史寧中

這次討論大數(shù)據(jù)與小學數(shù)學教學，是一個嶄新的話題，我只是簡單地講一講，啟發(fā)大家思考兩個方面的問題：第一，什么是大數(shù)據(jù)？第二，大數(shù)據(jù)給小學數(shù)學教育帶來的變化是什么？

什么是大數(shù)據(jù)

上個世紀80年代非常熱的詞有兩個，一個叫做“海量數(shù)據(jù)”，一個叫做“高維數(shù)據(jù)”。為什么有海量數(shù)據(jù)這個詞？隨著科學實驗手段的加強和信息技術(shù)的飛速發(fā)展，人們能夠在很短的時間內(nèi)得到大量的數(shù)據(jù)，這樣的數(shù)據(jù)叫做“海量數(shù)據(jù)”。

到本世紀提出大數(shù)據(jù)的概念，是因為網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)。網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)比過去通過實驗得到的數(shù)據(jù)要大得多。這些數(shù)據(jù)帶來了極大的變化，因此全世界開始重視這些數(shù)據(jù)。先是《自然》雜志，在2012年9月登了10篇文章來討論大數(shù)據(jù)。還有《科學》雜志，在2011年有兩期討論大數(shù)據(jù)的文章。

更重要的是，政府開始重視這個事情。大家都知道斯諾登的事情，各種情報的收集，大部分都是網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，包括電話錄音。美國政府在2012年推出了《大數(shù)據(jù)的研究與發(fā)展計劃》，對大數(shù)據(jù)進行研究。聯(lián)合國也在2012年發(fā)布了《大數(shù)據(jù)促發(fā)展——挑戰(zhàn)與機遇》的白皮書。中國也開始重視大數(shù)據(jù)，成立了互聯(lián)網(wǎng)委員會，考慮網(wǎng)絡(luò)安全問題，特別是最近的法治研究和社會意識形態(tài)研究，都把網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)和大數(shù)據(jù)分析的問題提上日程。

大數(shù)據(jù)是如何產(chǎn)生的？

網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)不是像我們傳統(tǒng)方式那樣，通過實驗得到的，通過調(diào)查得到的。

很多數(shù)據(jù)是主動產(chǎn)生的，比如說博客，還有跟著博客發(fā)表意見的評論，特別是短信、微信。它們的產(chǎn)生沒有明確的規(guī)律，但是這些數(shù)據(jù)對了解民意非常重要。如何對這樣的數(shù)據(jù)進行分析？這個問題對教育帶來了什么，對小學數(shù)學帶來了什么？值得思考。

還有一類數(shù)據(jù)是自動產(chǎn)生的，不管你愿不愿意。比如說街上的交通監(jiān)視、汽車導(dǎo)航系統(tǒng)、手機運動的軌跡。這樣的數(shù)據(jù)規(guī)律性很強，管理價值非常大。由這些數(shù)據(jù)提供交通服務(wù)是非常有效的。比如導(dǎo)航服務(wù)，就能使出行路線最優(yōu)化。

還有一種驅(qū)動產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，這個數(shù)據(jù)商家更感興趣。比如網(wǎng)上購物，網(wǎng)上買機票、火車票，網(wǎng)上訂旅館。

大數(shù)據(jù)的特征是什么？

大數(shù)據(jù)的特征是價值稀疏。數(shù)據(jù)量那么大，每天能夠產(chǎn)生25億GB，真正有分析價值的不到0.5%，大部分都是沒用的東西。但是沒用的東西一旦有用了價值就非常大，比如說交通監(jiān)視，大部分時間都沒有事故，突然有事故了，數(shù)據(jù)的價值就極大。傳統(tǒng)意義上認為，數(shù)據(jù)都是等同的，都提供一樣多的信息，現(xiàn)在不是了，有些數(shù)據(jù)提供的信息大，有些數(shù)據(jù)提供的信息少。這怎么分析呢？輿情控制中心在什么地方呢？

還有，這樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，有文本數(shù)據(jù)、音像數(shù)據(jù)，怎么分析？進一步，這樣的數(shù)據(jù)是多元動態(tài)的，是源源不斷的，隔一段時間分析一次，需要做實時分析，不能等到數(shù)據(jù)都來了再分析。怎么保證實時分析的結(jié)果和整體分析的結(jié)果是一樣的，這個問題涉及信息科學、管理科學、統(tǒng)計學、數(shù)學等多門學科。大數(shù)據(jù)有分析價值，但要用不同的分析方法才能得到有用的東西。

