蔣秀金

摘 要：為了讓學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)，本文從數(shù)學(xué)教學(xué)活動的實(shí)際出發(fā)，通過幾個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模案例的教學(xué)，闡述高中數(shù)學(xué)建模的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；案例教學(xué)；應(yīng)用數(shù)學(xué)

一、問題提出

如果我們在高中學(xué)生中作一個(gè)調(diào)查，問其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是什么？可能大部分同學(xué)的回答是：為了高考；如果我們在大學(xué)生中作一個(gè)調(diào)查，問其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的用處是什么？可能大部分同學(xué)的回答是：應(yīng)付考試。大部分同學(xué)學(xué)了十二年的數(shù)學(xué)，卻沒有基本的數(shù)學(xué)思維，更不用說用創(chuàng)新的思維去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題了。加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)正是在這種教學(xué)現(xiàn)狀下提出來的。

我國普通高中新的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中明確提出要“切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力”，要求“增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，能初步運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，逐步學(xué)會把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行探索，使問題得到解決?！?《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中要求數(shù)學(xué)建模以不同的形式滲透于必修和選修課程中。數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程成為必然，作為一線教師必須改變觀念，積極探索數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)營造更為廣闊的空間。

二、數(shù)學(xué)建模

著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對于模式的研究”。

數(shù)學(xué)模型的建立有多種方法，怎樣選擇一個(gè)最佳的模型，這是一個(gè)難點(diǎn)，選擇數(shù)學(xué)模型更是反映了數(shù)學(xué)能力。高中數(shù)學(xué)建模要以多種方式滲透進(jìn)各個(gè)模塊的學(xué)習(xí)中，其研究的實(shí)際問題可涉及多個(gè)方面，如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題、三角函數(shù)問題、立體幾何問題、解析幾何問題、數(shù)列問題、概率問題等。

具體地講數(shù)學(xué)建模的步驟大致如下：

實(shí)際問題→建立模型→數(shù)學(xué)問題→數(shù)學(xué)解→實(shí)際解→檢驗(yàn)

由此，我們可以看到，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的關(guān)鍵所在，進(jìn)而達(dá)到用數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，使數(shù)學(xué)建模成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。

三、教學(xué)案例

層次一、數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)——常規(guī)課堂教學(xué)

案例1 數(shù)學(xué)必修四第三章《三角恒等變換》章頭圖中，給出這樣一個(gè)問題：某城市的電視發(fā)射塔（BD）建在市郊的一座小山上，小山高BC約為30米，在地平面上有一點(diǎn)A，測得地面A，C兩點(diǎn)間距離約為67米，從點(diǎn)A觀測電視發(fā)射塔的視角（∠BAD）約為45°，求這座電視發(fā)射塔的高度。

評析 這是應(yīng)用數(shù)學(xué)的好時(shí)機(jī)，教師要注意引導(dǎo)，對所考察的實(shí)際問題進(jìn)行抽象分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（三角函數(shù)模型），提出新知識，即兩角和與差公式，激發(fā)學(xué)生的求知欲。 因此，要重視章前問題的教學(xué)，使學(xué)生明白建立數(shù)學(xué)模型的實(shí)際意義。

分析二 （建模法）立體幾何模型——長方體或正方體

建模過程：學(xué)生通過分析題目觀察式子，可發(fā)現(xiàn)三條線段兩兩垂直，故會聯(lián)想到熟悉的長方體或正方體模型，從同一頂點(diǎn)A出發(fā)的三條棱兩兩垂直，那么根據(jù)圖形就很容易得到判斷△BCD的形狀是銳角三角形，答案是C。

層次三、數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)——學(xué)生自選問題

案例5 用分期付款的方式購買價(jià)格為1300元的手機(jī)，如果購買時(shí)先付300元，余款分20次付完，以后每月付50元加上本月欠款的利息。如果月利息為1%，那么第10個(gè)月要付多少錢？總共要付多少錢？

點(diǎn)評：這是學(xué)生很感興趣的問題，從列舉到歸納總結(jié)，學(xué)生能切身體會到數(shù)學(xué)的價(jià)值，同時(shí)也彰顯了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的作用。教師要關(guān)注生活中與學(xué)生聯(lián)系密切的問題，引導(dǎo)學(xué)生抽象問題，解決問題并應(yīng)用于實(shí)際生活。

案例6 趣味數(shù)學(xué)問題—“公主領(lǐng)地”

公主狄多由于不滿父母做主的包辦婚姻，逃到了地中海彼岸——北非，為了謀生，她托人同當(dāng)?shù)夭柯涞那蹰L談判，打算在海邊購買一塊土地，但是貪婪的酋長索要高價(jià)，而且只肯售出一塊公牛皮所能圍住的土地，公主二話沒說，馬上拍板成交。她圍出了一塊面積很大的土地，她是怎樣圍的呢？

數(shù)學(xué)模型——解析幾何模型（圖形的周長與面積）

建模過程：把公牛皮切成細(xì)條，然后用這些細(xì)條結(jié)成一根極長的繩子，然后學(xué)生繪制不同圖形進(jìn)行計(jì)算、比較；

建模關(guān)鍵點(diǎn)：周長一定的前提下，什么樣的圖形面積最大？

問題結(jié)論：周長相等的三角形中，正三角形面積最大；

周長相等的四邊形中，正方形面積最大；

猜測：周長相等的n邊形中，正n邊形面積最大；

進(jìn)一步猜測：邊數(shù)n不斷增加，正n邊形近似于圓，即周長相等的圖形中，圓面積最大。

四、總結(jié)反思

利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題，從多層次思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力是很有益的，是提高學(xué)生素質(zhì)，進(jìn)行素質(zhì)教育的一條有效途徑。同時(shí)研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，能幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與學(xué)習(xí)對學(xué)生的智力開發(fā)具有深遠(yuǎn)的意義。

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