胡建烽

摘 要：在利用平面向量方法解幾何題時(shí)，經(jīng)常會(huì)碰到向量旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題，如果不另辟蹊徑，往往會(huì)引發(fā)復(fù)雜的運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：向量旋轉(zhuǎn)；復(fù)數(shù)；幾何

怎樣才能簡(jiǎn)化運(yùn)算而使解題過(guò)程變得流暢？筆者認(rèn)為借助復(fù)數(shù)知識(shí)，利用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義是一種可行的方法，下面舉例說(shuō)明之.

例1.如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=■，連接BD，CE，作∠CEF=■，交BD于F，求證：CE=■EF.

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分析：本題涉及的兩個(gè)等腰直角三角形都是由一直角邊繞直角頂點(diǎn)逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而成，因此可考慮復(fù)數(shù)知識(shí)去描述。

證：以C點(diǎn)為原點(diǎn)，邊CB所在直線為x軸，如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，a），則B（a，0），又設(shè)E（m，n），則■=（-m，a-n），設(shè)ZEA表示向量■=對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（以下同），則ZEA=-m+（a-n）i，

所以Z =i[（-m）+（a-n）i]=（n-a）-mi，

即■=（n-a，-m）.又■=（a-m，-n）.

因?yàn)镈、F、B三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)λ，使■=λ■+（1-λ）■=（λ（2a-m-n）+n-a，λ（m-n）-m）.

設(shè)■=μ■，則ZEF=[（-m）-ni]·μ（cos■+isin■）

=■μ（m+ni）（1+i）=-■μ（m-n）-■μ（m+n）i.

故■=（-■μ（m-n），-■μ（m+n））.

所以-■μ（m-n）=λ（2a-m-n）+n-a-■μ（m+n）=λ（m-n）-m

消去λ，得■=a（m+n）-m2-n2.

化簡(jiǎn)整理得■μ[a（m+n）-m2-n2]=a（m+n）-m2-n2，

所以μ=■，即CE=■EF.

本題的結(jié)論還可以改頭換面成求證CF⊥EF或求證△CFE是等腰直角三角形。

例2.如圖3，四邊形AKBC為正方形，△AED為等腰直角三角形，∠AED=■，DE交AC于M，且DM=ME，三角形CEM的面積S△CEM=■S△ADM，∠CEF=■，點(diǎn)F在直線DB上，射線CE交AK于P，射線CF交AB于Q.已知DF=■，求PQ.

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解：以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，如圖4，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A（0，a），則B（a，0），又設(shè)E（m，n），由例1，■=（n-a，-m），■=■+■=（m+n-a，n-m）.

因?yàn)镸是DE中點(diǎn)，所以S△ADM=S△AEM，又由已知可得S△AEM=2S△OEM，

所以AM∶MO=2∶1，AM=■.

又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式（m+n-a）+m=0，所以a=2m+n.

由AE2+AM2，得■[（2m）2+m2]=（■a）2，進(jìn)而得a=■n=■

ZEO=（-m）+（-■），

又由例1，ZEF=（-m-■i）■=■-■i

所以ZOF=ZOE+ZEF=■+■i，

因此可得F（■，■），D（-m，■）.

因?yàn)镕D=■，由兩點(diǎn)距離公式可得m2=■.

設(shè)P（x1，y1），滿足y1=■y1=■，解得x1=■y1=■，

設(shè)Q（x2，y2），滿足y2=■x2y2=-x2+■，解得x2=■y2=■.

所以PQ2=[（■-■）2+（■-■）2]m2=（■+■）×■

即PQ=■.

例3.如圖5，四邊形ABCD、PQRS、DQEF和CSGH都是正方形，其中P點(diǎn)在AB上，且PR⊥AB，PR=■AB，求證：E，R，G三點(diǎn)共線，且R是線段EG的中點(diǎn).

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分析：本題圖形主要由四個(gè)正方形組成，宜采用復(fù)數(shù)及向量知識(shí)加以解決。

證：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，如圖6建立平面直角坐標(biāo)系.

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設(shè)AB=1，則D（0，1），C（1，1）.

又設(shè)P（t，0），所以R（t，■），可得Q（t-■，■），S（t+■，■）.

ZQD=（■-t）+■i，ZQE=[（■-t）+■i]i=（-■）+（■-t）i.

所以ZOE=ZOQ+ZQE=（t-■）-ti，即E（t-■，-t）.

ZSC=（■-t）+■i，ZSG=[（■-t）+■i]（-i）=■+（t-■）i.

所以ZOG=ZOS=ZSG=（t+■）+（t-1）i，即G（t+■，t-1）.

設(shè)線段EG的中點(diǎn)為M（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知：

x=■=ty=■=-■，M點(diǎn)與R點(diǎn)重合.

所以E，R，G三點(diǎn)共線，且R為EG中點(diǎn).

從上述的三例中，不難看出，解題的關(guān)鍵是求出相關(guān)向量的坐標(biāo)或點(diǎn)的坐標(biāo)，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，有時(shí)進(jìn)行直角坐標(biāo)系與復(fù)平面之間的相互轉(zhuǎn)換是十分必要的。

（作者單位 浙江省余姚中學(xué)）

？誗編輯 劉瑞琴