陳坤華，孫玉坤，李天博，孫智權(quán)

(江蘇大學電氣信息工程學院，鎮(zhèn)江 212013)

前言

電動汽車在燃油經(jīng)濟性和尾氣排放等方面的杰出特性受到越來越多的國際汽車制造商的關(guān)注［1］。鋰離子電池在功率密度、能量密度和充放電性能方面有著顯著優(yōu)勢，具有循環(huán)壽命長、自放電率低、“綠色”環(huán)保等特點［2－3］。鋰離子電池數(shù)學模型是電動汽車系統(tǒng)建模中的難點之一［4－6］。

目前較典型的鋰離子電池數(shù)學模型有Rint模型［7］、Therenin 模型［8］、PNGV 模型［9］、GNL 模型［10］和RC模型［11］。其中前4種模型都是用理想電壓源來描述電池開路電壓，而RC模型則用兩個電容來描述電池的儲能能力和電池電極的表面效應，用3個電阻分別描述電池的端電阻、終止電阻和容性電阻;Rint模型將電池內(nèi)阻和開路電壓視為電池荷電狀態(tài)和溫度的函數(shù);Thevenin模型考慮了電池內(nèi)阻和電池的超電勢;PNGV模型計及電池歐姆內(nèi)阻、極化電阻、極化電容和開路電壓的變化;GNL模型對電池歐姆極化、電化學極化和濃差極化分別建模，并考慮自放電的影響和充放電引起的電池開路電壓的變化［11］。

1 鋰離子電池數(shù)學模型

從上面各種電池模型的分析可以看出，開路電壓、內(nèi)阻、自放電率是鋰離子電池的重要參數(shù)。在充電和放電時電池內(nèi)阻不同，在過充和過放時阻值更會發(fā)生明顯變化;由于電池充放電曲線不同，存在遲滯效應;同時電池還要考慮極化效應的影響。本文中構(gòu)建的鋰離子電池模型如圖1所示。圖中E為電池開路電壓;Rp為電池自放電電阻;Cpl為電池平行板容量;圖1中二極管表示充電和放電方向;Rd為放電時電池內(nèi)阻;Rdo為過放時電池增加的內(nèi)阻;Rc為充電時電池內(nèi)阻;Rco為過充時電池增加的內(nèi)阻;C1為因擴散作用而產(chǎn)生的電池極化電容;R1為電池極化電阻;C2為電池遲滯電容;R2為電池遲滯電阻。

圖1 中的電池模型可分為3個部分:第一部分為自放電電阻Rp;第二部分包括充放電內(nèi)阻、過充過放電內(nèi)阻和平行板電容Cpl;第三部分為由遲滯效應和極化效應形成的兩個RC網(wǎng)絡(luò)。

圖2為脈沖充電后電池的放電曲線，當充電結(jié)束時，電壓瞬時先降低后升高，Rc值與瞬態(tài)電壓降值有關(guān)，即

式中:U2和U3值如圖2中所示;I為充電時脈沖電流。放電時電池內(nèi)阻Rd也可以通過放電結(jié)束后瞬態(tài)電壓變化與Rd的關(guān)系求得，實際上Rc和Rd值與溫度有關(guān)，不同溫度下的值可以用同種方法測量得到。

當電池過充或者過放時，電池內(nèi)阻明顯增大，它們與正常充、放時內(nèi)阻之間的關(guān)系為

設(shè)圖1中兩個RC網(wǎng)絡(luò)的時間常數(shù)分別為τ1、τ2，τ1=R1C1、τ2=R2C2，兩個 RC 網(wǎng)絡(luò)有兩個工作狀態(tài):

(1)鋰離子電池斷開負載情況，對應于零輸入響應狀態(tài);

(2)鋰離子電池接通負載情況，對應于零狀態(tài)響應狀態(tài)。

設(shè)并聯(lián)電容C1和電阻R1兩端的電壓為u1，電流分別為iC1、iR1;并聯(lián)電容C2和電阻R2兩端的電壓為u2，電流分別為 iC2、iR2;主電路的電流為 i，則有

對式(6)應用基爾霍夫電壓定律，可得電路的微分方程為

從而得到電容C1上的零輸入響應電壓為

零輸入響應電流(R1C1網(wǎng)絡(luò)自放電電流)為

式(9)表明，在R1C1電路放電過程中，隨著時間的增長，電容電壓u1(t)從它的初始值Ul按指數(shù)規(guī)律逐漸下降，最后趨近于零。電流i(t)則從i(0－)=0跳變到i(0+)=Ul/R1，這是電容初始電壓Ul在換路后突然加到電阻R1上的結(jié)果。隨著電容電壓的逐漸下降，放電電流也按相同指數(shù)規(guī)律逐漸衰減直至為零。

