王 輝，王 江，郭 濤，王廣帥

(1．北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081;2．北京航天自動控制研究所，北京 100854)

0 引言

隨著智能彈藥及精確制導(dǎo)技術(shù)的快速發(fā)展，很多攻擊任務(wù)不僅要求精確命中，還對彈道末段的速度矢量角、攻角等提出了附加約束，如對裝甲目標(biāo)的越頂攻擊、對堅固掩體內(nèi)目標(biāo)的侵徹攻擊等，這均對精確導(dǎo)引技術(shù)提出了新的要求。

實際上，根據(jù)不同的任務(wù)需求，相關(guān)學(xué)者一直在研究各種具有針對性的制導(dǎo)律，并不斷探索新的制導(dǎo)律。其中，能量最優(yōu)制導(dǎo)律吸引的關(guān)注最多，工程應(yīng)用也最廣泛［1－3］。比例導(dǎo)引和彈道成型可認(rèn)為是能量最優(yōu)制導(dǎo)律的典型代表，相關(guān)研究也最深入［1－6］。比例導(dǎo)引的種類較多，如經(jīng)典比例導(dǎo)引、增強型比例導(dǎo)引［1－3］、分段式比例導(dǎo)引［7－8］等。彈道成型制導(dǎo)律的概念最早由Zarchan提出［1］，其提出的制導(dǎo)律也被稱為經(jīng)典彈道成型制導(dǎo)律。在Zarchan工作基礎(chǔ)上，Ben-Asher，Yaesh，Ryoo等對彈道成型的制導(dǎo)特性、剩余飛行時間(time-to-go)估算方法等進行了深入研究［5－6，9－10］。傳統(tǒng)的能量最優(yōu)制導(dǎo)律大都基于線性二次型最優(yōu)控制理論，以控制量的平方的積分最小為目標(biāo)函數(shù)，權(quán)函數(shù)取為常值1［1－2］。2006 年，Ryoo 和 Ohlmeyer等在研究角度控制問題時，引入導(dǎo)彈剩余飛行時間的冪函數(shù)，實現(xiàn)了彈道成型制導(dǎo)律的擴展，拓展了與此相關(guān)的制導(dǎo)律的研究范圍［4－5，10］。

本文在典型的能量最優(yōu)制導(dǎo)律基礎(chǔ)上，創(chuàng)新性地將制導(dǎo)律的2個特征根從有限的點/線擴展到幾乎所有的正實根，提出了制導(dǎo)律的逆最優(yōu)問題，闡述了逆最優(yōu)制導(dǎo)律中性能指標(biāo)加權(quán)矩陣的構(gòu)造、求解過程，并對不同特征根下的逆最優(yōu)制導(dǎo)律的制導(dǎo)特性進行了系統(tǒng)研究。

1 能量最優(yōu)制導(dǎo)律的常規(guī)形式

對地面靜止或慢速移動目標(biāo)，導(dǎo)彈和目標(biāo)的幾何關(guān)系如圖1所示，OXY表示地面坐標(biāo)系，M0表示導(dǎo)彈初始位置，LOS表示當(dāng)前彈目視線(line of sight)，LOS0表示初始彈目視線，LOSf表示終端攻擊時刻的彈目連線，(xt，yt)表示目標(biāo)位置。圖1中主要符號定義如表1所示，所有的角度定義逆時針為正，順時針為負。

圖1 彈目幾何關(guān)系Fig．1 Geometry of the missile and target

表1 主要符號定義Table 1 Definition of the main symbols

為便于后續(xù)的表述和推導(dǎo)，定義相對于終端彈目連線的縱向位置y和速度矢量角σ，初值分別為y0、σ0。由定義可知，σ、θ、θf的關(guān)系為

縱向位置 Y、y 與 θf、q 的關(guān)系為

根據(jù)圖1所示的彈目幾何關(guān)系，建立如下的運動方程:

當(dāng)忽略駕駛儀動力學(xué)時，導(dǎo)彈的加速度指令等于加速度響應(yīng)，即u(t)=a，u為控制量。為了對式(3)進行線性化，假設(shè)V是常值、σ為小角，這也是研究線性最優(yōu)制導(dǎo)律的2個常用假設(shè)［1－2］。這樣，經(jīng)線性化后，式(3)可表示為

