周子君

摘 要：類比是高中數(shù)學(xué)新教材中新增加的選修內(nèi)容，本文主要探討了近年高考、?？贾猩婕皥A錐曲線基本運(yùn)算、相似性質(zhì)的類比.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；類比

類比是高中數(shù)學(xué)新教材中新增加的選修內(nèi)容，由于其方法多樣，形式靈活，涉及的知識點(diǎn)較多，正越來越受到出題者的青睞. 圓錐曲線在課本的引入過程中本身就帶有類比的特性，如統(tǒng)一定義（第二定義）時比例的類比，還有一些基本量、基本性質(zhì)的類比等，因此關(guān)于圓錐曲線的類比頻頻出現(xiàn)在近年各地高考和?？荚囶}中.

本文擬對圓錐曲線中較為常見的一些類比進(jìn)行歸類探討，希望同行賜教.

有關(guān)切線類比

1. （1）橢圓+=1（a>b>0）上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為+=1.

（2）雙曲線-=1（a，b>0）上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為-=1.

（3）拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為y0y=p（x+x0）.

2. （1）過橢圓+=1（a>b>0）外一點(diǎn)P（x0，y0）作橢圓的兩切線，切點(diǎn)為M，N，則切點(diǎn)弦MN所在直線方程為+=1.

（2）過雙曲線-=1（a，b>0）外一點(diǎn)P（x0，y0）作雙曲線的兩切線，切點(diǎn)為M，N，則切點(diǎn)弦MN 所在直線方程為-=1.

（3）過拋物線y2=2px（p>0）外一點(diǎn)P（x0，y0）作拋物線的兩切線，切點(diǎn)為M，N，則切點(diǎn)弦MN所在直線方程為y0y=p（x+x0）.

離心率類比

1. 如圖1，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A為長軸端點(diǎn)，B為短軸端點(diǎn)，當(dāng)⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”. 類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于__________.

圖1

解：如圖2，⊥時，BF2+AB2=AF2，即b2+c2+c2=（a+c）2，所以3c2-a2=a2+c2+2ac，得c2-ac-a2=0，所以e2-e-1=0，即e=（負(fù)的舍去）.

2.（1）若F1，F(xiàn)2是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，α，β∈（0，π），則橢圓的離心率e=.

（2）若F1，F(xiàn)2是雙曲線-=1（a，b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，α，β∈（0，π），則雙曲線的離心率e=.

（提示：在△F1PF2中運(yùn)用正弦定理及圓錐曲線定義即可求得，但需注意絕對值不能丟！）

角的類比

1. （1）過橢圓+=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)F任作一條弦AB，若點(diǎn)P為左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，則有∠APF=∠BPF.

（2）過雙曲線-=1（a，b>0）的左焦點(diǎn)F任作一條弦AB，若點(diǎn)P為左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，則有∠APF=∠BPF.

（3）過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F任作一條弦AB，若點(diǎn)P為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，則有∠APF=∠BPF.

證明：（1）如圖3，過A，B分別作l的垂線，

垂足為C，D，得：==e，所以=. 又AC∥FP∥BD，所以=，所以=，即=，

所以∠APC=∠BPD？圯∠APF=∠BPF.

（雙曲線及拋物線仿此證明）

2. （1）若P為橢圓+=1（a>b>0）左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，過P任作一直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)A，B，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，則有∠AFP=∠BFx.

（2）若P為雙曲線-=1（a，b>0）左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，過P任作一直線與雙曲線交于兩不同點(diǎn)A，B，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，則有∠AFP=∠BFx.

（3）若P為拋物線y2=2px（p>0）準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，過P任作一直線與拋物線交于兩不同點(diǎn)A，B，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則有∠AFP=∠BFx.

定點(diǎn)類比

1. （1）若P為橢圓+=1（a>b>0）左準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，過P作橢圓的兩切線，切點(diǎn)為A，B，則直線AB必過左焦點(diǎn)F，且PF⊥AB.

（2）若P為雙曲線-=1（a，b>0）左準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，過P作雙曲線的兩切線，切點(diǎn)為A，B，則直線AB必過左焦點(diǎn)F，且PF⊥AB.

（3）若P為拋物線y2=2px（p>0）準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，過P作拋物線的兩切線，切點(diǎn)為A，B，則直線AB必過焦點(diǎn)F，且PF⊥AB.

更一般地，有

2. （1）若P為定直線l：x=m上一點(diǎn)，過P作橢圓+=1（a>b>0）的兩切線，切點(diǎn)為A，B，則直線AB必過定點(diǎn)，0.

