俞靚文

摘 要：中職生在數學解題時經常出現各種錯誤，本文試對學生造成擬訂方案錯誤的原因進行分析和探究，并提出相應的教學措施應用于課堂教學，從而提高教學質量和學生成績.

關鍵詞：數學解題；擬訂方案；教學策略

數學作為一門強調學生綜合思維能力的課程，問題的發(fā)現與解決是數學的心臟.數學學習離不開問題解決，即解題的教學與學習. 學生對于數學課程的掌握程度直接通過數學解題來反應.目前，中職生由于本身特點等原因，數學解題常常失敗，從而影響了數學成績. 同時在數學教學中，教師忽略學生在解題過程中所產生的錯誤以及原因，會導致學生在數學學習過程中不斷重復錯誤，教學質量與學習效率大幅度下降. 因此，需要提出有效的預防和克服數學解題錯誤的對策，進而提高中職生的數學成績.

美籍匈牙利數學家G·波利亞在《怎樣解題》中，把數學問題的解答分為四個階段：理解題意、擬訂方案、執(zhí)行計劃和回顧. 不同的階段在解題過程中起著不同的作用，每一個階段雖然各有差異，但是都會產生不同的錯誤，并對最終的解題結果造成影響. 筆者根據波利亞的理論，將中職生數學解題常見錯誤也歸為以下四類：審題不清的錯誤、擬訂方案的錯誤、執(zhí)行方案的錯誤、回顧與反思的錯誤.

在經過了充分的審題之后，學生就要根據對于題目的理解，擬定相應的解題思路與方法，而這也是解題過程中最為艱難的一步，需要學生充分利用好題目中的已知條件，甚至是挖掘潛在條件，從而根據條件與問題的關系，有針對性地擬訂最為合理的解題思路與方案.目前來說，中職生在擬訂方案中的錯誤主要包括以下幾類：

1. 分類不當

數學解題是一個對題目不斷建構與重組的過程，因此在擬訂方案的過程中需要將不同的問題有效地分割成一個個小問題，然后逐個擊破，形成一個整體的解決思路與方案，最終把各個子問題的結論歸納起來而得到整個問題的結論，這一種分類論證的方法叫做邏輯類分法，它是解數學題的常用方法. 這樣的解題優(yōu)勢在于，前一個問題的結論能夠有效地充當后一個問題的條件，這也是許多繁雜的問題的重要解決方式之一.

2. 缺乏整體觀念

整體觀念是數學解題擬訂方案中很重要的一個環(huán)節(jié)，數學題目往往不單單是獨立的存在，除了應用現有的題目中的條件，還應該充分考慮整體，即條件與條件之間、問題與條件的共性與關聯.整體觀念重在整體把握，不拘泥于細節(jié)，因而能夠排除次要因素的干擾，克服思維的局限性，從而有助于找到解決問題的途徑. 需要學生從各個條件中尋找它們的相似性，如果說邏輯類分法是從微觀的角度解題，那么整體觀念的解題思路就是從宏觀層面進行分析. 這種解題方案使我們能夠全面地把握條件和結論的聯系，擺脫局部細節(jié)中一時難以弄清的數量關系的糾纏，使眼界更加開闊. 但是，現有的中職生由于自身知識結構以及體系存在一定的欠缺與不足，同時又由于審題過程中的不足，導致他們最終在擬訂方案時，很難從局部思維跳躍出來，往往習慣于從局部出發(fā)，不善于從整體出發(fā)，導致部分數學題目解題困難或是使得解題思路復雜化.

3. 缺乏正確的心理態(tài)勢而產生錯誤

解決數學題目，其實是一個循序漸進的過程. 但是，如今許多的學生在解題過程中貪圖求快，希望一步到位；同時，在面對一些較為復雜的題目時，無法耐心地去分析題目，解構題目. 歸其原因，是由于學生在數學解題過程中沒有保持一個良好、端正的心態(tài). 而心態(tài)在解答數學習題中，心理因素十分重要，良好的心理因素為解答數學習題時得到合理、迅速、正確、周密的解答提供良好的保證. 許多看似復雜的題目，一旦學生心平氣和地一步一步地根據問題進行解答，往往能夠取得不錯的結果. 這是因為，許多的復雜題目往往是由單個較為容易的題目所形成的連環(huán)套，許多學生往往被較為龐大的題量或是有些繞彎的問題所嚇倒，而產生了焦慮、焦急的心態(tài)，而一旦學生對陌生的題目產生困擾，導致心態(tài)失衡，就會出現各種心理障礙，導致習題解答中出現錯誤. 擬訂方案是繼審題之后的重要解題步驟，筆者認為可以有以下教學策略：

