喬愛萍

摘要：半個世紀(jì)前的弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想在今天看來依然歷久彌新。弗賴登塔爾教育思想的核心是“數(shù)學(xué)化”、“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”與“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造思想”，研究其內(nèi)涵對今天的數(shù)學(xué)教育具有深遠(yuǎn)的現(xiàn)實意義。

關(guān)鍵詞：弗賴登塔爾；數(shù)學(xué)化；數(shù)學(xué)現(xiàn)實：有指導(dǎo)的再創(chuàng)造

中圖分類號：G40-09 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2014）02-00510-05

弗賴登塔爾（1905-1990）是荷蘭著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，公認(rèn)的國際數(shù)學(xué)教育權(quán)威，他于20世紀(jì)50年代后期發(fā)表的一系列教育著作在當(dāng)時的影響遍及全球。雖歷經(jīng)半個多世紀(jì)的歷史洗滌，但弗翁的教育思想在今天看來卻依然熠熠生輝，歷久彌新。今天我們重溫弗翁的教育思想，發(fā)現(xiàn)新課程倡導(dǎo)的一些核心理念，在弗翁的教育論著中早有深刻闡述。因此，領(lǐng)會并貫徹弗翁教育思想，對于今天的課堂教學(xué)仍然深具現(xiàn)實意義。身處課程改革中的數(shù)學(xué)教育同仁們，理當(dāng)把弗翁的教育思想奉為經(jīng)典來品味咀嚼，從中汲取豐富的思想養(yǎng)料，獲得教學(xué)啟示，并能積極踐行其教育主張。

弗賴登塔爾早年從事純粹數(shù)學(xué)研究，在李群和拓?fù)鋵W(xué)等方面多有建樹，20世紀(jì)50年代后期開始關(guān)注數(shù)學(xué)教育，發(fā)表了140余種教育論著，其中最有影響的有《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》、《播種和除草》、《數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)法現(xiàn)象學(xué)》。第一本闡述了他對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的各種基本觀點(diǎn)，第二、第三本則可看成第一本的發(fā)展。弗翁在其代表作《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中的核心思想歸納起來有三條，一是“數(shù)學(xué)化”，二是“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，三是“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”。

我們需要研究的是，弗翁的“數(shù)學(xué)化”、“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”、“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”的思想內(nèi)涵究竟是什么？對于今天課堂教學(xué)的現(xiàn)實意義究竟又在哪里？

一、“數(shù)學(xué)化”思想的內(nèi)涵及其現(xiàn)實意義

弗賴登塔爾把“數(shù)學(xué)化”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則之一，并指出：“……沒有數(shù)學(xué)化就沒有數(shù)學(xué)，沒有公理化就沒有公理系統(tǒng)，沒有形式化也就沒有形式體系?！虼藬?shù)學(xué)教學(xué)必須通過數(shù)學(xué)化來進(jìn)行。”[1]弗翁的“數(shù)學(xué)化”，一直被作為一種優(yōu)秀的教育思想影響著數(shù)學(xué)教育界人士的思維方式與行為方式，對全世界的數(shù)學(xué)教育都產(chǎn)生了極其深刻的影響。

何為“數(shù)學(xué)化”？弗翁指出：“籠統(tǒng)地講，人們在觀察現(xiàn)實世界時，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理和組織的過程，我稱之為數(shù)學(xué)化。”[2]同時他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)化的對象分為兩類，一類是現(xiàn)實客觀事物，另一類是數(shù)學(xué)本身。以此為依據(jù)，數(shù)學(xué)劃分為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。橫向數(shù)學(xué)化指對客觀世界進(jìn)行數(shù)學(xué)化，它把生活世界符號化，其一般步驟為：現(xiàn)實情境—抽象建模—一般化—形式化。今天新授課倡導(dǎo)的教學(xué)模式就是遵循這四個階段進(jìn)行的?？v向數(shù)學(xué)化是指橫向數(shù)學(xué)化后，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法，以形成公理體系與形式體系，使數(shù)學(xué)知識體系更系統(tǒng)、更完美。

