張丹丹

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生普遍存在碰到數(shù)學(xué)題不知該如何下手或過于依賴教師講解、對(duì)數(shù)學(xué)問題缺少方法等問題，教師在教學(xué)過程中不僅要注意引導(dǎo)學(xué)生掌握解題技巧和解題方法，還要引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的重視，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的掌握和正確運(yùn)用，對(duì)解題能起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)07-0138

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容經(jīng)過人腦思維活動(dòng)而產(chǎn)生并存在于人腦中的一種意識(shí)，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論內(nèi)容的最根本認(rèn)識(shí)；數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在研究數(shù)學(xué)問題過程中的具體表現(xiàn)形式，實(shí)際上它們的本質(zhì)是相同的，差別只是數(shù)學(xué)方法站在解決問題的角度看問題，而數(shù)學(xué)思想是站在問題最本源的角度去思索問題。通常統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。常見的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)特有的語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與數(shù)學(xué)思想方法不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解；有時(shí)，還能實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的。例如，數(shù)列是特殊的函數(shù)，函數(shù)有解析法、列表法、圖像法三種表示方法，相應(yīng)的數(shù)列就有通項(xiàng)公式、遞推公式、列表、圖像等表示方法，用函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì)解決數(shù)列問題非?？旖?。

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題、復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題、抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，學(xué)生可以把未知解的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為在已知范圍內(nèi)可解的簡單問題。我們教師要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺的轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)，這將有利于訓(xùn)練學(xué)生思維能力，使學(xué)生更聰明、更靈活、更敏捷；也有助于我們提高教學(xué)水平。

三、分類討論思想

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，對(duì)此，我們必須對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。以下是來自教材的命題：

例1. 若loga3/4<1(a>0且a≠1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：因?yàn)閘oga3/4

當(dāng)a>1時(shí), 函數(shù)y= logax在其定義域上遞增,則有a>3/4,故有a>1 成立。

當(dāng)0

綜上所述，a>1或0

例2. 已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}若BA，求實(shí)數(shù)a的值。

解：顯然集合A={-1，1}，對(duì)于集合B={x|ax=1}，

當(dāng)a=0時(shí)，集合B=滿足BA，即a=0；

當(dāng)a≠0時(shí)，集合B={}，而BA，則，=1或=-1，

得a=-1，或a=1，

綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為-1，0，或1。

在教學(xué)中，教師要和學(xué)生一起分析總結(jié)引起分類討論的原因主要有以下幾個(gè)方面：

①題目所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義中對(duì)底數(shù)a的要求是a>0且a≠1。這種分類討論題型可以稱為概念型。如例1。

②題目中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。

③解含有參數(shù)的題目時(shí)，學(xué)生必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。例如解不等式mx>2時(shí)分m>0、m=0和m<0三種情況進(jìn)行討論。這稱為含參型。如以上例2。

④某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都需要通過分類討論，以保證其完整性與確定性。

在解答分類討論問題時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的；標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的；不重不漏的科學(xué)劃分；分清主次；不越級(jí)討論；其中最重要的一條是“不重不漏”。我們的基本步驟是：首先，要確定討論對(duì)象及所討論對(duì)象的全體范圍；其次，確定分類標(biāo)準(zhǔn)并進(jìn)行正確合理的分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重；再次，對(duì)所分類別逐類進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果；最后，歸納總結(jié)得出結(jié)論。

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段、數(shù)為目的，比如運(yùn)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段、形作為目的，如解析幾何中運(yùn)用橢圓、雙曲線、拋物線的方程來精確地闡明這三種曲線的幾何性質(zhì)。

例3. 方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍()

A. 空集B. (5，9) C. (1/7，1/3)D. (5，9)∪(1/7，1/3)

解：因?yàn)榉匠蘳in((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)y=sin((πX)/2)和函數(shù)y=logaX的圖像有3個(gè)交點(diǎn)。

做出函數(shù)y=sin((πX)/2)在區(qū)間[0，10]的圖像，(周期為4)

當(dāng)a>1時(shí)，作出函數(shù)y=logaX的圖像，(單調(diào)遞增)因?yàn)橛?個(gè)交點(diǎn)，

所以loga5<1且loga9>1,

解得5

當(dāng)0

所以-1

解得1/7a<1/3。

綜上所述，a的取值范圍是(5，9)∪(1/7，1/3)

師生共同觀察黑板上畫的圖象，很明顯地能看出a的取值范圍。

師：同學(xué)們反思一下自己的解題過程，用兩句話概括出解決本題的關(guān)鍵是什么？

生：利用函數(shù)與方程思想方法解題，關(guān)鍵是找到函數(shù)。

生：利用數(shù)形結(jié)合思想方法，找到圖像的交點(diǎn)。

師：很好。本題運(yùn)用函數(shù)思想的前提是把求方程的實(shí)根轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的圖像交點(diǎn)。此題，我們可以體會(huì)到函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想。希望在以后的解題中，同學(xué)們能敞開思路，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用。

華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”數(shù)形結(jié)合的思想，巧妙地將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，是數(shù)的問題與圖形之間相互轉(zhuǎn)化的橋梁。

數(shù)學(xué)問題的解決過程是用“不變”的數(shù)學(xué)思想和方法去解決不斷“變換”的數(shù)學(xué)命題,在數(shù)學(xué)問題的解決過程中滲透數(shù)學(xué)思想和方法，不僅可以加快和優(yōu)化問題解決的過程，而且可以達(dá)到會(huì)一題而通一類的效果。結(jié)果表明，在高中解題教學(xué)中，教師滲透數(shù)學(xué)思想方法，有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)理論內(nèi)容的理解，從而提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)解題能力，同時(shí)也有助于我們教師提高自己的教育教學(xué)水平，所謂“教學(xué)相長”說的就是這個(gè)道理。

另外，在學(xué)生解完一道數(shù)學(xué)命題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行反思，這種反思能較好地概括學(xué)生的思維活動(dòng)，從而上升到數(shù)學(xué)思想方法上來。同時(shí)由于學(xué)習(xí)的不可代替性，教師在積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思的同時(shí)還要善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己提煉數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)與解題過程中隱藏的數(shù)學(xué)思想方法。