其中，v=Vσ表示垂直于終端彈目連線的速度分量。

將式(4)寫成矩陣的形式:

式中 tf為導(dǎo)彈制導(dǎo)時間;x0為狀態(tài)初值;xf為狀態(tài)終值。

根據(jù)式(5)～式(7)和最優(yōu)控制理論，設(shè)定不同形式的權(quán)函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)，在不同的終端狀態(tài)約束下，則可得到不同的能量最優(yōu)制導(dǎo)律。如僅約束終端位置yf=0，不考慮終端約束權(quán)函數(shù)和狀態(tài)權(quán)函數(shù)，控制權(quán)函數(shù) R設(shè)為1，則得到傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律(CPNGL，classic proportional navigation guidance law)，權(quán)函數(shù)R設(shè)為1/(tf－t)n，n≥0，則得到擴展的比例導(dǎo)引律(EPNGL，extended proportional navigation guidance law);若同時約束yf=0，vf=0，則可分別得到傳統(tǒng)的/擴展的帶落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律(COGLIAC/EOGLIAC，classic optimal guidance law with impact angle constraint/extended optimal guidance law with impact angle constraint)。

表 2 給出了幾種典型的能量最優(yōu)制導(dǎo)律［1－2，4－5］。表2中，tgo=tf－t，表示導(dǎo)彈剩余飛行時間。對表2中帶落角約束的制導(dǎo)律，由于文中定義了相對于終端彈目連線的角度σ，終端角度約束θf隱式包含于制導(dǎo)律中;若將式(1)及線性化的式(2)帶入制導(dǎo)律中，則制導(dǎo)律可變換為直接含有終端角度約束θf的常規(guī)形式［1，4－6］。

2 逆最優(yōu)制導(dǎo)律的提出及其加權(quán)矩陣的構(gòu)造

2．1 最優(yōu)制導(dǎo)律的擴展及其逆最優(yōu)問題

表示成矩陣的形式:

其中，N(t)為線性時變的制導(dǎo)增益矩陣，即

表2 典型的能量最優(yōu)制導(dǎo)律Table 2 Typical energy optimal guidance laws

進一步，將式(8)表示成相對于地面坐標(biāo)系的微分方程形式，有

由式(11)可看出，制導(dǎo)律是否含有終端角度約束取決于N1、N2取值，當(dāng)N1=N2時(如PN)，則制導(dǎo)律自然地不包含終端角度約束。

令y=tgoλ，則式(8)可寫為 λ2－(N2+1)λ +N1=1，不妨再令方程的兩實根分別為 λ1、λ2(λ1＞ λ2)，則N1=λ1λ2，N2=λ1+λ2－1，此時式(8)又可表示成:

因 N1＞0，N2＞0，故 λ1λ2＞0，λ1+λ2－1 ＞ 0，即λ1＞0，λ2＞0，λ1+λ2＞1。根據(jù)表1中導(dǎo)航系數(shù)，容易得到典型最優(yōu)制導(dǎo)律特征根(Characteristic roots，CR)λ1、λ2間的對應(yīng)關(guān)系，如圖2所示，其中陰影區(qū)表示逆最優(yōu)制導(dǎo)律可能的特征根區(qū)域。

圖2 典型最優(yōu)制導(dǎo)律的特征根Fig．2 CR of the typical energy optimal guidance laws

在圖2中，前述幾種典型最優(yōu)制導(dǎo)律的特征根只占據(jù)了有限的點/線區(qū)域，而提出的逆最優(yōu)制導(dǎo)律極大地擴展了可能的特征根范圍?，F(xiàn)在的重點是能否找到合適的目標(biāo)函數(shù)J，使最優(yōu)制導(dǎo)律的形式滿足式(9)，這就是最優(yōu)制導(dǎo)律中的逆最優(yōu)問題［10］。相應(yīng)的，式(8)或式(12)稱為逆最優(yōu)制導(dǎo)律。