目前一些教師或許是教育觀念上還存在偏差，或許是應(yīng)試教育大環(huán)境引發(fā)的短視功利心的驅(qū)動，常把數(shù)學(xué)化（橫向）的四個階段簡約為最后一個階段，即只重視數(shù)學(xué)化后的結(jié)果——形式化，而忽略得到結(jié)果的“數(shù)學(xué)化”過程本身。斬頭去尾燒中段的結(jié)果，是學(xué)生學(xué)得快但忘得更快。弗賴登塔爾批評道：這是一種“違反教學(xué)法的顛倒”。也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)絕不能僅僅是灌輸現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)果，而是要引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和得出這些結(jié)果。許多大家持同樣觀點(diǎn)，美國心理學(xué)家戴維斯就認(rèn)為：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)工作的方式應(yīng)當(dāng)與做研究的數(shù)學(xué)家類似，這樣才有更多的機(jī)會取得成功。笛卡爾與萊布尼茲說：“……知識并不是只來自于一種線性的，從上演繹到下的純粹理性……，真理既不是純粹理性，也不是純粹經(jīng)驗，而是理性與經(jīng)驗的循環(huán)。”[3]康德說：“沒有經(jīng)驗的概念是空洞的，沒有概念的經(jīng)驗是不能構(gòu)成知識的?！盵4]

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，“數(shù)學(xué)化”方式使學(xué)生的知識源自現(xiàn)實，也就容易在現(xiàn)實中被觸發(fā)與激活?！皵?shù)學(xué)化”過程能讓學(xué)生充分經(jīng)歷從生活世界到符號化、形式化的完整過程，積累“做數(shù)學(xué)”的豐富體驗，收獲知識、問題解決策略、數(shù)學(xué)價值觀等多元成果。

另一方面，“數(shù)學(xué)化”對學(xué)生的遠(yuǎn)期與近期發(fā)展兼具重大意義。從長遠(yuǎn)看，要使學(xué)生適應(yīng)未來的職業(yè)周期縮短、節(jié)奏加快、競爭激烈的現(xiàn)代社會，使數(shù)學(xué)成為整個人生發(fā)展的有用工具，就意味著數(shù)學(xué)教育要給學(xué)生除知識外的更加內(nèi)在的東西，這就是數(shù)學(xué)的觀念、用數(shù)學(xué)的意識。因為學(xué)生如果不是在與數(shù)學(xué)相關(guān)的領(lǐng)域工作，他們學(xué)過的具體數(shù)學(xué)定理、公式和解題方法大多是用不上的，但不管從事什么工作，從“數(shù)學(xué)化”活動中獲得的數(shù)學(xué)式思維方式與看問題的著眼點(diǎn)，把現(xiàn)實世界轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模式的習(xí)慣，努力揭示事物本質(zhì)與規(guī)律的態(tài)度等等，卻會隨時隨地發(fā)生作用。

張奠宙先生曾舉過一例，一位中學(xué)畢業(yè)生在上海和平飯店做電工，從空調(diào)機(jī)效果的不同，他發(fā)現(xiàn)地下室到10樓的一根電線與眾不同，現(xiàn)需測知其電阻。在別人因為距離長而感到困難的時候，他想到對地下室到10樓的三根電線進(jìn)行統(tǒng)一處理。在10樓處將電線兩兩相接，在地下室分三次測量，然后用三元一次方程組計算出了需要的結(jié)果。這位電工后來又做過幾次類似的事情，他也因此很快得到了上級的賞識與重視。這位電工解決問題的方法，并不完全是曾經(jīng)做過類似數(shù)學(xué)題的方法，而是得益于他用數(shù)學(xué)的意識。在現(xiàn)實生活中，有了數(shù)學(xué)式的觀念與意識，我們就總想把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，就總是試圖揭示出面臨問題的本質(zhì)與規(guī)律，就容易經(jīng)濟(jì)高效地處理問題，從而凸顯出卓爾不群的才干，進(jìn)而提高我們工作與生活的品質(zhì)。

