蔣麗麗

摘 要：學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程是提取數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程，環(huán)顧當(dāng)下的習(xí)題教學(xué)，我們的關(guān)注點(diǎn)總是放在學(xué)生做了多少習(xí)題，解題的結(jié)果對(duì)不對(duì)上面，缺少對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題、理解題意、解題過(guò)程的關(guān)注，習(xí)題課高耗低效，由于學(xué)生缺失反思過(guò)程，解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都得不到最大的發(fā)展，本文基于“反思”，對(duì)高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)提幾點(diǎn)建議.

關(guān)鍵詞：反思；學(xué)生；能力；效果

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)”. 而要想返璞歸真和揭示本質(zhì)，靠題海戰(zhàn)術(shù)肯定是不行的，必須緊緊圍繞知識(shí)點(diǎn)設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)對(duì)原有認(rèn)知進(jìn)行反思，制定出合理的解題策略. 得到答案并非是解題的結(jié)束，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己去反思解題中的思維過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在問(wèn)題中的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，并在解題過(guò)程中提高學(xué)生的反思能力.

注重學(xué)生審題過(guò)程的反思

學(xué)習(xí)是摸著石頭過(guò)河的過(guò)程，是一個(gè)螺旋式上升的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程，僅僅憑借課堂上對(duì)教材進(jìn)行分析學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是不夠的，對(duì)于一個(gè)特定的數(shù)學(xué)概念，必須在具體的問(wèn)題情境中應(yīng)用才能內(nèi)化學(xué)生的認(rèn)知. 為了加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要緊緊圍繞知識(shí)點(diǎn)設(shè)置不同的情境，讓學(xué)生通過(guò)審題過(guò)程的反思，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與問(wèn)題情境的融合，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)培養(yǎng)正確的解題習(xí)慣.

拿“函數(shù)的單調(diào)性”這一知識(shí)點(diǎn)為例，函數(shù)單調(diào)性的直觀表達(dá)無(wú)論是圖象還是文字表述都比較熟悉，不過(guò)運(yùn)用到問(wèn)題情境中卻往往不是那么順溜，為此，我們?cè)诹?xí)題教學(xué)過(guò)程中應(yīng)由淺入深，設(shè)置具有層次性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，筆者選擇了如下三道例題，目的在于引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)問(wèn)題情境對(duì)知識(shí)進(jìn)行反思，深化認(rèn)知.

例1 畫(huà)出下列函數(shù)圖象，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間.

（1）y=-x2+2；（2）y=；

（3）f（x）=x2+1，x≤0，-2x+2，x>0.

例2 判斷函數(shù)f（x）=x2-2ax+3在區(qū)間（-2，2）內(nèi)的單調(diào)性.

變式1：判斷函數(shù)f（x）=a≠在區(qū)間（-2，+∞）上的單調(diào)性.

變式2：判斷并證明函數(shù)f（x）=x+，x∈（0，+∞）的單調(diào)性.

例3 已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，而且滿足f=f（x）-f（y），

（1）求f（1）；

（2）若f（3）=1，解不等式f（x+5）<2.

評(píng)析：三個(gè)例子緊緊圍繞函數(shù)單調(diào)性，從學(xué)生的解題實(shí)踐來(lái)看，

（1）學(xué)生透過(guò)例題1能夠很快地提取數(shù)學(xué)知識(shí)，問(wèn)題的解決很輕松，大多數(shù)學(xué)生能夠直接畫(huà)出圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）例題2對(duì)學(xué)生提出了較高的反思要求，透過(guò)例題，學(xué)生首先需要提取腦海中單調(diào)性定義的數(shù)學(xué)表示：“如果函數(shù)的定義域?yàn)锳，I？哿A，設(shè)x1，x2∈I，x1f（x2），則f（x）是在I上的單調(diào)減函數(shù)”；其次要求學(xué)生反思課堂上對(duì)定義的理解，又不能教條式的理解，而是通過(guò)反思能夠正確利用單調(diào)性定義進(jìn)行證明，提取頭腦中清晰的證明步驟，學(xué)生在思考例題2的變式1時(shí)，透過(guò)問(wèn)題情境反思原有認(rèn)知，對(duì)a的討論由思維上的混亂逐步走向清晰，加深對(duì)作差、變形、定號(hào)的目的的認(rèn)識(shí)，學(xué)生一旦反思到可以根據(jù)自變量的大小來(lái)判斷函數(shù)的大小，在分析變式2時(shí)，便很自然地能夠?qū)?wèn)題中的區(qū)間劃分為（0，1），（1，+∞），解題的思路也自然打開(kāi).

