沈穎

摘 要： 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用熟知的結(jié)論提升新的結(jié)果，是一個(gè)受到廣泛關(guān)注的問(wèn)題。本文指出，教師要擺脫傳統(tǒng)的圈套式或標(biāo)簽式引導(dǎo)法，隨時(shí)準(zhǔn)備在學(xué)生活躍的思想中做好搭橋工作，教師要做學(xué)生創(chuàng)新活動(dòng)的腳手架。本文以一些幾何問(wèn)題為背景闡述這一主張。

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 創(chuàng)新活動(dòng) 幾何問(wèn)題

課前，教師對(duì)知識(shí)、范例，以及即將發(fā)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)、計(jì)劃達(dá)成的目標(biāo)都要預(yù)先進(jìn)行設(shè)想與勾畫，不言而喻，在把部分精力投入到教材的挖掘，在概念、例題、命題、習(xí)題上下工夫的同時(shí)，還要關(guān)注知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法及應(yīng)用價(jià)值.因此，課堂教學(xué)就具有較大的開放性，方法上具有高度的靈活性，思想上具有創(chuàng)新性.這需要老師恰當(dāng)?shù)貐⑴c、鼓勵(lì)、扶持，處理不好就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的教學(xué)行為。

①“圈套式”學(xué)習(xí)：教師精心設(shè)計(jì)一系列鋪墊性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究相關(guān)的結(jié)論，學(xué)生被老師牽著鼻子走，沒有內(nèi)需驅(qū)動(dòng)力，不能處理好被動(dòng)地聽、記與主動(dòng)地思考甚至是超前想象之間的關(guān)系.愛因斯坦曾說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要，后者僅僅是方法和實(shí)驗(yàn)過(guò)程，而前者則要找到問(wèn)題的關(guān)鍵和要害”.因此，應(yīng)使學(xué)生在探究中學(xué)會(huì)思考和提問(wèn)，在自主地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的同時(shí)，聚焦于各種重要的數(shù)學(xué)思想方法，開拓學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的能力，這才是教學(xué)的目的。

②“標(biāo)簽式”學(xué)習(xí)：教師先拋出問(wèn)題，讓學(xué)生獨(dú)立探究（或分組合作）.有的問(wèn)題超出了學(xué)生的認(rèn)知水平難以展開探究；或者流于形式，強(qiáng)行將學(xué)生分組并在規(guī)定時(shí)間內(nèi)討論，只是課堂上熱熱鬧鬧，缺乏真正意義上的數(shù)學(xué)思考.

另外，對(duì)課堂教學(xué)情景所作的預(yù)設(shè)和勾畫只是一個(gè)藍(lán)圖，它應(yīng)該是一個(gè)開放的系統(tǒng)而不是封閉的系統(tǒng).無(wú)論課前作出多么周密的設(shè)計(jì)和預(yù)測(cè)，總還存在很多不可預(yù)知的因素，因此，這種預(yù)設(shè)絕不是課堂教學(xué)中必須遵守的教條.教學(xué)中，要隨時(shí)調(diào)整課前的預(yù)設(shè)，即時(shí)創(chuàng)造，即興修改，創(chuàng)設(shè)出有利于學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)情景，這也是課堂學(xué)習(xí)情景的生成性.這種機(jī)不可失的“妙微心會(huì)”的靈感，錯(cuò)過(guò)了就不會(huì)再來(lái)，前進(jìn)一步也許就能帶來(lái)柳暗花明的新意境.

那么，如何體現(xiàn)老師在恰當(dāng)思維點(diǎn)的恰當(dāng)價(jià)值呢？美國(guó)心理學(xué)家Perkins和Salomon等研究認(rèn)為[1]：教師要幫助學(xué)生從他們先前經(jīng)驗(yàn)和新學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間找出聯(lián)系，進(jìn)行抽象概括從而激發(fā)創(chuàng)新思維活動(dòng)，這就是通常所說(shuō)的“搭橋”，搭橋過(guò)程一般有三種方式：

①要求學(xué)生找出解決問(wèn)題的方法，討論每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)；

②采用類比的方法檢查各個(gè)系統(tǒng)之間的相似點(diǎn)和不同點(diǎn)；

③要求學(xué)生將現(xiàn)有問(wèn)題應(yīng)用于其他情景.

老師通過(guò)搭橋，建立不同問(wèn)題相互聯(lián)系的通道，不斷創(chuàng)設(shè)思考問(wèn)題的新模式，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，為學(xué)生飛翔的思維護(hù)航，這就是西方教育界提倡的“活動(dòng)式腳手架”.

案例一：

【問(wèn)題】設(shè)D是正△P■P■P■及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)P■是△P■P■P■的中心，若集合S={P|∈D，|PP■|≤|PP■|，i=1，2，3}，則集合S表示的平面區(qū)域是（？搖？搖 ）

A.三角形區(qū)域 B.四邊形區(qū)域

C.五邊形區(qū)域 D.六邊形區(qū)域

答：D.

