王邦友

[摘 要] “幾何直觀”作為《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的核心概念之一，教師必須充分認(rèn)識(shí)并加以培養(yǎng)，而學(xué)生直觀思維的養(yǎng)成，更利于有效地解題. 本文結(jié)合2013中考題，談數(shù)學(xué)直觀思維在解題過程中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)直觀；解題；數(shù)學(xué)教學(xué)

直覺思維，就是人們不經(jīng)過逐步分析而迅速對(duì)問題的答案作出合理的猜測、設(shè)想或頓悟的一種躍進(jìn)性思維. 數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直觀，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一些重大發(fā)現(xiàn)，如牛頓發(fā)明微積分，笛卡兒創(chuàng)立解析幾何，高斯對(duì)代數(shù)學(xué)基本定理的證明等，無一不是直覺思維的杰作. 所以數(shù)學(xué)問題的解決離不開直覺思維.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出了“幾何直觀”這一核心概念，認(rèn)為“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題. 借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果. 幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用”. 這足以說明直觀思維培養(yǎng)的必要性和重要性.

幾何直觀的培養(yǎng)主要依賴于后天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，如觀察、操作（特別是，諸如折紙、展開、折疊、切截、拼擺等）、判斷、推理等，訴諸學(xué)生的直觀感受，借以識(shí)別各種不同的幾何圖形及其關(guān)系，這既是經(jīng)驗(yàn)幾何的中心內(nèi)容，也是推理幾何的重要參照和素材.

直觀思維的養(yǎng)成，有利于提高學(xué)生解答幾何試題的效率，本文以2013年中考數(shù)學(xué)試題為例談數(shù)學(xué)直觀思維的應(yīng)用，與大家共勉.？搖

例1 （2013年重慶中考A卷）如圖1所示，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，AE=CF，連結(jié)EF，BF，EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.

（1）求證：OE=OF.

（2）若BC=2■，求AB的長.

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分析 （1）要說明OE=OF，根據(jù)圖形，由OE，OF所處的位置，學(xué)生很容易直觀地提取出證明三角形全等的基本圖形“■”，通過標(biāo)圖（如圖2），很快就能找到解決問題的切入點(diǎn)：證明△FCO≌△EAO. 此問的解答對(duì)于學(xué)生來說應(yīng)該是簡單的.

（2）因?yàn)锽C，AB同處于Rt△ABC中，在只知道線段BC的長的前提下求解線段AB，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)，學(xué)生自然會(huì)想到用三角函數(shù)的知識(shí)來解決，由此學(xué)生很快找到了解決問題的切入點(diǎn)：求∠BAC或∠BCA的度數(shù)，而且一定是特殊角（學(xué)生不難猜出∠BAC是30°）. 如何求呢？由圖3的標(biāo)圖，學(xué)生應(yīng)該不難直觀發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O既是Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)，又是等腰三角形BEF底邊EF的中點(diǎn)，由基本圖形圖4、圖5所體現(xiàn)出的性質(zhì)內(nèi)容，自然想到要添加OB這條輔助線.

連結(jié)BO（圖略），可知BO既是邊EF上的高，更是Rt△ABC斜邊的中線，易證∠OBA=∠CAB，∠OBA+∠OEB=90°，再根據(jù)已知條件∠OEB=2∠OAB，可求得∠OAB=30°，利用三角函數(shù)得AB=6. 命題人的標(biāo)準(zhǔn)答案是通過證△EBO≌△FBO≌△FBC，求得∠OBA=∠OAB=30°，而證三個(gè)三角形全等是一個(gè)很煩瑣的過程，沒有筆者的這個(gè)想法來得簡便.

例2 （2013年連云港中考）如圖6所示，已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=■的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，m），過點(diǎn)B作AB的垂線BD，與反比例函數(shù)y=■（x>0）的圖象交于點(diǎn)D（n，-2）.

（1）求k■和k■的值.

（2）若直線AB，BD分別交x軸于點(diǎn)C和點(diǎn)E，試問：在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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分析？搖 （1）直觀發(fā)現(xiàn)——求k■的關(guān)鍵是求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n，這時(shí)，我們不妨依圖7作y軸的垂線DN（如圖7），則可知DN=n，ON=2. 這時(shí)，我們不難從圖中提取出兩個(gè)關(guān)于相似的常見圖形（圖8和圖9），作為教師和學(xué)生，對(duì)于這兩個(gè)圖形及其所蘊(yùn)涵的知識(shí)量應(yīng)該是很熟悉的.

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條件轉(zhuǎn)化——由一次函數(shù)y=2x+2，我們可以求出其與x軸、y軸的交點(diǎn)C，B的坐標(biāo)（這是解一次函數(shù)題的直覺），從而得到OC=1，OB=2. 再利用三角形相似，可標(biāo)出如圖7所示的圖注. 當(dāng)然這里需要學(xué)生有很好的知識(shí)儲(chǔ)備和嫻熟的知識(shí)遷移，因?yàn)檫@里用到了“射影定理”和三角形中位線的知識(shí)，而射影定理在蘇教版中雖然已經(jīng)不能直接用了，但是對(duì)圖8所蘊(yùn)藏的知識(shí)，在蘇教版八下數(shù)學(xué)教材第100頁中的例4還是專門對(duì)它進(jìn)行了教學(xué)安排（只是不說是射影定理了）. 有了這樣的直覺思維后，求解n自然不成問題，這樣，k■得解.