（3）通過(guò)對(duì)例題3的第2問(wèn)的分析，學(xué)生對(duì)單調(diào)性會(huì)有更進(jìn)一步的理解，能夠?qū)⒄J(rèn)知深入到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，即“函數(shù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系”.

透過(guò)上述幾個(gè)例題問(wèn)題情境的反思，學(xué)生不僅僅打開(kāi)了解決問(wèn)題的大門，對(duì)單調(diào)性的理解甚至對(duì)函數(shù)概念的理解也很自然地上升了一個(gè)層次.

教師要了解學(xué)生的解答實(shí)際

學(xué)生解題的過(guò)程是獨(dú)立思考的過(guò)程，教師不應(yīng)該過(guò)多地參與學(xué)生的思維過(guò)程，但是必須關(guān)注學(xué)生的解題實(shí)際，課堂上學(xué)生解題時(shí)，我們應(yīng)該通過(guò)課堂巡視的手段去收集學(xué)生的解法和出現(xiàn)的問(wèn)題，學(xué)生的課后作業(yè)我們也要去細(xì)致分析其出現(xiàn)的問(wèn)題在哪里，只有了解學(xué)生的解題實(shí)際，我們的習(xí)題講評(píng)課才有鮮活的素材，才能進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)去反思問(wèn)題或解法下最為本質(zhì)的數(shù)學(xué)元素和思想方法. 例如下面一道課后作業(yè)，筆者對(duì)學(xué)生的解題情況進(jìn)行了收集，透過(guò)解題實(shí)際去發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的障礙點(diǎn)，為引導(dǎo)學(xué)生反思提供了依據(jù).

例4 如圖1所示，圓x2+y2=12與拋物線x2=4y有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，圖中F為拋物線的焦點(diǎn)，直線l為過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線，分別和圓與拋物線相交于不同的四個(gè)點(diǎn)，從左向右依次為P1，P2，P3，P4，試求出P1P2+P3P4的值.

圖1

筆者透過(guò)學(xué)生的作業(yè)收集了如下4種實(shí)際情況：

（1）交了空白作業(yè)；

（2）計(jì)算出了P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，下面沒(méi)了；

（3）寫(xiě)出了P1P2=x1-x2，P3P4=x3-x4；得到了P1P2=x1-x2，P3P4=x3-x4，接下來(lái)沒(méi)了；

（4）能夠進(jìn)一步完成解題的，將待求的P1P2+P3P4表示出來(lái)，并去掉絕對(duì)值符號(hào)，P1P2+P3P4=x1-x2+x3-x4=[（x2+x4）-（x1+x3）]，轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理進(jìn)行求解.

從學(xué)生的解題實(shí)際可以看出，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解達(dá)到了什么層次，在發(fā)現(xiàn)學(xué)生個(gè)性的問(wèn)題的同時(shí)又發(fā)現(xiàn)了具有共性的問(wèn)題，為接下來(lái)是個(gè)別輔導(dǎo)還是集體講評(píng)提供了依據(jù).

引導(dǎo)學(xué)生回顧正確的解題過(guò)程

教學(xué)中，我們學(xué)生做出正確結(jié)果后其對(duì)該問(wèn)題的思考也就終止了，筆者發(fā)現(xiàn)在學(xué)生做出正確答案的表面下，還存在著很多隱性問(wèn)題，反思問(wèn)題情境中涉及哪些數(shù)學(xué)知識(shí)是為了更好地理解題意，是解題的前提，學(xué)生對(duì)自己具體的解題過(guò)程的反思更是解題能力飛躍的主渠道.

我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生反思自己的解題過(guò)程，回顧自己在解題過(guò)程中用到了哪些數(shù)學(xué)概念、知識(shí)與數(shù)學(xué)方法，是如何運(yùn)用的，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中遇到了哪些障礙，反思自己的思維是否有序，解題是否規(guī)范，在解題過(guò)程中獲得了哪些原來(lái)印象不深的且具有規(guī)律性的東西，問(wèn)題有沒(méi)有其他途徑可以解決.

例5 已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），且y=f（x）的圖象被x軸截得長(zhǎng)為6的線段，f（0）=-5，根據(jù)已知條件，試求出該二次函數(shù)的解析式.

解法1 設(shè)f（x）=ax2+bx-5，由f（2+x）=f（2-x），得a（x+2）2+b（x+2）-5=a（2-x）2+b（2-x）-5，化簡(jiǎn)得（4a+b）x=0，所以4a+b=0. 再設(shè)ax2+bx-5=0，得x1+x2=-=4，x1·x2=， 由x1-x2=6，得a=1，b=-4，得到f（x）=x2-4x-5.