2．2 逆最優(yōu)制導(dǎo)問題中加權(quán)矩陣的構(gòu)造

為便于推導(dǎo)，將式(5)的狀態(tài)方程和式(9)的控制方程統(tǒng)一寫成如下形式:

式中 x為m×1維向量;u為控制量，由式(5)的標(biāo)量擴展為n×1維向量。

目標(biāo)函數(shù)J設(shè)為

式中 H為終端約束權(quán)矩陣;Q為狀態(tài)權(quán)矩陣;R為控制權(quán)矩陣;H、Q、R均為對稱矩陣。

對由方程(13)構(gòu)成的線性閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)，逆最優(yōu)問題就是找到矩陣A、B、N所需滿足的充分必要條件，確定矩陣H、Q和R并使式(14)的性能指標(biāo)最?。?0－11］。

對式(13)所示的最優(yōu)控制問題，其直接的最優(yōu)解N可由Riccati微分方程得到，即

式中 P為對稱矩陣。

式(16)的邊界條件為

為了使方程(16)的解P(t)存在并唯一，傳統(tǒng)的結(jié)論是要求H≥0，Q≥0，R ＞0，但文獻［10－11］指出，對方程(13)～(14)所示的系統(tǒng)，當(dāng)滿足一定條件時，Q≥0并不是必需的。

不加證明，給出定理1:對方程(13)所示的線性閉環(huán)系統(tǒng)，矩陣B、N在區(qū)間［t0，tf］上可微并具有確定的常量秩，則可構(gòu)造如式(14)所示的性能指標(biāo)函數(shù)，其中矩陣H、Q、R滿足如下條件:

對區(qū)間［t0，tf］上的任意時間t及任意初值x0，如果矩陣NB具有n個線性獨立的實特征向量且所有的特征向量均非正，且矩陣B、N的秩滿足:

則能保證性能指標(biāo)J的最小值J*≥0;

若矩陣B、N的秩滿足式(20):

則能保證J*＞0。

假設(shè)定理1條件都滿足，則可構(gòu)造性能指標(biāo)函數(shù)J的具體形式。首先構(gòu)造矩陣R=RT＞0使矩陣RNB是對稱的。已經(jīng)知道矩陣NB的特征向量是線性獨立的實向量，設(shè)矩陣V的列由BTNT的特征向量組成，則有如下表達式:

式中 U為BTNT特征值構(gòu)成的對角陣。

這樣，有定理2:假設(shè)矩陣NB具有n個線性獨立的實特征向量，對由式(22)給定的實矩陣R=RT＞0可使矩陣RNB是對稱的，即

其中，矩陣V的列選自矩陣BTNT的特征向量。

下面根據(jù)式(15)的結(jié)果來求解對稱矩陣P:

設(shè)W為滿足下列等式的任意n×m實矩陣，則

對比式(23)和式(24)可看出，－WTRN是式(23)中關(guān)于P的解，但－WTRN并不能保證P是對稱的。為了得到對稱的解，令

在式(25)兩邊同時左乘BT，得到

根據(jù)式(24)的結(jié)論，上式可簡寫為

又由于矩陣R=RT，(RNB)T=BTNTR=RNB，則上式可進一步簡化為

假設(shè)P是式(23)的任意實對稱矩陣解，聯(lián)立式(23)和式(26)，有

據(jù)此，可得式(15)的實對稱矩陣解P:

其中，Y為任意的實矩陣，滿足如下條件

當(dāng)矩陣NB的秩滿足式(19)的條件時，關(guān)于矩陣P有定理3:令矩陣R是實對稱的正定矩陣，RNB是對稱矩陣，如果rank(NB)=rank(N)，則滿足式(23)的實對稱矩陣P可由給定的矩陣R表示:

其中，矩陣Y滿足式(29)，符號*表示矩陣的Moore-Penrose廣義逆。

此外，矩陣H由H=P(tf)得到，矩陣Q由式(31)得到:

