吳士根

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）在課程設(shè)計(jì)思路中指出：“……在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體會(huì)以實(shí)際情景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果，解決問(wèn)題的過(guò)程”.建模思想是2011版課標(biāo)新提出來(lái)的一個(gè)核心概念，修訂版課標(biāo)把“模型思想”作為核心概念理由是：其一，模型思想是一種基本數(shù)學(xué)思想；其二，模型思想及相應(yīng)的建?；顒?dòng)與很多課程目標(biāo)密切相關(guān)（如數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式等等）；其三，模型思想本身就滲透于各課程內(nèi)容領(lǐng)域中，突出模型思想有利于更好地理解、掌握所學(xué)內(nèi)容；其四，數(shù)學(xué)建模已是高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，義務(wù)教育階段提出建模思想亦能更好與高中課程銜接.為落實(shí)課標(biāo)精神，在教學(xué)中更好地在對(duì)學(xué)生進(jìn)行建模思想的培養(yǎng)，在此談點(diǎn)膚淺認(rèn)識(shí)。

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，滲透數(shù)學(xué)建模

“問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想的基本要求，也有利于學(xué)生在過(guò)程中理解、掌握有關(guān)知識(shí)、技能、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想的本質(zhì).這一過(guò)程更有利于學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).

現(xiàn)行的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)中，時(shí)常能遇到一些創(chuàng)設(shè)有關(guān)知識(shí)情境的問(wèn)題，這些問(wèn)題大多數(shù)可以結(jié)合數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行教學(xué).在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)并非只是一門(mén)抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感覺(jué)到利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的妙處，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣.

案例1義務(wù)教育教科書(shū)（2012版）浙教版七年級(jí)（上）“有理數(shù)的加法法則”的教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)建模思想.

“有理數(shù)的加法”這一節(jié)的第一部分就是學(xué)習(xí)有理數(shù)的加法法則，課本是按提出問(wèn)題……進(jìn)行實(shí)驗(yàn)……探索、概括的步驟來(lái)得出法則的.在實(shí)際教學(xué)中老師可以根據(jù)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)這樣的情境：先給學(xué)生提出問(wèn)題“一位同學(xué)在一條東西向的路上，先走了20米，又走了30米，能否確定他現(xiàn)在位于原來(lái)位置的哪個(gè)方向，與原來(lái)位置相距多少？”，然后讓學(xué)生回答出這個(gè)問(wèn)題的答案.（結(jié)果在實(shí)際教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)學(xué)生所回答的答案中包括了全部可能的答案，這時(shí)我趁勢(shì)提問(wèn)回答出答案的同學(xué)是如何想出來(lái)的，并把他們的回答一一寫(xiě)在黑板上，用1、2、3、4……來(lái)區(qū)分出不同的分類情況.）在學(xué)生回答完之后，就可以順勢(shì)介紹數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想和分類討論的數(shù)學(xué)方法，并結(jié)合這個(gè)問(wèn)題介紹數(shù)學(xué)建模的一般步驟：首先，由問(wèn)題的意思可以知道求兩次運(yùn)動(dòng)的總結(jié)果，是用加法來(lái)解答；然后對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)：①先向東走，再向東走；②先向東走，再向西走；③先向西走，再向東走；④先向西走，再向西走；接下來(lái)根據(jù)四種假設(shè)的條件規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，列出算式分別進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)實(shí)際意思求出這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果.最后引導(dǎo)學(xué)生觀察上述四個(gè)算式，歸納出有理數(shù)的加法法則.這樣一來(lái)，不僅可以使學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)的加法法則，理解有理數(shù)的加法法則，而且在這個(gè)過(guò)程中也使學(xué)生學(xué)習(xí)到了分類討論的數(shù)學(xué)方法，并且對(duì)數(shù)學(xué)建模有了一個(gè)初步的印象，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模打下了良好的基礎(chǔ).利用課本知識(shí)的教學(xué)，在學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，能夠使學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，了解數(shù)學(xué)建模的一般步驟，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模的思想來(lái)處理實(shí)際中的某些問(wèn)題，提高解決這些問(wèn)題的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高.

二、挖掘教材內(nèi)容，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，普遍滲透在初中數(shù)學(xué)教材的各個(gè)知識(shí)板塊當(dāng)中，其中方程、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)內(nèi)容中較為常見(jiàn)，教學(xué)時(shí)教師要善于發(fā)掘，巧妙設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中通過(guò)不斷地經(jīng)歷、體會(huì)、感悟、內(nèi)化、提升，最終形成思想方法.