[?] 加強重視并細化對基本概念、公式、定理及性質的教學

學生只有在深刻理解概念的本質和定理、公式所揭示的內在規(guī)律時，才能靈活地、融會貫通地運用它，尋找正確的解題方案. 因此，教師在平時教學時，對于新知識，要深刻揭示其內涵，細化知識的講授過程，將知識合理、有效地分解成學生易于掌握和理解的小塊知識，盡可能地符合中職生對新知識的接受水平范圍，讓學生有層次性地，并逐步遞進地掌握知識的本質，促使學生不僅能夠用正確的數學語言來表述新知識，更能用自己生活化的語言對新知識進行敘述. 同時，注重利用課堂教學幫助學生在頭腦中形成一個新的知識體系，從宏觀的角度加深對整體知識認知和其本質的理解，使學生在擬訂最初的解題方式時能充分考慮不同的條件以及公示的運用，從全局進行考慮，而非是局限于某一點或是某一個局部，從而有效地減少學生由分類不當和缺乏整體觀念所導致的錯誤方案的擬訂.

[?] 加強數學思想方法教學

數學思想方法是數學的精髓，學生在理解題意之后，對數學思想方法的掌握和運用對能否制定出正確的解題方案起著關鍵的作用. 因此，教師在平時教學中和糾錯的過程中，應注重向學生展示數學思想方法在擬訂方案中的重要作用，并以教學知識為載體的方法把藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化. 強調轉化與化歸、分類討論、數形結合等思想方法的應用往往可以使題設條件變得更加直觀、解題思路更加明確、清晰，事半功倍. 同時解題的過程實際是從題目的條件不斷向解題目標變形、靠近的過程，因此有意識地引導學生利用這種思想方法去分析問題，對問題的條件和結論進行等價轉化，自然而然地就通過正確運用數學思想方法擬訂出正確的解題方案.

[?] 加強課堂學生主動性探究學習

教師通過課堂教學，主動創(chuàng)設合理的教學情境，提供學生主動探索解題方案的平臺. 在學生探索出解題方案的基礎上，教師予以評價，使教師能夠及時針對思路錯誤的解題方案予以糾錯，及時指出錯誤的原因和學生在知識和方法上的不足之處；對于思考不周的解題方案予以補充，及時指出造成學生對問題考慮不周詳的原因，進而有效地修正解題方案. 通過課堂上學生對解題方案的探索積極參與，一方面使學生對教師對自己在知識方法上的不足之處的指導印象更加深刻，能夠更有效地掌握正確的解題方案，另一方面學生通過課堂上教師對其他學生的解題方案的評價，也可以有效地預防同樣的錯誤方案的制定，從而有效地提高解題方案的正確率.

案例：解關于a的不等式：（a+1）<（3-2a）.

這是一年級冪函數教學中的一道常見題，是利用冪函數的單調性解題.

給出題目，讓學生思考解題思路，擬訂解題方案，班上除了13.2%的學生能夠擬訂出正確的解題方案以外，其他學生都在擬訂方案上出現了錯誤.絕大部分學生利用冪函數y=xα（α為常數）的單調性，即當α<0時，函數在定義域內單調遞減，得出此題的錯誤解法為：a+1>3-2a，即a>. 這是由于學生缺乏整體的觀念，把思維局限在歸納出的冪函數的單調性質上，而沒有考慮到冪函數y=x-在直角坐標系下的整體圖象，缺乏宏觀性的思考. 同時，在一定程度上也和教師在開始冪函數性質教學時，是否將冪函數的分類細化有關，教師進行冪函數性質教學時，除了將α細化為大于0和小于0的情況外，更應將α<0的這種情況合理、有效地分解成學生易于掌握和理解的小塊知識，使α=-（p，q分別為大于0的實數）：（1）p為偶數，q為奇數；（2）p為奇數，q為偶數. 因為在這兩種情況下，函數的大致圖象是不同的，存在著區(qū)別. 當學生對這些知識理解掌握以后再尋找共同點，提煉出冪函數當α<0時，在第一象限內是單調遞減的，而不是在其定義域內必單調遞減，從而使學生更深刻地把握性質. 在整個冪函數性質教學的過程中，教師始終采用數形結合的思想方法，使推演過程變得更加直觀，同時這也是解決函數體的一個有力工具. 但是在解題時學生沒有樹立利用適當的數學方法解題可以事半功倍的數學觀念，那么這時教師在教學時需指導和要求學生在解題時要做到數形結合，利用數形結合的思想方法使題目的本質更直觀地顯現出來，因此看見題目后的第一步是畫出相應函數圖象：由此可見，教師在解題教學時要高屋建瓴，培養(yǎng)學生的整體意識，利用數形結合等手段，立足整體，觀察分解各個部分，再進行周詳地綜合考慮，從而擬訂出正確的解題方案. 教師通過課堂教學，使部分學生在認識到自身錯誤的同時，也認識到其他學生的錯誤，避免同類錯誤的發(fā)生，從而有效地提高了學生的正確率，在隨后的課堂小測驗中，學生的正確率為81.6%.