從近期講，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過程，讓學(xué)生親歷了知識形成的全過程，且在獲取知識的過程中，學(xué)生們要重建數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的過程，其中探究中對前行路徑的自主猜測與選擇、自主分析與比較、在克服困境中的堅守與轉(zhuǎn)化、在發(fā)現(xiàn)解決問題的方法時獲得的智慧滿足與興奮、在歷經(jīng)挫折后對數(shù)學(xué)式思維的由衷欣賞，以及由此產(chǎn)生的對于數(shù)學(xué)情感與態(tài)度方面的變化，無一不是“數(shù)學(xué)化”帶給學(xué)生生命成長的豐厚營養(yǎng)。波利亞說：只有看到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，按照數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史順序或親自從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)時，才能最好地理解數(shù)學(xué)。同時，親歷形成過程得到的知識，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中一定處于穩(wěn)固地位，記憶持久，調(diào)用自如，遷移靈活。從而十分有利于學(xué)生當(dāng)下應(yīng)試水平的提高。

除知識外，學(xué)生在“數(shù)學(xué)化”活動中將緘默地收獲到包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)審美標(biāo)準(zhǔn)、元認(rèn)知監(jiān)控、反思調(diào)節(jié)等多元成果，這些內(nèi)容不僅有益于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)價值的認(rèn)識，更有益于增強(qiáng)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)動機(jī)，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識與能力，這絕不是只向?qū)W生灌輸成品數(shù)學(xué)所能達(dá)到的效果。

二、“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”思想的內(nèi)涵及其現(xiàn)實意義

新課程倡導(dǎo)引入新課時，要從學(xué)生的生活經(jīng)驗與已有的數(shù)學(xué)知識處拋錨創(chuàng)設(shè)情境，這種觀點(diǎn)，早在半個世紀(jì)前的弗翁教育論著中已一再涉及。弗翁強(qiáng)調(diào)，教學(xué)“應(yīng)該從數(shù)學(xué)與它所依附的學(xué)生親身體驗的現(xiàn)實之間去尋找聯(lián)系”，并指出，“只有源于現(xiàn)實關(guān)系，寓于現(xiàn)實關(guān)系的數(shù)學(xué)，才能使學(xué)生明白和學(xué)會如何從現(xiàn)實中提出問題與解決問題，如何將所學(xué)知識更好地應(yīng)用于現(xiàn)實”。[5]弗翁的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”觀告訴我們，每個學(xué)生都有自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，即接觸到的客觀世界中的規(guī)律以及有關(guān)這些規(guī)律的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。它不但包括客觀世界的現(xiàn)實情況，也包括學(xué)生使用自己的數(shù)學(xué)能力觀察客觀世界所獲得的認(rèn)識。教師的任務(wù)在于了解學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實并不斷地擴(kuò)展提升學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。

“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”思想，讓我們知曉了創(chuàng)設(shè)情境的真正教學(xué)意圖及創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)情境對于教學(xué)的重要意義。首先，情境應(yīng)該源于學(xué)生的生活常識或認(rèn)知現(xiàn)狀，前者的引入方式可以擺脫機(jī)械灌輸概念的弊端，現(xiàn)實情境的模糊性與當(dāng)堂知識聯(lián)系的隱蔽性更有利于學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”活動，有利于學(xué)生主意自己拿，方法自己找，策略自己定，有利于學(xué)生逐步積淀生成正確的數(shù)學(xué)意識與觀念，后者是學(xué)生進(jìn)行意義建構(gòu)的基本要求。其次，教師有效教學(xué)的必要前提，是了解學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，一切過高與過低的、與學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實不吻合的教學(xué)設(shè)計必定不會有好的教學(xué)效果。由此我們也就理解了新數(shù)運(yùn)動失敗的一個重要原因，是過分拔高了學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實；同時也就理解了為什么在課改之初，一些課堂數(shù)學(xué)活動的“幼稚化”會遭到一些專家的詬病，就是因為沒有緊貼學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實貼船下篙?！叭绻也坏貌话讶拷逃睦韺W(xué)還原為一條原理的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)的唯一最重要因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么?！眾W蘇貝爾的話恰好也道出了“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”對教學(xué)的重要意義。

