洪棠云

摘要：數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為解題的重要技巧是需從各個(gè)方面、各個(gè)側(cè)面去嘗試，去變化或轉(zhuǎn)化問題。他在《怎樣解題》中指出：“變化問題使我們引進(jìn)了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們問題有關(guān)的元素接觸的新的可能性。”筆者在中考復(fù)習(xí)教學(xué)中從一些簡(jiǎn)單問題入手，添磚加瓦，設(shè)計(jì)問題串，嘗試磨題、說題、一題一課的教學(xué)實(shí)踐，體悟到了“原來學(xué)生的解題角度是這樣的啊”，進(jìn)而反思自己的中考復(fù)習(xí)實(shí)效。

關(guān)鍵詞：變化問題；磨題；說題；一題一課；復(fù)習(xí)實(shí)效

近年來各地?cái)?shù)學(xué)中考試題內(nèi)容豐富、形式多樣，設(shè)計(jì)立意新、思維活。對(duì)于學(xué)生的思維廣度和深度的要求都有所增加，不少學(xué)生平時(shí)做了大量大量的題，但每次面對(duì)考試中的“生題”又束手無策；教師也同樣困惑，同類題型我已經(jīng)正著講反著講還多次做過變式題，為什么學(xué)生就是掌握不了。本文通過自己在教學(xué)過程中的幾個(gè)實(shí)例談?wù)勛约旱膸c(diǎn)收獲，希望能得到一些教學(xué)同仁的指點(diǎn)。

一、想法初成

[浙教版九年級(jí)上數(shù)學(xué)作業(yè)本1第34頁作業(yè)題第14題]

如圖，一塊直角三角形木板的兩直角邊BC，AC的長(zhǎng)分別為1.5m，2m.要把它加工成面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖①，圖②所示.請(qǐng)你用所學(xué)過的知識(shí)說明哪位同學(xué)的加工方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可以保留）.

原題考查的知識(shí)點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)和判定.

改編題1 現(xiàn)要從中裁出一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形，有如圖①，圖②兩種裁法，問面積S1，S2的最大值分別為多少，它們相等嗎？

改編后的題不僅僅考查學(xué)生相似三角形的性質(zhì)和判定知識(shí)，還滲透了方程函數(shù)思想：二次函數(shù)解析式的求法及最值的求法 .

改編題2 如圖③有一張邊長(zhǎng)為10cm的正三角形紙板，若要從中剪出一個(gè)面積最大的矩形紙板，應(yīng)怎樣剪？最大面積為多少？

這里把直角三角形改成了等邊三角形。

二、一題一課

大道至簡(jiǎn)，要想提高課堂時(shí)間的利用率，讓學(xué)生走出題海，達(dá)到一題通片，首先教師必須要先走進(jìn)題海，通過大量的做題悟題，發(fā)現(xiàn)“母題”，進(jìn)而改題、編題。我在最近的題海搜羅中發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，它很奇妙，在我們初中數(shù)學(xué)四大模塊的知識(shí)體系中始終都有著它的身影。對(duì)此，我設(shè)計(jì)了一節(jié)公開課。

母題：[浙教版八上，作業(yè)本（1）P31，作業(yè)題5]

該題的考查目標(biāo)：會(huì)根據(jù)圖形添加輔助線，利用正三角形的性質(zhì)與勾股定理，用坐標(biāo)表示圖形中的點(diǎn)。

這道題目看似簡(jiǎn)單，但卻是一個(gè)很好的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容， 點(diǎn)的坐標(biāo)，若放在不同的問題情境中，可設(shè)計(jì)出不同的題目，做到一題多變，一題通天下的妙用。以此問題為基礎(chǔ)可作如下探索：

環(huán)節(jié)1 一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的妙用A（x，y）

（1，3）問：已知點(diǎn)A ， 你能根據(jù)這個(gè)條件編一道數(shù)學(xué)題嗎？

預(yù)設(shè)：1、關(guān)于變換的：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；

2、求線段AB、AC、OA；

3、求角度；

4、求函數(shù)：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)；

5、構(gòu)造特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）：在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)E，使△AOE是等腰三角形/直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

類比上一環(huán)節(jié)，補(bǔ)充直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)坐標(biāo)求線段的公式，追問△AOB的形狀，在平面上找第四個(gè)點(diǎn)D，使以A、O、B、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形。

例題如圖，拋物線

（1） 求該拋物線的解析式；

（2）與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣一點(diǎn)M，使得以B、D、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，若在x軸上存在點(diǎn)E，使△ABD與△BPE相似，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4）直線l：x=m，在（3）的條件下，過點(diǎn)E做EF⊥PE交直線l于點(diǎn)F且滿足PE：EF=1：2，試求m的值和此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).

此題考查了二次函數(shù)求解析式及其性質(zhì)、平行四邊形的判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).此題難度較大，分類討論是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程函數(shù)思想的應(yīng)用.

三、反思成長(zhǎng)

具有較強(qiáng)代表性和典型性的習(xí)題是數(shù)學(xué)問題的精華，教學(xué)中尤其是在初三總復(fù)習(xí)時(shí)，要善于“借題發(fā)揮”，編織知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，整合思維模式，培養(yǎng)學(xué)生復(fù)合思維，形成網(wǎng)絡(luò)技能。走出題海戰(zhàn)術(shù)，真正做到輕負(fù)高效。

馬云說：“人一定要想清三個(gè)問題，第一你有什么，第二你要什么，第三你能放棄什么?！睂?duì)于絕多數(shù)人而言，自己有什么很清楚，很容易評(píng)價(jià)自己的現(xiàn)狀。要什么，內(nèi)心也有明確的想法，。最難的是，不知道或不敢放棄什么——這點(diǎn)恰能決定你想要的東西能否真正實(shí)現(xiàn)。復(fù)習(xí)課， 要復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)非常多， 如果一節(jié)課內(nèi)容太多， 最終往往容易眉毛胡子一把抓， 達(dá)不到預(yù)期的效果。而我的毛病就是對(duì)學(xué)生不放心，就想把自己所知道的知識(shí)全部傳授給學(xué)生，于是，一節(jié)課變得什么都是重點(diǎn)，然后學(xué)生搞不清楚什么是重點(diǎn)。

接下來，我要努力的方向是我要放棄什么，在問題設(shè)計(jì)時(shí)，要了解學(xué)生原有的知識(shí)水平與思維發(fā)展水平，并找到“最近發(fā)展區(qū)”與之結(jié)合，找準(zhǔn)切入口，做到簡(jiǎn)約生活，大道至簡(jiǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）.北京師范大學(xué)出版社.2003年2月.

[2]波利亞.閻育蘇譯.怎樣解題[M].北京科學(xué)出版社，1982.

[3]2014年浙江省初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試說明.浙江攝影出版社，2014年1月.

[4]《2013年全國(guó)中考試題精選》數(shù)學(xué). 2013年7月.

（作者單位：溫州市蒼南縣靈溪鎮(zhèn)第十中學(xué)325800）