3 逆最優(yōu)制導(dǎo)律中加權(quán)矩陣的求解

3．1 逆最優(yōu)制導(dǎo)律對應(yīng)的加權(quán)矩陣求解

對由式(5)～式(7)和式(9)構(gòu)成的單輸入閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)，由于rank(NB)=rank(N)=rank(B)=1且矩陣NB的特征向量非正，滿足定理1的條件。由定理1中式(18)知，在性能指標(biāo)函數(shù)J中，矩陣H、Q可設(shè)為對稱的，矩陣R設(shè)為正的線性時變的標(biāo)量R(t)。由于NB也是標(biāo)量，由定理2知，每一個正的R(t)都能保證RNB是對稱的。根據(jù)式(29)可知，矩陣Y是對稱陣，且BTY=0，設(shè)矩陣Y的形式為

將Y帶入BTY=0中，有

上式表明y12=y22=0，則矩陣Y可表示為

其中，y11為任意實數(shù)。

對任意給定的R(t)，定理3給出了實對稱矩陣P的解。將矩陣Y、N、B以及標(biāo)量R(t)帶入式(30)中，求得矩陣P:

由于性能指標(biāo)J*對所有的初值x0和t0都大于0，因此矩陣P也應(yīng)為正定的，故要求y11＞0。為后續(xù)推導(dǎo)的方便，觀察式(33)，不妨令

這樣，矩陣P又可表示為

其中，Q的3個元素分別為

由于H=P(tf)，式(35)～式(38)即完成了逆最優(yōu)問題中加權(quán)矩陣的構(gòu)造。根據(jù)式(35)～式(38)，通過選取不同的η和R(t)，則可得到多組不同的［H，Q，R］。

3．2 加權(quán)矩陣求解的舉例說明

下面對上述結(jié)果舉例說明。不妨將R(t)取為表2中的形式，即

考慮矩陣Q的一種簡單情況，即Q為對角陣，則式(38)中q12=0。將上式的R(t)帶入q12，得

求解得

同時，η還需滿足條件η＞N21/N2，亦即

此時，矩陣P、Q分別為

由式(43)可看出，若進一步使Q=0，則相當(dāng)于在性能指標(biāo)式(14)中不考慮狀態(tài)約束。令式(43)中q11=q22=0，求得 N1、N2的值為

或

對比表2中的表達式可知，式(44(a))、式(44(b))的導(dǎo)航系數(shù)分別對應(yīng)EPNGL和EOGLIAC兩種制導(dǎo)律，此時，與式(44(a))、式(44(b))對應(yīng)的矩陣P分別為

觀察式(45(a))、式(45(b))可看出，只要 n＞－1，在末段時刻 tf處，P→∞;又由于 H=P(tf)，則 H可表示為

由前述的推導(dǎo)和分析可看出，對式(8)所述的制導(dǎo)律，通過選取合適的η和R(t)，任意大于零的導(dǎo)航系數(shù)N1、N2都可能是特定條件下的最優(yōu)結(jié)果。這樣，通過制導(dǎo)律中逆最優(yōu)問題的研究，再次拓展了最優(yōu)制導(dǎo)律的內(nèi)涵。

4 不同特征根下的制導(dǎo)律制導(dǎo)特性分析

4．1 特征根選擇

根據(jù)式(11)及 N1=λ1λ2，N2=λ1+λ2－1，相對地面坐標(biāo)系的逆最優(yōu)制導(dǎo)律可表示為

可進一步表示成以導(dǎo)引頭敏感的彈目視線角q、彈目視線角速率的形式:

其中，ac為加速度指令。

根據(jù)式(44)的結(jié)果，容易計算得到EPNGL和EOGLIAC對應(yīng)的特征根分別為λ1=n+3，λ2=1和λ1=n+3，λ2=n+2。

為研究不同特征根下的制導(dǎo)特性，并使研究具有代表性，特征根的選取如表3所示。其中，③、⑥分別對應(yīng)EPNGL和EOGLIAC。

表3 選取的典型特征根Table 3 Chosen value of CR

4．2 制導(dǎo)特性對比分析

引入一階駕駛儀動力學(xué)1/(Tgs+1)，研究制導(dǎo)律在特征根變化時(如表1所示)的制導(dǎo)特性。據(jù)式(49)所示的制導(dǎo)律，構(gòu)造圖3所示的制導(dǎo)系統(tǒng)模型，其中，初始方向誤差角 ε=5°，落角約束 θf= －45°，Tg=0．5 s，V=300 m/s．