三、“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”思想的內(nèi)涵及其現(xiàn)實意義

1.“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”中“再”的意義及啟示

弗賴登塔爾倡導(dǎo)按“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”的原則進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，即要求教師要為學(xué)生提供自由創(chuàng)造的廣闊天地，把課堂上本來需要教師傳授的知識、需要浸潤的觀念變?yōu)閷W(xué)生在活動中自主生成、緘默感受的東西。弗氏認(rèn)為，這是一種最自然、最有效的學(xué)習(xí)方法。這種以學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”為基礎(chǔ)的創(chuàng)造學(xué)習(xí)過程，是讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重復(fù)一些數(shù)學(xué)發(fā)展史上的創(chuàng)造性思維的過程。但它并非亦步亦趨地沿著數(shù)學(xué)史的發(fā)展軌跡，也讓學(xué)生在黑暗中慢慢地摸索前行，而是通過教師的指導(dǎo)，讓學(xué)生繞開歷史上數(shù)學(xué)前輩們曾經(jīng)陷入的困境和僵局，避免他們在前進(jìn)道路上所走過的彎路，濃縮前人探索的過程，依據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的思維水平，沿著一條改良修正的道路快速前進(jìn)。所以，“再創(chuàng)造”的“再”的關(guān)鍵是教學(xué)中不應(yīng)該簡單重復(fù)當(dāng)年的真實歷史，而是要結(jié)合當(dāng)初數(shù)學(xué)史的發(fā)明發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，結(jié)合教材內(nèi)容，更要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實，致力于歷史的重建或重構(gòu)。弗翁的理由是：“數(shù)學(xué)家從來不按照他們發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的真實過程來介紹他們的工作，實際上經(jīng)過艱苦曲折的思維推理獲得的結(jié)論，他們常常以‘顯而易見或是‘容易看出輕描淡寫地一筆帶過；而教科書則做得更徹底，往往把表達(dá)的思維過程與實際創(chuàng)造的進(jìn)程完全顛倒，因而完全阻塞了‘再創(chuàng)造的通道?！盵6]

我們不難看到，今天的許多常規(guī)課堂，由于課時緊、自身水平有限、工作負(fù)擔(dān)重、應(yīng)試壓力大等原因，教師們常常喜歡用開門見山、直奔主題的方式來進(jìn)行，按“講解定義—分析要點(diǎn)—典例示范—布置作業(yè)”的套路教學(xué)，學(xué)生則按“認(rèn)真聽講—記憶要點(diǎn)—模仿題型—練習(xí)強(qiáng)化”的方式日復(fù)一日地學(xué)習(xí)。然而，數(shù)學(xué)課如果總是以這樣的流程來操作，學(xué)生失去的，將是親身體驗知識形成中對問題的分析、比較、對解決問題中策略的自主選擇與評判，對常用手段與方法的提煉反思的機(jī)會。杜威說：“如果學(xué)生不能籌劃自己解決問題的方法，自己尋找出路，他就學(xué)不到什么，即使他能背出一些正確的答案，百分之百正確，他還是學(xué)不到什么。”[7]其實，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的真實思維過程對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展至關(guān)重要。張乃達(dá)先生說得好：“人們不是常說，要學(xué)好學(xué)問，首先就要學(xué)做人嗎？在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，怎樣學(xué)習(xí)做人？學(xué)做什么樣的人？這當(dāng)然就是要學(xué)做數(shù)學(xué)家！要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的‘人品。而要學(xué)做數(shù)學(xué)家，當(dāng)然首先就要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的眼光！”[8]這只能從數(shù)學(xué)家“做數(shù)學(xué)”的思維方式中去學(xué)習(xí)。