這是2009高考，北京卷（文）試題.如圖1，A、B、C、D、E、F為各邊三等分點(diǎn)，答案是集合S為六邊形ABCDEF及其內(nèi)部.此題屬于創(chuàng)新題型，結(jié)構(gòu)良好.學(xué)生在思考后，意猶未盡，明顯有種探索的沖動(dòng)，但一時(shí)又不知如何入手.老師充當(dāng)“腳手架”，給學(xué)生不斷“搭橋”，指明探索方向.

搭橋1：邊數(shù)上思考，增加邊數(shù)有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生給出新的問(wèn)題：

問(wèn)題1.設(shè)D是邊長(zhǎng)為a的正方形P■P■P■P■及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)P■是該正方形的中心，若集合S={P|P∈D，|PP■|≤|PP■|i=1，2，3，4}，則集合S表示的區(qū)域面積多少？

問(wèn)題進(jìn)了一步，并探索出答案■a■.似乎還有突破，接著學(xué)生給出一般性的問(wèn)題：

問(wèn)題2.設(shè)D是正n邊形P■P■…P■及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)P■是正n邊形P■P■…P■的中心，若集合S={P|P∈D，|PP■|≤|PP■|i=1，2，3，…n}，則集合S表示的平面區(qū)域的面積是多少？問(wèn)題具有了一般性，可喜可賀.可以看出集合S也是個(gè)正n邊形，但一般情況下，邊長(zhǎng)較難確定，要求面積的一般性公式思維受阻.

搭橋2：維度上思考，類比到空間能有什么結(jié)果？得到新問(wèn)題：

問(wèn)題3.設(shè)D是邊長(zhǎng)為a正四面體P■-P■P■P■及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)P■是該正四面體的中心，若集合S={P|P∈D，|PP■| ≤|PP■|，i=1，2，3，4}，則集合S表示的區(qū)域的體積是多少？

從維度上突破，類比到空間，探索出答案■a■，思維有了飛躍.更進(jìn)一步可以提出：

問(wèn)題4.設(shè)D是邊長(zhǎng)為a正方體P■P■P■P■-P■P■P■P■及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)P■是這個(gè)正方體的中心，若集合S={P|P∈D，|PP■|≤|PP■|，i=1，2，3，…8}，向正方體內(nèi)隨機(jī)拋放一點(diǎn)，則這點(diǎn)落在S中的概率是多少？學(xué)生探索出答案■，對(duì)老師來(lái)講這只是問(wèn)題的延伸，對(duì)學(xué)生來(lái)講這就是創(chuàng)新活動(dòng)，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程是非常重要的.

案例二：平面幾何與立體幾何的類比■

教材上的這些閱讀材料是正常教學(xué)內(nèi)容的延伸和補(bǔ)充，學(xué)生學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，不是簡(jiǎn)單地識(shí)記或了解，而是在提高學(xué)生自學(xué)能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的同時(shí)，進(jìn)行創(chuàng)新活動(dòng).筆者按照課前預(yù)設(shè)在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)課本內(nèi)容之后，激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，都躍躍欲試，有繼續(xù)探索的欲望，生成了新的學(xué)習(xí)情景.何不讓學(xué)生放手一搏呢？經(jīng)過(guò)老師的搭橋、點(diǎn)撥，學(xué)生得出了很多結(jié)果，現(xiàn)僅摘錄三角形到空間四面體的一些主要類比結(jié)果如下：

試圖將月牙定理（希波克拉底定理）類比到空間，一時(shí)沒發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的結(jié)果，留下缺憾美.從這個(gè)過(guò)程可以看出，中學(xué)生限于年齡和知識(shí)水平，他們的探索往往局限在科學(xué)數(shù)學(xué)的小“問(wèn)題”層面，對(duì)深層次的數(shù)學(xué)審美和數(shù)學(xué)文化方面的問(wèn)題很難觸及，更不要說(shuō)站在哲學(xué)的層面看待數(shù)學(xué).然而，將學(xué)生的一個(gè)個(gè)“幼稚”想法，盡情地發(fā)展為一個(gè)個(gè)“小碩果”，會(huì)使學(xué)生的思路更加開闊，知識(shí)更加厚重，對(duì)養(yǎng)成學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣有積極的推動(dòng)作用.

蔡元培先生說(shuō)：“教育是幫助被教育的人，給他發(fā)展自己的能力.”保護(hù)和發(fā)展學(xué)生的探索激情，及時(shí)“搭橋”和移動(dòng)“腳手架”，讓學(xué)生的思維持續(xù)飛翔，使之既有“水的靈動(dòng)”又有“山的沉穩(wěn)”，進(jìn)而“明明白白我的心”，這就是我們所希望的課堂教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

[1][美]David A.Sousa.天才腦與學(xué)習(xí)[M].“認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)與學(xué)習(xí)”國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室、腦與教育應(yīng)用研究中心譯.中國(guó)輕工業(yè)出版社，2005.2.

[2]單遵等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（必修2）[M].江蘇教育出版社（第四版），2012.6.