劉運金

摘要：縱觀近幾年的高考試卷，函數(shù)問題的命題方式正悄然發(fā)生變化，它與數(shù)學(xué)中其他分支或者其他學(xué)科進(jìn)行交叉命題已成為一大熱點，并且經(jīng)常以綜合性題目的形式出現(xiàn)，這就要求學(xué)生不僅要具有扎實的基礎(chǔ)知識，同時還應(yīng)具備橫向思維的能力。面對這一形勢，本文從函數(shù)與函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、概率、物理問題等多個方面對高考函數(shù)的命題方式進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：高考；函數(shù)；新熱點

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0157

一、引言

函數(shù)，作為高中數(shù)學(xué)的主干知識，起著連結(jié)和支撐數(shù)學(xué)知識的重要作用，一直是高考的重點內(nèi)容，通常與方程、數(shù)列或者不等式等內(nèi)容滲透或交叉出現(xiàn)。近幾年來，隨著新課程改革的提出，高考函數(shù)隨之也在理論和實踐上發(fā)生了深刻的變化。例如，在向量引入教材后，函數(shù)問題便增添了生機與活力，在很大程度上拓展了函數(shù)問題的命題空間。在改革的新浪潮下，本文結(jié)合高考試題，在以下幾個方面深入探討函數(shù)命題的新熱點方向：

二、高考函數(shù)問題中的新熱點

1. 與函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的交叉

極限作為一種運算，從歷年高考考查來看，基本要求比較低，隨著考查力度的增大，它逐步融入到了各知識點當(dāng)中，這使得函數(shù)與函數(shù)極限的創(chuàng)新交叉受到高考數(shù)學(xué)命題者的青睞。

例1. (2006年重慶高考題)：已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b，c∈R為常數(shù)。若b2≤4(c-1)，且lim=4，試證：-6≤b≤2。

證明：由f(x)=(x2+bx+c)ex，得f '(x)=(2x2+b)ex+(x2+bx+c)ex，

所以f(0)=c， f ′(0)=b+c。

于是lim=lim= f ′(0)，即b+c=4。

又因為b2≤4(c-1)，故b2+4b-12≤0。

所以-6≤b≤2。

點評：本題集超越函數(shù)、函數(shù)極限于一體，靈活地運用導(dǎo)數(shù)的定義求極限值是此類題型的關(guān)鍵。

2. 與導(dǎo)數(shù)的交叉

以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)諸多性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)極值理論、單調(diào)性質(zhì)、幾何意義及其應(yīng)用為目標(biāo)，是高考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)交匯試題的顯著特點和命題趨勢。高考常以函數(shù)單調(diào)性區(qū)間、單調(diào)性證明等問題為載體，考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性質(zhì)和分類討論思想的應(yīng)用。

例2. (2007年安徽高考題)：設(shè)a≥0f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)。F(x)=xf ′(x)，討論F(x)在(0，+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值。

解：根據(jù)求導(dǎo)法則得f(x)=1-+，x>0。故

F(x)=x·f ′(x)=x-2lnx+2a，x>0.

于是F ′(x)=F ′(x)=1-+x>0，

列表如下：

故知F(x)在(0，2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x=2處取得極小值，極小值F(2)=2-2ln2+2a。

點評：對于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的交叉試題，只要我們把握住導(dǎo)數(shù)在其概念、單調(diào)性、極值和幾何意義等方面的應(yīng)用，掌握近年來此類試題的考點、常見題型及其求解策略，從而適應(yīng)高考的要求。

3. 與概率統(tǒng)計交叉

概率與統(tǒng)計試題是高考的必考內(nèi)容，它是以實際應(yīng)用問題為載體，以排列組合和概率統(tǒng)計等知識為工具，以考查對五個概率事件的判斷識別及其概率的計算和隨機變量概率分布性質(zhì)及其應(yīng)用為目標(biāo)。但概率統(tǒng)計試題的考查與函數(shù)創(chuàng)新交叉，也成為高考熱點。

例3. (2005年湖南高考題)：某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這3個景點的概率分別為0.4，0.5，0.6，且客人游覽哪個景點互不影響。設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值。

(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞)上遞增”為事件A，求A事件的概率。

解：(1)設(shè)A1，A2，A3分別表示客人游覽甲、乙、丙旅游景點3件事件，則A1，A2，A3相互獨立，且P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.6。

因為客人游覽的景點數(shù)可能為0，1，2，3，相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點數(shù)可能為3，2，1，0，所以ξ的取值為1，3。

P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(1-A1)P(1-A2)P(1-A3)+P(1-A1)P(1-A2)P(1-A3)=2×0.4×0.5×0.6=0.24。

則P(ξ=1)=1-0.24=0.76，于是ξ的分布列為：

數(shù)學(xué)期望Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48。

(2)當(dāng)ξ=1時，函數(shù)f(x)=x2-3x+1在區(qū)間[2，+∞)上遞增，當(dāng)ξ=3時，f(x)=x2-9x+1在區(qū)間[2，+∞)上不遞增，因此P(A)=P(ξ=1)=0.76。

點評：函數(shù)與概率統(tǒng)計的交匯在高考中還是初見端倪,雖然難度不大，但具有內(nèi)容新、背景新、結(jié)構(gòu)新的特點，預(yù)計在今后的高考中將會設(shè)計得更加靈活、更能體現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系。

4. 與物理問題交叉

函數(shù)的知識是其他學(xué)科(如物理學(xué))的必備基礎(chǔ)，也是研究和解決各種問題的基礎(chǔ)。函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容蘊含著極其豐富的辨證思想，是對學(xué)生進(jìn)行辨證唯物主義教育的良好素材。函數(shù)的思想方法已經(jīng)廣泛地滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的整個過程和其他學(xué)科當(dāng)中了。

例4. (2007年南昌市高考模擬題)：若已知某質(zhì)點的運動方程為s(t)=-at ，要使t ∈[0,+∞)上的每一時刻的瞬時速度的絕對值都不大于1，求a實數(shù)的取值范圍。

解：s(t)=-a。

因為s′(x)≤1，所以

-a≤1，

則有

-a≤1

-a≤-1a≥

-1

a≤

+1 ，

當(dāng)t∈[0,+∞)時，(+1)min=1，所以a≤1。當(dāng)t→+∞時，，且連續(xù)遞增，所有值都小于1，所以a≥0。

故使在t∈[0,+∞)上恒成立，實數(shù)a的取值范圍是0≤a≤1。

點評：質(zhì)點運動函數(shù)s(t)的導(dǎo)數(shù)s'(t)的物理意義就是質(zhì)點在時刻t的瞬時速度。利用導(dǎo)數(shù)的物理意義列出不等式，根據(jù)不等式在t∈[0,+∞)上恒成立，求出a的取值范圍。

三、結(jié)束語

綜上所述，近些年高考試題命題方式呈現(xiàn)出考查基礎(chǔ)知識和能力相結(jié)合的特點，體現(xiàn)并滲透出新教材的教育理念，結(jié)合了新課程中的新思想和新方法，而且以基礎(chǔ)知識和綜合能力兩者為重點，在眾多知識點中尋求交叉點，并以此為考點命題，可以提高學(xué)生的思維能力、預(yù)算能力以及應(yīng)用能力等。

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