評(píng)析：解法1是大多數(shù)學(xué)生審題后提取相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)比較容易上手的解法，而且答案是正確的，筆者在教學(xué)中要求學(xué)生自主回顧自己的解題過(guò)程，想一想自己在解題過(guò)程中哪些環(huán)節(jié)容易出錯(cuò)，有很多學(xué)生都反映在化簡(jiǎn)f（2+x）=f（2-x）和處理x1-x2=6時(shí)容易出錯(cuò)，而且都表示解答問(wèn)題時(shí)計(jì)算量比較大，加上有一定的技巧，所以不小心就會(huì)出錯(cuò). 學(xué)生在回顧自己的解題思路時(shí)，會(huì)很自然地對(duì)問(wèn)題情境進(jìn)行反思，由于解法1運(yùn)算量大，有部分學(xué)生自然想著會(huì)不會(huì)有其他更巧妙的解法，于是第二種解法就在反思過(guò)程中產(chǎn)生了.

解法2：由f（2+x）=f（2-x）得二次函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸為x=2. 又因?yàn)楹瘮?shù)圖象被x軸截得長(zhǎng)為6的線段，所以可以得f（x）的圖象與x軸相交于（-1，0），（5，0）兩點(diǎn). 設(shè)f（x）=a（x+1）（x-5），由f（0）=-5，得a=1，進(jìn)而得到答案f（x）=x2-4x-5.

再次引導(dǎo)學(xué)生將解法1與解法2進(jìn)行對(duì)比分析，學(xué)生能夠很清晰地看到后者解題過(guò)程更為便捷，不過(guò)也有較高的要求，必須對(duì)題意有深刻理解，除了要關(guān)注題目中f（2+x）=f（2-x）及圖象被x軸截得長(zhǎng)為6的線段這兩個(gè)信息，還需要對(duì)這兩個(gè)信息進(jìn)一步分析，找到兩者之間的聯(lián)結(jié)，學(xué)生的思維縝密性達(dá)到了一個(gè)新的臺(tái)階. 如果學(xué)生用解法1得到正確答案后，再通過(guò)自主反思，仍是從原有認(rèn)知中調(diào)動(dòng)概念去解決同一個(gè)問(wèn)題，這種新方法的發(fā)現(xiàn)印象更為深刻，對(duì)比前后兩次解題的過(guò)程，學(xué)生獲得了豐實(shí)的元認(rèn)知體驗(yàn)和成功的滿足感.

反思不同解法帶來(lái)的差異性結(jié)果

在教學(xué)實(shí)踐中我們可以發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生間客觀存在的個(gè)體性差異，所以即使是同一個(gè)問(wèn)題擺在不同的學(xué)生面前，解答不會(huì)唯一化，甚至有時(shí)還會(huì)有較大的差別，我們一起看下面一個(gè)案例. 此外，在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，有些學(xué)生存在著各種各樣的問(wèn)題，有時(shí)還甚至是不容易發(fā)現(xiàn)的、具有隱蔽性的問(wèn)題，因此，反思解題過(guò)程有利于問(wèn)題被發(fā)現(xiàn)，下面舉例來(lái)說(shuō)明.

例6 判斷函數(shù)f（x）=（x-1）的奇偶性.

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生通常會(huì)根據(jù)如下兩個(gè)解法得到不同的答案.

解法1：f（-x）=（-x-1）≠f（x）≠ -f（x），所以f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

解法2： f（x）=（x-1）= -，因?yàn)閒（-x）==-f（x），所以f（x）為奇函數(shù).

對(duì)于這兩種不同答案，如果僅僅是從自己的解答去分析，學(xué)生是不容易看出破綻的，而將兩個(gè)答案放在一塊，讓學(xué)生反思解題的過(guò)程，通過(guò)對(duì)比，學(xué)生應(yīng)該可以看到問(wèn)題出在哪里.

從解法上來(lái)看，解法1沒(méi)有變形，而解法2變了形，進(jìn)而陷入了思考，那么變形帶來(lái)什么結(jié)果呢？問(wèn)題是不是出在變形上了呢？是不是沒(méi)有等價(jià)變形呢？有了這樣的思考，關(guān)注點(diǎn)自然地轉(zhuǎn)移到了x的取值范圍上來(lái)了，變形之前-1≤x<1，而如果采用解法2，變形后x∈R，顯然不是等價(jià)變形，進(jìn)而反思正確的變形是什么呢？得到f（x）=-（-1≤x<1），反思到這里，學(xué)生就可以看出定義域存在明顯的不對(duì)稱，所以解法1是正確的，f（x）是非奇非偶的函數(shù).