姚海燕

（聊城大學(xué) 東昌學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 聊城 252000）

帶有佩亞諾型余項的泰勒公式的新證明

姚海燕

（聊城大學(xué) 東昌學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 聊城 252000）

本文用數(shù)學(xué)歸納法給出了帶有佩亞諾型余項的泰勒公式的新證明，證明過程簡潔嚴密，且便于學(xué)生理解。

泰勒公式；數(shù)學(xué)歸納法；佩亞諾型余項

泰勒公式是一元微積分學(xué)的一個重要內(nèi)容，它是分析學(xué)中研究解析函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，是大學(xué)一年級理工科學(xué)生必需掌握的內(nèi)容。帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的證明有兩種方法：一種是多次引用柯西中值定理，可見文獻[1]中的證明；另一種是用羅爾中值定理，可見文獻[2]中定理5.18的證明。關(guān)于泰勒公式的各種余項可參見文獻[3]中的討論，在此不再贅述。文獻[4]中指出，如果f（n+1）（x）有界，當x→x0時，泰勒公式的拉格朗日型余項可換為佩亞諾型余項這樣就得到了帶有佩亞諾型余項o（（x-x0）n）的泰勒公式。此公式在文獻[4]中未給出證明，妨礙了它的使用；對數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生講解時，也需要補充大量的細節(jié)才得以證明。在此，我們給出它的新證明，說明只需要存在f（n）（x）即可。所用的證明方法是學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)歸納法。文獻[3]中曾用此方法證明過該公式，但符號比較抽象，不便于學(xué)生理解，很多教科書中未采用。我們以定理的形式給出帶有佩亞諾型余項的泰勒公式：

定理中沒有出現(xiàn)f（n+1）（x），也就是對f（n+1）（x）的存在性及其性質(zhì)均沒有要求。實際上，當n=1時，（1）式為有限增量公式，f"（x）與無關(guān)，這更使我們堅信定理的正確性。

證：只要證

即當n=1時結(jié)論成立。假設(shè)存在正整數(shù)k，使當n=k時結(jié)論成立。當f（k+1）（x0）存在時，則f'（x）在x0處有k階導(dǎo)數(shù)，這時對f'（x）運用歸納法，有：

再根據(jù)洛必達法則，就得到：

所以當n=k+1時結(jié)論也成立。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對一切正整數(shù)n，結(jié)論都成立。

利用歸納法證明本定理，詳盡流暢，更嚴謹，更有邏輯性，關(guān)鍵在于對f'（x）利用歸納法的講解。本定理擺脫了文獻[4]中f（n+1）（x）有界這一條件的限制，使用該定理解決一些難題將非常簡便，比如文獻[4]中總習(xí)題三帶*的第18題。現(xiàn)以例題的形式給出：

將該題的條件代入定理，立得該題結(jié)論。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第四版（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010：141-142.

[2]周民強.數(shù)學(xué)分析（第一冊）[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002：295-296.

[3]г.M.菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程（第一卷）[M].3版.楊弢亮，葉彥謙，譯.北京：高等教育出版社，2006：207-216.

[4]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：139-142，183.

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1674-9324（2014）20-0120-01