大數(shù)據(jù)給小學數(shù)學教育帶來的啟示

大數(shù)據(jù)給小學數(shù)學教育帶來了什么呢？我認為最重要的是感悟數(shù)據(jù)分析。

其一，建立數(shù)據(jù)分析觀念

2011年修訂的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（以下簡稱《課標》）把過去核心詞里的“統(tǒng)計觀念”，改成“數(shù)據(jù)分析觀念”，就是希望老師知道，數(shù)據(jù)分析是很重要的，并且希望教學能夠構(gòu)建適當?shù)谋尘?，讓學生感受到數(shù)據(jù)分析是很重要的。

結(jié)合大數(shù)據(jù)的主題，回想在“數(shù)據(jù)分析觀念”中提到的三件事情是非常重要的。

第一件事情，感悟數(shù)據(jù)中蘊含的信息。要讓孩子們知道，所有的道理不一定都是老師教的，不一定都是父母說的，也不一定是書本上說的，有一些信息，有一些道理是通過數(shù)據(jù)知道的。這個叫做數(shù)學的“實事求是”。有些東西是要經(jīng)過思考的，根據(jù)什么來思考呢？根據(jù)事實思考，然后得出自己的結(jié)論。這樣，孩子就可能會想問題，就可能會發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題。

第二件事情，知道數(shù)據(jù)中的信息可以用不同的辦法獲取。數(shù)據(jù)中的信息不像純數(shù)學那樣，只能靠一個辦法得到。世界上絕對真理是不存在的，很多事情是相對的，相對的意思就是同樣的數(shù)據(jù)，用不同的方法分析會得到不同的結(jié)論。因此它取決于這個人的判斷準則，取決于他的價值觀。什么樣的辦法好呢？大家討論叫做民主，或者是最符合背景的方法就是一個好辦法。這個是判斷準則，也可以自己定。我最希望小學老師把這件事情講給學生，讓他們從小樹立起這個信念。中國人到現(xiàn)在為止，發(fā)明創(chuàng)造極少，原因就是那個標準都是外國人定的，中國人到現(xiàn)在為止自己制定的產(chǎn)品標準極少。不會定標準，就永遠不能引領(lǐng)這個行業(yè)，特別是不能制定標準，就不能當大老板。這個事情得從小開始重視，應(yīng)該讓孩子們知道，有些標準是老師定的，但是有些標準你也可以定。

第三件事情，感悟數(shù)據(jù)是隨機的?？赡苓@次取得的數(shù)據(jù)是這樣的，下一次取得的數(shù)據(jù)是那樣的。雖然是隨機的，但是只要你取得相當多的數(shù)據(jù)之后，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律性。什么叫隨機性？如何理解算術(shù)平均？單純從數(shù)學的角度考慮，算術(shù)平均就是加法和除法，僅僅就是一種運算，實際上，算術(shù)平均有深刻的統(tǒng)計意義，或者是有隨機意義，從這個角度考慮教學才有意義。比如測量一個東西，每次測量的結(jié)果都是不一樣的，這里有隨機誤差，可以表示為x=u+ε，x是測量數(shù)據(jù)，u是真實數(shù)據(jù)，ε是隨機誤差。因為在測量過程中，只有測量數(shù)據(jù)是已知的，其余兩個量真值和誤差都是未知的，這樣是沒法進行運算的。舉例說，如果你知道你們家兩個月的電費是多少，你怎么能知道每個月的電費是多少呢？怎么辦？就是反復(fù)測量，比如測量了n次，每一次都用這個公式計算，得到n個式子，其中每次測量的x是不一樣的；真值u都是一樣的，和為n倍的u；每次的隨機誤差是不一樣的。既然是隨機誤差，那么有可能正，有可能負，在理想狀態(tài)下，當n很大時隨機誤差的和應(yīng)該接近零。如果它是零的話，我們就得到了一個非常重要的結(jié)果：算術(shù)平均等于真值。因此在這個意義下，我們用算術(shù)平均估計真值，可以看到，這樣估計是有道理的，這是統(tǒng)計教學的核心。