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上述思路，主要基于以下兩點(diǎn)直觀思維：（1）一次函數(shù)找其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn). 對(duì)于老教材在學(xué)習(xí)一次函數(shù)性質(zhì)時(shí)都?xì)w納這樣一句話：“一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象是經(jīng)過點(diǎn)（0，b）和點(diǎn)-■，0的一條直線. ”新教材雖然不再這么說了，但這句話的重要性，作為教師在教學(xué)解一次函數(shù)題時(shí)是不能不強(qiáng)調(diào)的. 其實(shí)做過許多中考題的老師應(yīng)該都有這樣的感覺：類似例2的題，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)往往是最省時(shí)省力的思維切入點(diǎn). 在這里，學(xué)生對(duì)于求y=2x+2與x軸、y 軸的交點(diǎn)C，B的坐標(biāo)是最容易想到的. （2）常見圖形的知識(shí)儲(chǔ)備. 圖9、圖10所蘊(yùn)涵的知識(shí)量，教師在相似的教學(xué)中可以說是一而再再而三地讓學(xué)生理解并有所儲(chǔ)備，學(xué)生能及時(shí)提取出來.

當(dāng)然，從直觀思維的角度來看，我們還有另一種解法：由于AB與DB垂直，如果學(xué)生有這方面的知識(shí)儲(chǔ)備，不難由y=2x+2直接得到直線BD的解析式為y=-■x+2，這對(duì)于求點(diǎn)E的坐標(biāo)來得就更快了. 從中考閱卷考試反饋的信息來看，有學(xué)生是這樣做的.

從以上的分析來看，學(xué)生只要從直觀入手，還是能夠很快找到解決問題的切入點(diǎn)的. 這個(gè)求k■的過程，和標(biāo)準(zhǔn)答案比有些復(fù)雜，但因?yàn)檫@些是學(xué)生能直接找到的思維點(diǎn)，所以并不難，不會(huì)在解題中消耗過多的時(shí)間，另外，在求k■的同時(shí)為第2問的求解先期解決了很多計(jì)算問題，從整個(gè)題目的解決來看還是節(jié)省了思考的時(shí)間的.

（2）對(duì)于此問的表述方面，命題人給出了“試問是否在y軸上存在一點(diǎn)F使得△BDF∽△ACE”而非學(xué)生常見的“試問是否存在一點(diǎn)F使得△BDF與△ACE相似？” 這樣的描述語言. 看起來似乎不用分類討論了，難度降低了，但從我們提取出的圖9中，我們知道，∠OBE=∠ACE，理論上，點(diǎn)B和點(diǎn)C應(yīng)該是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，但由題目中△BDF∽△ACE，可知點(diǎn)B與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，直觀告訴我們：是不是題目錯(cuò)了呢？是不是只要給個(gè)“不存在”的結(jié)論就能得分呢？從閱卷情況看，還真有學(xué)生是這樣寫的. 然而，經(jīng)驗(yàn)豐富的學(xué)生也由這個(gè)“直觀”發(fā)現(xiàn)了解決問題的關(guān)鍵——是否存在點(diǎn)F，要先證明∠OBD是否等于∠CAE. 如果等了，自然就存在，再去求點(diǎn)F；如果不等，則自然不存在. 有了上述思維的學(xué)生當(dāng)然得到了理想的滿分，不過從參加閱卷的教師反饋的信息來看，仍有許多學(xué)生忽視了證明“∠OBD=∠CAE”這一點(diǎn)，而直接用對(duì)應(yīng)邊成比例求解了. 雖然結(jié)果也對(duì)了，但還是不能得到滿分.

由上面的分析我們知道，在看到直觀思維在解題方面的重要性的同時(shí)，我們還必須認(rèn)識(shí)到直觀思維的兩面性，即直觀思維的結(jié)論不一定都是正確的，還需要我們進(jìn)行論證.

數(shù)學(xué)來源于直觀，直觀能指導(dǎo)我們解決問題. 通過以上分析，我們知道：當(dāng)通過對(duì)所要解決的數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)據(jù)特征、圖形特征等方面的觀察和分析，啟動(dòng)直觀思維，進(jìn)行合情的推理，可以快速而有效地解決問題. 作為數(shù)學(xué)教師的我們，應(yīng)該在教學(xué)中多關(guān)注學(xué)生的直覺思維培養(yǎng). 當(dāng)然，我們同時(shí)也要認(rèn)識(shí)到，直觀思維是以已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，只有具備了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，積累了豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，加以迅速的判斷力和敏銳的想象才有可能產(chǎn)生直觀思維.