案例2建立函數(shù)模型：其賓館有50個(gè)房間供旅客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑，如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用，房?jī)r(jià)定為多少時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大？

分析：利潤(rùn)、房?jī)r(jià)和客房開(kāi)住數(shù)量三者存在函數(shù)關(guān)系，若設(shè)每個(gè)房間在原價(jià)的基礎(chǔ)上增加X(jué)元（X>0，且X為10的倍數(shù)），則客房每天可開(kāi)?。?0-〖SX（〗x〖〗10〖SX）〗）間，用y表示當(dāng)天利潤(rùn)，可構(gòu)建函數(shù)為：

y=（50-〖SX（〗x〖〗10〖SX）〗）（180+X-20），即y=-〖SX（〗1〖〗10〖SX）〗（X-170）2+10890

由二次函數(shù)知識(shí)可知，該函數(shù)存在最大值，當(dāng)X=170時(shí)，函數(shù)最大值y=10890.所以，當(dāng)房?jī)r(jià)定為：180+170=350（元）時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大（10890元）.

函數(shù)關(guān)系是普遍存在的，所呈現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系也并非都是二次的.因此建立目標(biāo)函數(shù)模型的應(yīng)用十分廣泛.

三、注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模

2011版《課標(biāo)》指出：“……學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程”.這里所說(shuō)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指為獲得某種數(shù)學(xué)理論，探求或驗(yàn)證某個(gè)數(shù)學(xué)猜想、解決某類問(wèn)題、運(yùn)用一定的物質(zhì)技術(shù)手段，在特殊的環(huán)境中進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).學(xué)生在這種實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)觀察、操作、實(shí)踐、試驗(yàn)等活動(dòng)，自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、驗(yàn)證問(wèn)題，總結(jié)新結(jié)論的過(guò)程.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)顯然是一種學(xué)習(xí)方式，這種學(xué)習(xí)方式，不是讓學(xué)生被動(dòng)地接受教材上或教師講授的現(xiàn)成結(jié)論，而是讓學(xué)生從自己已有的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”出發(fā)，通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦去獲得新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，逐步構(gòu)建并完善、發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).實(shí)踐證明，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以幫助學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體驗(yàn)到知識(shí)被探究發(fā)現(xiàn)的過(guò)程；概括有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)；獲得重要數(shù)學(xué)定理，發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律.

案例3客車和貨車分別在兩條平行的鐵軌上行駛，客車長(zhǎng)150米，貨車長(zhǎng)250米，如果兩車相向而行，那么從兩車車頭相遇到車尾離開(kāi)共需10秒鐘；如果客車從后面追貨車，那么從客車車頭追上貨車車尾到客車車尾離開(kāi)貨車車頭共需1分40秒.求兩車的速度.

本題由于兩車同時(shí)在運(yùn)動(dòng)，且有相向與同向兩種運(yùn)動(dòng)方式，學(xué)生的思維容易混亂，教學(xué)時(shí)可以就地取材，讓學(xué)生拿出計(jì)算器和文具盒，模擬兩車的行駛方向進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，借助摸擬實(shí)驗(yàn)，學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)（方程模型）：相向行駛時(shí)，客車行駛的路程與貨車行駛的路程之和等于兩車車身長(zhǎng)之和；同向行駛時(shí)，客車行駛的路程減去貨車行駛的路程等于兩車車身長(zhǎng)之和.這時(shí)問(wèn)題就迎刃而解了.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以使學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)研究的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、方法觀察事物，從而提高他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.通過(guò)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生能親身感悟解決問(wèn)題、應(yīng)對(duì)困難的思想和方法，可以逐漸形成正確思考與實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既是一種有效的學(xué)習(xí)方式，也是引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的一種常用方法，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，引導(dǎo)學(xué)生在操作過(guò)程中發(fā)現(xiàn)知識(shí)，掌握知識(shí)，并發(fā)展他們的思維能力、理解能力，創(chuàng)造能力和用數(shù)學(xué)建模能力.

四、探求解題規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)建模

解題是數(shù)學(xué)中一個(gè)極有生命力，極富獨(dú)創(chuàng)性和充滿詩(shī)情畫(huà)意的工作，數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中認(rèn)為：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題訓(xùn)練”.解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著不容置疑的重要性.在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容整理歸納出類型和方法，并把類型、方法和范例作為整體來(lái)積累，經(jīng)過(guò)加工提煉，得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)模型實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題在剔除天關(guān)信息后的本質(zhì)結(jié)構(gòu).當(dāng)遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模型，聯(lián)想起一個(gè)已知解決的問(wèn)題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來(lái)加以解決，這就是數(shù)學(xué)模型的解題策略.

案例4基本圖形的模型：