電容C1值越大，電容中儲存的電荷越多，放電時間越長;電阻R1值越大，放電電流越小，放電時間也越長。因此，電容電壓和電流衰減的快慢，取決于C1和 R1的乘積，即 τ1。

由式(6)可得

此為t＞0時電路的輸入輸出方程，它為1階常系數(shù)線性非齊次微分方程，可得

電阻電流和電容電流可根據(jù)歐姆定律和基爾霍夫電流定律分別表示為

由于R1C1網(wǎng)絡(luò)和R2C2網(wǎng)絡(luò)的存在，平行板電容Cpl對電池模型的影響可以忽略。因此電池開路電壓和輸出端電壓uo(t)的關(guān)系為

放電時

充電時

采用能量法可算得電池荷電狀態(tài)的估算值為式中:Wbat為鋰離子電池額定能量;E(t)可由式(14)和式(15)求得。

2 鋰離子電池剩余容量預估分析

由于時間、溫度和循環(huán)周期等影響，電池壽命會縮短，容量會衰退，所以計算電池的剩余容量，估計電池壽命至關(guān)重要，其決定鋰離子電池作為動力電池在電動汽車中的使用年限［12－13］。

從試驗可知，當電池快速充放電時，電池SOC快速變化［14］;當電池長時間充放電時，SOC的變化范圍很大;在不同的SOC下，相同的變化量對電池容量退化的影響不同，換言之，SOC對容量退化的影響是非線性的，這些都對鋰離子電池剩余容量有較大影響。

本文中提出了一種鋰離子電池剩余容量估計方法，設(shè)電池容量退化因子為D(t)，則電池的剩余容量Cu為

式中:Ci為電池的初始容量。

D(t)與SOC之間的關(guān)系為

式中:SOC(t)為電池瞬時荷電狀態(tài)，按式(16)計算;s為退化因子系數(shù);k為壽命循環(huán)次數(shù);SOCref(t)為不同時刻的荷電狀態(tài)參考值，它是一個移動的窗口，實際上是電池在一定時間段內(nèi)SOC(t)的平均值;T為SOCref(t)荷電狀態(tài)參考的平均時間，本文中設(shè)為90s。

式(18)中的積分描述電池容量退化是不斷累積的過程，SOCref(t)描述電池所處的不同狀態(tài)，SOC(t)描述電池荷電狀態(tài)的變化，平方計算描述荷電狀態(tài)變化越劇烈對退化因子影響越大。

圖3為鋰離子電池SOC變化5%循環(huán)模型。電池SOC從SOCref(t)先充電1s，增加5%;然后保持1s;再放電1s，回至荷電狀態(tài)參考點。在該充放電狀態(tài)下，電池循環(huán)次數(shù)為k，可計算出退化因子系數(shù)s值為

3 測試結(jié)果

試驗采用330V、100A·h鋰離子電池，通過對電池數(shù)學模型的構(gòu)建和分析，根據(jù)測試得到的模型參數(shù)，測量輸出端電壓u0(t)和電流i，可算得開路電壓和SOC值。

圖4為鋰離子電池自放電曲線。可知鋰離子電池自放電率很小，在充電和放電時自放電率可忽略，只在靜置時考慮自放電率對荷電狀態(tài)的影響。

圖5為鋰離子電池充放電曲線。由圖5可見，充電曲線和放電曲線不同，因為充電和放電時的電阻不同。充放電時電池SOC在20%～80%時線性度較好，從電池使用壽命和容量的充分利用考慮，在電動汽車上實際使用時，SOC宜控制在20% ～90%范圍內(nèi)。

圖6為US06測試循環(huán)工況(圖7)下鋰離子電池瞬時SOC(t)和參考SOCref(t)測試曲線，SOC(t)曲線變化劇烈，SOCref(t)曲線變化較平緩。

圖8 為US06工況下鋰離子電池容量退化因子曲線。對照圖6～圖8可見，US06工況車速變化越快，SOC(t)變化越劇烈，對電池容量衰退影響越大;US06工況車速越平緩，SOC(t)與SOCref(t)越靠近，對電池容量衰退影響越小。

4 結(jié)束語

鋰離子電池具有能量密度大、單體電壓高、無記憶效應、維護量少和自放電率低等特點，研究構(gòu)建其數(shù)學模型，進行了完整的參數(shù)計算，得到了鋰離子電池安全運行的SOC范圍，有效彌補鋰離子電池過充過放能力差的缺點，并通過SOC估算其容量退化因子，為鋰離子電池在電動汽車中的使用奠定了基礎(chǔ)。

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