德摩根就提倡這種“再創(chuàng)造”的教學(xué)方式。他舉例說，教師在教代數(shù)時，不要一下子把新符號都解釋給學(xué)生，而應(yīng)該讓學(xué)生按從完全書寫到簡寫的順序?qū)W習(xí)符號，就像最初發(fā)明這些符號的人一樣。龐加萊認(rèn)為：“數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)完全按照數(shù)學(xué)史上同樣內(nèi)容的發(fā)展順序展現(xiàn)給讀者，教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段?！盵9]波利亞也強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)重新經(jīng)歷人類認(rèn)識數(shù)學(xué)的重大幾步。

例如，從1545年卡丹討論虛數(shù)并給出運(yùn)算方法，到18世紀(jì)復(fù)數(shù)廣為人們接受，經(jīng)歷了200多年時間，其間包括大數(shù)學(xué)家歐拉都曾認(rèn)為這種數(shù)只存在于“幻想之中”。教師教授復(fù)數(shù)時，當(dāng)然無須讓學(xué)生重復(fù)當(dāng)初人類發(fā)明復(fù)數(shù)的艱辛漫長的歷程，但可以把復(fù)數(shù)概念的引入，也設(shè)計成當(dāng)初數(shù)學(xué)家遇到的初始問題，即“兩數(shù)的和是10，積是40，求這兩數(shù)”，讓學(xué)生面臨當(dāng)初數(shù)學(xué)家同樣的困窘。這時教師讓學(xué)生了解從自然數(shù)到正分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)的發(fā)展歷程，以及數(shù)學(xué)共同體對數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則要求。啟發(fā)學(xué)生，對于前面的每一種數(shù)都找到了它的幾何表征并研究其運(yùn)算，那么復(fù)數(shù)呢，能否有幾何表征方式？復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則又是什么樣的？……這樣的教學(xué)，既避免了學(xué)生無方向的低效摸索，又讓學(xué)生在教師的科學(xué)有效的引導(dǎo)下，像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造過程。在這一過程中，學(xué)生獲得的智能發(fā)展，遠(yuǎn)比被動接受教師傳授來得透徹與穩(wěn)固。正如美國諺語所說：我聽到的會忘記，看到的能記住，唯有做過的才入骨入髓。

2.“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”中“有指導(dǎo)”的內(nèi)涵及現(xiàn)實意義

弗翁認(rèn)為，學(xué)生的“再創(chuàng)造”，必須是“有指導(dǎo)”的。因為，學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的活動中常處于結(jié)論未知、方向不明的探究環(huán)境中。若放任學(xué)生自由探究而教師不作為，學(xué)生的活動極有可能陷入盲目低效或無效境地。打個比方，讓一個盲人靠自己的摸索到他從來沒有去過的地方，他或許花費(fèi)太多的時間，碰到無數(shù)的艱辛，通過跌打滾爬最終能到達(dá)目的地，但更有可能摸索到最后還是無功而返。如果把在探索過程中的學(xué)生比喻為看不清知識前景的盲人，教師作為一個知識的明眼人，就應(yīng)該始終站在學(xué)生身后的不遠(yuǎn)處。學(xué)生碰到溝壑，教師能上前牽引他；當(dāng)他走反了方向時，上前把他指引到正確的道路上來，這就是教師“有指導(dǎo)”的意義。另外，并不是學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)化活動就能自動生成精致化的數(shù)學(xué)形式定義。事實上，數(shù)學(xué)的許多定義是人類經(jīng)過上百年、數(shù)千年，通過一代代數(shù)學(xué)家的不斷繼承、批判、修正、完善，才逐步精致嚴(yán)謹(jǐn)起來的，想讓學(xué)生自己通過幾節(jié)課就生成出形式化概念是不可能的。所以說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更主要還是一種文化繼承行為。弗翁強(qiáng)調(diào)“指導(dǎo)再創(chuàng)造意味著在創(chuàng)造的自由性與指導(dǎo)的約束性之間，以及在學(xué)生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間達(dá)到一種微妙的平衡”[10]。當(dāng)前教學(xué)中有一種不好的現(xiàn)象，即把學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體地位與教師的必要指導(dǎo)相對立，這顯然與弗翁的思想相背離。當(dāng)然，教師的指導(dǎo)最能體現(xiàn)其教學(xué)智慧，體現(xiàn)在何時、何處、如何介入到學(xué)生的思維活動中。