以《課標》的例22上學問題為例，王麗同學記錄了一周五天的上學時間，上學時間是隨機的，但是一定要知道這個數(shù)據(jù)蘊含的信息，然后說如何獲取信息，如何感悟隨機。一個孩子會不會想問題，很關(guān)鍵的是看他能不能從頭到尾地思考問題。因此記錄上學時間時，首先要知道時間是什么，孩子們必須建立起這個意識，我離家的時間和到學校的時間是如何認定的，有手表當然是方便的，沒有手表就要對好學校的鐘和家里的鐘。這些事情看起來是小事情，但是培養(yǎng)孩子會系統(tǒng)地思考問題，真正能夠培養(yǎng)孩子的智慧，往往就表現(xiàn)在這樣的地方。如果記錄一個星期的上學時間的話，上學路上就不能刻意上哪兒去玩。因此要排除兩個誤差，一個是鐘表帶來的誤差，還有人為的誤差，這樣才能使隨機誤差的和是零。

對上面記錄的數(shù)據(jù)，可以有不同層次的描述。第一個層次是直接描述。比如上面的數(shù)據(jù)，8分20秒出現(xiàn)得比較多，最快7分50秒，最慢9分10秒，這些都是信息。一定要讓孩子說出理由來，如果做到說出的理由和得到的結(jié)論一致，我認為就很好了。大部分孩子說出的理由和得到的結(jié)論不一致，這是不行的。第二個層次是計算描述。比如上學時間在7分50秒和9分10秒之間，或者計算算術(shù)平均即平均上學時間都是計算描述。第三層次是整體描述。在北京做的實驗，有的孩子可以寫出這樣的描述：最快、第二快、第三快、第四快分別是多少，第二快有2次。像這樣簡單的問題，能夠培養(yǎng)孩子對數(shù)據(jù)提取信息最簡單的操作方式。類似的活動還有跳繩、投籃，等等。

其二，學會獲取信息

首先是如何獲取數(shù)據(jù)，然后在數(shù)據(jù)中提取信息，這是很難的一件事情，這個叫做實驗設(shè)計。要讓孩子們清楚調(diào)查的背景是什么，調(diào)查的目的是什么，如何設(shè)計調(diào)查方案。如《課標》的例18，班級新年聯(lián)歡會買什么水果？小學一二年級的學生往往回答買蘋果，因為蘋果好看，三四年級的學生會問大家喜歡什么，五六年級的學生會考慮有多少錢。第一個層次知道問題需要判斷，第二個層次知道通過數(shù)據(jù)判斷，第三個層次是建立判斷標準。問班上同學意見，讓孩子們調(diào)查，可以作為綜合實踐課來安排。有些事情可以事先調(diào)查，然后在課堂上討論，包括匯報調(diào)查的結(jié)果，交流調(diào)查的方案，最后由老師幫助總結(jié)。還有整體設(shè)計的問題，如調(diào)查超市的蔬菜是否漲價。這個問題非常難，小學六年級的孩子能把這個問題調(diào)查清楚，什么叫蔬菜漲價，哪個菜漲價了，這跟大數(shù)據(jù)分析是一模一樣的，是大家經(jīng)常買的菜漲價了，還是別的菜漲價了，要先進行分類。

今年“兩會”期間，中央臺開辟一個欄目叫《兩會大數(shù)據(jù)》，這個欄目里經(jīng)常有這樣一個問題，某一個網(wǎng)說這個問題是最重要的，占到48%，另一個網(wǎng)也認為這個問題是最重要的，占到52%，這都是大數(shù)據(jù)算出來的。那么認為這個問題重要的人到底占多少呢？你說A網(wǎng)是48%，B網(wǎng)是52%，把它們加起來除以2，行嗎？不行！為什么不行？因為參與A網(wǎng)和B網(wǎng)調(diào)查的人數(shù)可能不同，這樣帶來的問題就多了，必須增加一個信息，即參加A網(wǎng)和B網(wǎng)討論的人有多少。因此，我們分析一個問題能不能得到結(jié)論很重要，要分析得到的信息是不是足夠多。所以，數(shù)據(jù)的真正含義不僅僅在這個數(shù)，而是要把它與周邊有關(guān)的東西放在一起才能分析。

