和探索的時間，足夠的嘗試和討論的時間，提供他們概括和表達的機會，使學(xué)生在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面都得到進步和發(fā)展。

3.教師對數(shù)學(xué)知識的把握直接影響到學(xué)生的理解結(jié)果。

只有教師理解了數(shù)學(xué)知識生成的過程，準(zhǔn)確地把握知識的本質(zhì)及其在整個知識網(wǎng)絡(luò)中的位置，才能為學(xué)生提供信息，創(chuàng)設(shè)情境，搭建理解的平臺，揭示數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)。

數(shù)學(xué)需要被理解地學(xué)習(xí)，理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心環(huán)節(jié)，是獲得數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵，是數(shù)學(xué)能力發(fā)展的“奠基石”。沒有理解就不可能有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師應(yīng)該讓每一個學(xué)生都成為數(shù)學(xué)理解學(xué)習(xí)的參與者、實踐者、探索者和收獲者。

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