（1）如何指導(dǎo)——用元認(rèn)知提示語引導(dǎo)。在“做數(shù)學(xué)”的活動中，對學(xué)生啟發(fā)的最好方式是用元認(rèn)知提示語，教師要根據(jù)探究目標(biāo)隱蔽性的強(qiáng)弱，知識目標(biāo)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)潛在距離的遠(yuǎn)近，設(shè)計暗示成分或隱或顯的元認(rèn)知問題。一個優(yōu)秀的教師一定是善用元認(rèn)知提示語的教師。

（2）何時指導(dǎo)——在學(xué)生處于思維的迷茫狀態(tài)時。不給學(xué)生充分的活動時空，不讓學(xué)生經(jīng)歷一段艱難曲折的走彎路過程，教師就介入到活動中，這不是真正意義上的“數(shù)學(xué)化”教學(xué)。在教師的過早干預(yù)下，也許學(xué)生知識、技能學(xué)得快一些，但學(xué)生學(xué)得快忘得更快。所以，教師只有在學(xué)生心求通而不得時點(diǎn)撥，在學(xué)生的思維偏離了正確的方向時引領(lǐng)，才能充分發(fā)揮師生雙方的主觀能動性，讓學(xué)生在挫折中體會出數(shù)學(xué)思維的特色與數(shù)學(xué)方法的魅力。

（3）在何處指導(dǎo)——在關(guān)于知識的知識方面。相比于知識的學(xué)習(xí)，關(guān)于如何獲取知識的知識對于人的發(fā)展意義更為重要。比如筆者在“參數(shù)方程的意義”一課中，當(dāng)學(xué)生得出了斜拋物體的運(yùn)動方程時，筆者提出：你以前見過類似方法嗎？引導(dǎo)學(xué)生提取出曾經(jīng)見過的參數(shù)方程x=rcost、y=rsint。進(jìn)而提問：“你認(rèn)為本題的方法有推廣，一般化的價值嗎，為什么？”通過這樣的問題，引導(dǎo)學(xué)生反思數(shù)學(xué)人的價值追求，反思我們研究參數(shù)方程的必要性，進(jìn)而讓學(xué)生悟出：在數(shù)學(xué)中，在生活中，如果我們經(jīng)常遇到一個對象，如果它有普遍的運(yùn)用價值，我們就要研究它。通過一些問題串的提出，引導(dǎo)學(xué)生不僅關(guān)心“知道了什么知識”，更要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心知識是“怎么形成的”，“怎么知道的”，“為什么要研究它們”。在思維的岔口處，教師指導(dǎo)學(xué)生要用數(shù)學(xué)美導(dǎo)航，在等價化歸的行為背后，教師要點(diǎn)化出數(shù)學(xué)人思維經(jīng)濟(jì)的特色，引導(dǎo)學(xué)生對于如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思考進(jìn)行再思考。通過指導(dǎo)學(xué)生回顧“做數(shù)學(xué)”的過程，深究活動中涉及的知識、方法、思路、策略，“學(xué)生的理解才可能從一個水平升華到更高水平”[11]。

品讀弗翁的教育論著，相信每一位閱讀的同仁都有開卷有益、茅塞頓開之感，它之于我們，實在是一部精神大餐，從中可擴(kuò)展我們的眼界，澄清認(rèn)識上的誤區(qū)，提升我們的實踐智慧，幫助我們更透徹地領(lǐng)會并在教學(xué)中更好地貫徹新課程理念。

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責(zé)任編輯：楊孝如

Freudenthals Mathematics Education Idea and Its Realistic Significance

QIAO Ai-ping

（Qingjiang Middle School， Huaian 223001， China）

Abstract： Freudenthals mathematics education idea of half a century ago is still new and fashionable today， the core of whose idea is mathematization， mathematical reality and directed re-creation ideology. A study of its connotation has profound realistic significance to todays mathematics education.

Key words： Freudenthal； mathematization； mathematical reality； directed re-creation