其三，學會分類

2007年，我在寫《數(shù)學思想概論》的時候，思考了數(shù)學的思維是什么？我研究的都是西方人的想法，后來就想知道中國古人是怎么想問題的，然后我用了一年的時間研究中國古人的思維。研究完之后，我非常吃驚的是，居然兩千多年來，中國人從來沒有研究過我們的祖先是如何想問題的。周易的思想方法是什么樣的，老子的思想方法是什么樣的，孔子的思想方法是什么樣的，這些問題沒有人研究。后來我連續(xù)發(fā)表了四篇文章來討論中國古代人的思維，發(fā)現(xiàn)中國古代人的思維和西方人是不一樣的，西方人研究一般與特殊的關(guān)系。古代的中國人不是這樣思維的，他們研究類與類的關(guān)系。老子從來沒有解釋他的道是什么，孔子也沒有解釋他的仁是什么。但是，在一個具體的事情上，老子告訴我們，這么樣就是有道，這么樣就是無道，孔子也是這樣，在某一個具體事情上，這么樣就是仁，這么樣就是不仁。因此中國古代把世界上很多的事情分成類進行研究，比如，周易把整個世界上的事情分了64類，對每一類分別進行研究。

大數(shù)據(jù)必須分類研究，現(xiàn)代科學也開始分類研究，因為一般和特殊之間的關(guān)系已經(jīng)研究不清楚了。比如社交網(wǎng)絡(luò)的研究，是因為同學關(guān)系建立起來的，還是因為興趣關(guān)系建立起來的，還是因為在同一個工作場所建立起來的，不同類型的社交網(wǎng)絡(luò)規(guī)律是不一樣的，要分類進行研究。只有分類了，才能把事情討論清楚，因此，分類是極為重要的。分類要有一個分水嶺。比如，三角形的分類，就畫一個銳角三角形，中間畫一個直角三角形，再在直角三角形下面畫一個鈍角三角形。這樣就可以看到，直角三角形是銳角三角形和鈍角三角形的分水嶺。分類要注意兩件事情：一是抓住共性，二是注重差異。許多問題不分類研究是得不到結(jié)論的，學會分類，學會分類研究，將會受益無窮?！墩n標》例20是扣子分類，有藍顏色的扣子和黃顏色的扣子，有不同的扣眼。教學時不能讓學生上來就分，上來就分就等于什么也沒教會他。要教他們事先想一想怎么分？先定好標準，如先按顏色分、再按扣眼分，或者先按扣眼分、再按顏色分。反正得定個規(guī)矩，然后按規(guī)矩來做事情，這也是非常重要的一件事情。

其四，感悟數(shù)字化的便利

過去的電視是以圖像傳播的，現(xiàn)在把圖像變成數(shù)字，通過數(shù)字傳播，再還原成圖像，這是為什么？因為數(shù)字化之后，傳播過程中的噪音就小了，圖像就更清晰了，進行研究也就更準確了。如果通過圖像研究，現(xiàn)在的科學技術(shù)還達不到這一點。因此，要讓孩子們感悟到很多東西看起來跟數(shù)字無關(guān)，實際上是可以數(shù)字化的。比如說班會調(diào)查，把蘋果設(shè)為1，香蕉設(shè)為2，橘子設(shè)為3，等等。

《課標》中的例35是關(guān)于圖形還原的。電視是怎么把圖像變成數(shù)字傳輸?shù)?？把電視畫面分成幾千個格，就是我們手機上的像素，如果這塊有一個點，有圖像叫1，沒有圖像叫做0，這樣就把圖像變成數(shù)字了，然后把這些數(shù)字輸送出去，到那頭用解碼器恢復(fù)過來，電視就是這么傳播的。因此根據(jù)這個想法，《課標》設(shè)計了例35，把一個圖分為四塊，每一塊先用數(shù)字起個名，然后讓這些小塊有的旋轉(zhuǎn)，有的平移，得到一個亂七八糟的圖。亂七八糟的圖給另一組學生，他們再根據(jù)記錄還原回去。設(shè)計這么一堂課是極為重要的，可以培養(yǎng)孩子數(shù)字化的思想。用數(shù)字表示圖形旋轉(zhuǎn)，比如旋轉(zhuǎn)90度就是1，旋轉(zhuǎn)180度是2，把這些數(shù)字記錄下來，然后給另一個組，還原成原來的圖。我真希望大家能設(shè)計出更好的類似這樣的問題。

今天講的很多例子，都跟數(shù)據(jù)分析有關(guān)。其中還包含重要的邏輯推理。在大數(shù)據(jù)背景下，對于數(shù)學教育我現(xiàn)在最想說的一句話是：通過我們的教學讓小學生更聰明起來，會想問題，會處理問題。