（2）若P為定直線l：x=m上一點(diǎn)，過P作雙曲線-=1（a，b>0）的兩切線，切點(diǎn)為A，B，則直線AB必過定點(diǎn)，0.

（3）若P為定直線l：x=m上一點(diǎn)，過P作拋物線y2=2px（p>0）的兩切線，切點(diǎn)為A，B，則直線AB必過定點(diǎn)（-m，0）.

定量類比

1. 過雙曲線-=1（a，b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0）的直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，且=λ1，=λ2，則有λ1+λ2的定值為；類比雙曲線這一結(jié)論，在橢圓+=1（a>b>0）中，則有λ1+λ2的定值為________.

圖4

簡解：采用特殊位置法. 取如圖4特殊位置，λ1=-=，λ2=-= -，所以λ1+λ2=-+=-（一般性證明略）.

2.（1）設(shè)AB是橢圓+=1（a>b>0）中與坐標(biāo)軸均不平行的弦，其所在直線的斜率為k1，弦AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為k2，則有k1k2=-.

（2）設(shè)AB是雙曲線-=1（a，b>0）中與坐標(biāo)軸均不平行的弦，其所在直線的斜率為k1，弦AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為k2，則有k1k2=.

3. （1）已知橢圓+=1（a>b>0），M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，則k1k2=-.

（2）已知雙曲線-=1（a，b>0），M，N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，則k1k2=-.

（提示：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1），利用點(diǎn)差法可證）

4. （1）已知曲線C1：+=1（a>b>0）與曲線C2：x2=2py（p>0）的交點(diǎn)分別為A，B，曲線C1和曲線C2在點(diǎn)A處的切線分別為l1，l2，且l1，l2的斜率分別為k1，k2，當(dāng)為定值時，則k1·k2為定值-.

（2）已知曲線C1：-=1（a，b>0）與曲線C2：x2=2py（p>0）的交點(diǎn)分別為A，B，曲線C1和曲線C2在點(diǎn)A處的切線分別為l1，l2，且l1，l2的斜率分別為k1，k2，當(dāng)為定值時，則k1·k2為定值.

圖5

證明：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x0，y0），則曲線C1在A的切線l1為+=1，所以k1=-，同樣有曲線C2在A的切線l2為x0x=p（y+y0），所以k2=，所以k1k2= -·=-. 又py0=，所以k1k2=-= -=-為定值.

（雙曲線類似證明）

另外，由于曲線C2位置的改變，也可以有：

（1）已知曲線C1：+=1（a>b>0）與曲線C2：y2=2px（p>0）的交點(diǎn)分別為A，B，曲線C1和曲線C2在點(diǎn)A處的切線分別為l1，l2，且l1，l2的斜率分別為k1，k2，當(dāng)為定值時，則k1·k2為定值-.

（2）已知曲線C1：+=1（a，b>0）與曲線C2：y2=2px（p>0）的交點(diǎn)分別為A，B，曲線C1和曲線C2在點(diǎn)A處的切線分別為l1，l2，且l1，l2的斜率分別為k1，k2，當(dāng)為定值時，則k1·k2為定值.

軌跡類比

1. （1）橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2在∠F1PF2的外角平分線上的射影為M，則M的軌跡方程是x2+y2=a2（y≠0）.

（2）雙曲線-=1（a，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2在∠F1PF2的內(nèi)角平分線上的射影為M，則M的軌跡方程是x2+y2=a2（y≠0）.

2. （1）設(shè)A，B為橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，M，N為橢圓上兩不同點(diǎn)，且M，N關(guān)于x軸對稱，則直線AM與BN交點(diǎn)的軌跡方程為-=1（y≠0）.

（2）設(shè)A，B為雙曲線-=1（a，b>0）的左、右頂點(diǎn)，M，N為雙曲線上兩不同點(diǎn)，且M，N關(guān)于x軸對稱，則直線AM與BN交點(diǎn)的軌跡方程為+=1（y≠0）.

（此二例是“交軌法”的典例）

恒等式類比

（1）若AB是橢圓+=1（a>b>0）的長軸，直線AC，BD是橢圓過A，B的切線，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，CD是過P的切線，則有PF1·PF2=PC·PD.

（2）若AB是雙曲線-=1（a，b>0）的實(shí)軸，直線AC，BD是雙曲線過A，B的切線，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，CD是過P的切線，則有PF1·PF2=PC·PD.

在圓錐曲線中還有許多優(yōu)美的類比結(jié)論有待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，本文只是平時的一些積累，拋磚引玉，期望與同行們一起探討.