圖3 制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig．3 Block diagram of guidance system

圖4～圖6分別為不同特征根作用下的彈道、彈道傾角及加速度曲線。為了使對比更直觀，圖6中沒有考慮駕駛儀動力學(xué)對加速度的影響。由圖4～圖6可看出，特征根的不同取值決定了制導(dǎo)律是否具有約束終端落角的能力;當(dāng)特征根取值靠近EOGLIAC的特征根時，所對應(yīng)的制導(dǎo)律對終端落角的約束也越嚴(yán)格，而當(dāng)特征根取值靠近EPNGL的特征根時，所對應(yīng)的制導(dǎo)律已經(jīng)完全失去了對落角的約束能力。

需要強調(diào)的是，盡管每一對可能的(λ1，λ2)取值都能找到最優(yōu)解釋，但這并不能保證其都能達到與EPNGL或EOGLIAC類似的制導(dǎo)性能，但特征根取值越靠近EPNGL或EOGLIAC，則所對應(yīng)的制導(dǎo)律特性與EPNGL或EOGLIAC也越接近。

圖4 不同特征根下的彈道對比曲線Fig．4 Comparison of the trajectories for different CR

圖5 不同特征根下的彈道傾角對比曲線Fig．5 Comparison of the flight path angles for different CR

圖6 不同特征根下的加速度對比曲線Fig．6 Comparison of the accelerations for different CR

圖7、圖8所示的不同特征根下的脫靶量和終端落角誤差曲線也直接印證了上述結(jié)論。

因此，盡管逆最優(yōu)制導(dǎo)律的提出將制導(dǎo)律的2個特征根(或?qū)Ш较禂?shù))從有限的點/線擴展到幾乎所有的正實根，但對任意選擇的一對特征根，并不能保證其一定具有與EPNGL、EOGLIAC等類似的制導(dǎo)性能，每一對特征根都需要精細的挑選和嚴(yán)格的考核，而以EPNGL、EOGLIAC等為典型代表的常規(guī)最優(yōu)制導(dǎo)律已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用，經(jīng)過了充分的工程檢驗，在這個意義上，EPNGL、EOGLIAC等還是工程最優(yōu)的。

圖7 不同特征根下的脫靶量對比曲線Fig．7 Comparison of the miss-distances for different CR

圖8 不同特征根下的終端角度誤差對比曲線Fig．8 Comparison of the terminal impact angle errors for different CR

5 結(jié)論

(1)通過建立相對于終端彈目連線的導(dǎo)彈運動方程，概括了典型的能量最優(yōu)制導(dǎo)律，分析了其特征根分布范圍。將制導(dǎo)律的2個特征根從有限的點/線擴展到幾乎所有的正實根，提出了制導(dǎo)律的逆最優(yōu)問題。詳細討論了逆最優(yōu)問題中性能指標(biāo)加權(quán)矩陣的構(gòu)造過程，給出了加權(quán)矩陣和Riccati矩陣的計算公式。通過將控制權(quán)矩陣選為time-to-go的負n次冪函數(shù)的形式，對加權(quán)矩陣的求解進行了舉例說明。

(2)選取了多組具有代表性的特征根，對不同特征根下制導(dǎo)律的制導(dǎo)特性進行了全面的仿真研究。研究結(jié)果表明，盡管每一對可能的特征根取值都能找到最優(yōu)解釋，但這并不能保證其都能達到與EPNL或EOGLIAC類似的制導(dǎo)性能，特征根取值越靠近EPNGL或EOGLIAC，則所對應(yīng)的制導(dǎo)律特性與EPNGL或EOGLIAC也越接近。但特征根的取值范圍要滿足哪些限制條件才能達到與EPNGL或EOGLIAC類似的性能，尚有待于后續(xù)進一步的研究。盡管如此，文中通過逆最優(yōu)問題的研究，拓展了最優(yōu)制導(dǎo)律的內(nèi)涵。

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