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構(gòu)造三角形解圓錐曲線問題

2014-05-10 02:23夏伯旗
新課程·中學(xué) 2014年2期
關(guān)鍵詞:余弦定理焦點橢圓

夏伯旗

高考對圓錐曲線知識的考查主要有以下兩種形式:第一種是以填空的形式考查,主要考查圓錐曲線的標準方程、性質(zhì),以及圓錐曲線之間的關(guān)系,突出考查基礎(chǔ)知識、基本技能,屬于基礎(chǔ)題.第二種是以解答題的形式考查,主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)及標準方程的求解,常常在知識的交匯點處命題,有時以探究的形式出現(xiàn)。有時以證明題的形式出現(xiàn),該部分題目多數(shù)為綜合性問題,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,現(xiàn)用構(gòu)造三角形來討論圓錐曲線相關(guān)問題。

一、構(gòu)造三角形解離心率問題

例1.(2013·遼寧改編)已知橢圓C:■+■=1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連結(jié)AF,BF.若AB=10,BF=8,cos∠ABF=■,則C的離心率為________。

解析:在△ABF中,由余弦定理得

AF2=AB2+BF2-2AB·BFcos∠ABF,

∴AF2=100+64-128=36,∴AF=6,

從而AB2=AF2+BF2,則AF⊥BF。

∴c=OF=■AB=5,

利用橢圓的對稱性,設(shè)F′為右焦點,

則BF′=AF=6,

∴2a=BF+BF′=14,a=7

因此橢圓的離心率e=■=■。

二、構(gòu)造三角形求解角的問題

例2.已知點F1、F2分別為橢圓■+■=1的左、右焦點,過F1的直線l交橢圓于A、B兩點(點A在x軸上方),且AF1-BF1=■,則直線l的傾斜角為 。

解析:如圖,直線為橢圓左準線,作AD⊥m于D,BC⊥m于C,BG⊥AD于G,F(xiàn)1E⊥AD于E,設(shè)BF1=m,BC=d1,AD=d2,∵AF1-BF1=■,∴AF1=■+m,HF1=3,由橢圓第二定義知,■=e=■∴d1=2BF1=2m,■=e=■,∴d2=2AF1=■+2m,又EF1|GB,∴■=■,解得m=■或-■(負值舍去)。

Rt△AEF1中,cos∠EAF1=■,∴∠EAF1=60°,∴直線l傾斜角為60°。

三、構(gòu)造三角形解面積問題

例3.已知F1、F2是橢圓■+■=1的兩個焦點,P為橢圓上一點,若∠F1PF2=60°,則△PF1F2的面積為 。

解析:由題意:a=5,b=4,c=3,據(jù)余弦定理得:

F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2cos60°,

∴F1F22=(PF1+PF2)2-3PF1·PF2,化簡得PF1·PF2=■。

四、構(gòu)造三角形解綜合性問題

例4.(2012·江蘇改編)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓■+■=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0)、F2(c,0).已知點(1,e)和(e,■)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率。

①求橢圓的方程;

②設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點,且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點P.若|AF1|-|BF2|=■,求直線AF1的斜率;

解釋:①由題設(shè)知,a2=b2+c2,e=■。

由點(1,e)在橢圓上,得■+■=1,

解得b2=1,于是c2=a2-1。

又點(e,■)在橢圓上,所以■+■=1,

即■+■=1,解得a2=2。

因此,所求橢圓的方程是■+y2=1。

②令BF2=m,則AF1=■+m ∴BF1=2■-m,AF2=2■-m-■(1)

△AF1F2中,cos∠AF1F2=■(2)

△BF1F2中,cos∠BF2F1=■(3)

∵AF1|BF2 ∴∠AF1F2+∠BF2F1=π ∴cos∠AF1F2+cos∠BF2F1=0(4)

由(1)(2)(3)(4)解得m=■或■(負值舍去)代入(2)得cos∠AF1F2=■。

綜上分析可知,解圓錐曲線相關(guān)問題時靈活運用三角形相關(guān)知識解題,往往能達化繁為簡,事半功倍的效果。

(作者單位 江蘇省泰州市第二中學(xué))

?誗編輯 李燕燕

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