王志剛，李 偉，張 寧

(1．西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072;2．航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

0 引言

在空-空導(dǎo)彈火控系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中，需要通過大量的數(shù)值仿真得到發(fā)射包線。目前，國內(nèi)普遍采用龍格庫塔法對(duì)導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行數(shù)字計(jì)算，并將計(jì)算的大量彈道數(shù)據(jù)加載到火控計(jì)算機(jī)中，最后用多項(xiàng)式擬合方法進(jìn)行插值解算。該種方法求解直觀，易于掌握，但適用范圍受到很大限制，一旦改變導(dǎo)彈參數(shù)，軟件修改也非常麻煩。針對(duì)此類問題，國內(nèi)外眾多學(xué)者提出了快速模擬［1－2］方法，但該方法要求很高的仿真速度。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，當(dāng)前已能做到仿真時(shí)間達(dá)到導(dǎo)彈飛行時(shí)間的數(shù)十分之一甚至數(shù)百分之一，即所謂的超實(shí)時(shí)仿真。為了提高仿真速度，可通過數(shù)學(xué)模型及計(jì)算方法的簡化獲得。

“離散相似法”是將一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理，然后求得與它等價(jià)的離散化模型［3］。從20世紀(jì)80年代開始，國內(nèi)廣大學(xué)者就將離散相似法用于控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真中［4－7］。這些研究大多是基于連續(xù)的線性或弱非線性控制系統(tǒng)來進(jìn)行離散相似法的快速仿真研究，很少有將離散相似法用于非線性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)數(shù)字仿真中。本文在合理的簡化模型基礎(chǔ)上，提出了將離散相似法用于導(dǎo)彈數(shù)字仿真中的方案。

1 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型的建立與簡化

描述導(dǎo)彈詳細(xì)運(yùn)動(dòng)的方程共有16個(gè)［8］。顯然，用這樣一個(gè)高達(dá)16階的系統(tǒng)來描述導(dǎo)彈，對(duì)于快速仿真是不合適的。要進(jìn)行快速仿真，必須建立合理簡化的數(shù)學(xué)模型，它既要能真實(shí)地反映導(dǎo)彈的彈道特性，又要大量地簡化計(jì)算。因此，本文采用以瞬時(shí)平衡狀態(tài)下的升力、阻力和側(cè)向力為基礎(chǔ)的三自由度質(zhì)心運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，建立簡化的數(shù)學(xué)模型的假設(shè)條件:

(1)導(dǎo)彈具有彈體滾動(dòng)角穩(wěn)定系統(tǒng)，并且速度傾斜角為零;

(2)俯仰、偏航、滾動(dòng)通道之間是解耦的、無耦合;

(3)瞬時(shí)平衡狀態(tài)下的氣動(dòng)系數(shù)對(duì)攻角和側(cè)滑角的偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)。

基于上述假設(shè)條件，導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組可寫為

式中 v、θ、ψV分別為導(dǎo)彈的速度、彈道傾角與彈道偏角;x、y、z分別為導(dǎo)彈質(zhì)心位置坐標(biāo);m為質(zhì)量;g為重力加速度;P為推力;Xb、Xb、Zb分別為與平衡攻角αb和平衡側(cè)滑角βb對(duì)應(yīng)的平衡阻力、平衡升力、平衡側(cè)向力。

2 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型的時(shí)域離散化

連續(xù)系統(tǒng)等價(jià)的離散模型可通過2個(gè)途徑獲得:一是對(duì)傳遞函數(shù)作離散化處理的頻域離散相似模型;二是基于狀態(tài)方程離散化的時(shí)域離散相似模型。本文采用的是第二種處理方式。

2．1 模型離散化處理

從式(1)可看出，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程組是一組非線性方程，在用時(shí)域離散法前，需要對(duì)方程的形式進(jìn)行修改，把原方程變?yōu)樾稳缡?2)的狀態(tài)方程。

其中

對(duì)式(2)所示連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理后，可得到系統(tǒng)離散相似模型如式(7)所示:

2．2 速度方程

從式(7)可看出，模型輸出的速度是在慣性系下的投影。為了研究彈道的相關(guān)特性，往往更關(guān)心導(dǎo)彈速度的大小以及速度矢量在慣性系中的相對(duì)位置關(guān)系。因此，根據(jù)彈道坐標(biāo)系和慣性系之間的相對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系［8］，可得出如下表達(dá)式:

2．3 瞬時(shí)平衡關(guān)系方程

由于本文采用的是三自由度質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型，氣動(dòng)力的計(jì)算只能利用瞬時(shí)平衡狀態(tài)下的攻角αb和側(cè)滑角βb進(jìn)行解算。αb和βb可通過瞬時(shí)平衡關(guān)系得到:

式中 δyb、δzb為平衡舵偏角;為俯仰力矩系數(shù)對(duì)攻角偏導(dǎo)數(shù)為俯仰力矩系數(shù)對(duì)俯仰舵偏角偏導(dǎo)數(shù);為偏航力矩系數(shù)對(duì)側(cè)滑角偏導(dǎo)數(shù);為偏航力矩系數(shù)對(duì)偏航舵偏角偏導(dǎo)數(shù)。

2．4 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

假設(shè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)信息已知，目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)彈的位置矢量為 r，它在慣性坐標(biāo)系上可用(r，qε，qβ)表示

式中 r為彈目相對(duì)距離，rx=xt－x，ry=yt－y，rz=zt－z;xt、yt、zt為目標(biāo)質(zhì)心位置在慣性系下的投影;qε為視線高低角;qβ為視線方位角。

在導(dǎo)引律算法中，通常還需要彈目相對(duì)位置矢量r的速度信息，對(duì)式(13)進(jìn)行求導(dǎo):

2．5 制導(dǎo)控制方程

快速仿真計(jì)算時(shí)，采用比例導(dǎo)引律，其形式為

控制方程為

式中 δyb、δzb為平衡狀態(tài)下的等效偏航舵偏角和俯仰舵偏角;ny、nz為法向過載和橫向過載;knz= －0．1、kny=－0．1為控制系數(shù)。

3 算例

以AIM-120空-空導(dǎo)彈為對(duì)象，針對(duì)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)和S型機(jī)動(dòng)的2種情況，分別采用本文建立的離散仿真模型與當(dāng)前常用的快速仿真模型進(jìn)行對(duì)比。

3．1 算例1——變步長積分模型

為提高運(yùn)算速度，在計(jì)算過程中，部分文獻(xiàn)［9－10］采用變步長的方法。本節(jié)在導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程組式(1)的基礎(chǔ)上，以傳統(tǒng)模型［8］(基于龍格庫塔法的導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)仿真模型)的仿真結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，將變步長積分模型的仿真結(jié)果同其比較。2種模型采用相同的仿真條件，如表1所示。

為了更直觀地表現(xiàn)2種模型的差別，現(xiàn)給出2種模型彈道數(shù)據(jù)做差(變步長積分模型仿真數(shù)據(jù)減去傳統(tǒng)模型的仿真數(shù)據(jù))結(jié)果，如圖1、圖2所示。

3．2 算例2——?dú)鈩?dòng)系數(shù)擬合模型

利用傳統(tǒng)的插值算法對(duì)氣動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，雖能保證一定的精度，但會(huì)占用大量的計(jì)算機(jī)時(shí)和存貯單元，不能保證計(jì)算的快速性。因此，有些學(xué)者［11］從氣動(dòng)系數(shù)計(jì)算方法上著手來提高仿真速度?；谶@種想法，本節(jié)利用1stOPT擬合軟件，對(duì)氣動(dòng)系數(shù)進(jìn)行擬和得到相應(yīng)的計(jì)算解析式，并將其用于彈道仿真中。在使用擬合氣動(dòng)數(shù)據(jù)前，要將擬合數(shù)據(jù)同原始數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，判斷擬合誤差是否過大，如果過大，需要重新選擇擬合方法。限于篇幅，在此僅給出升力系數(shù)擬合結(jié)果同原始數(shù)據(jù)的對(duì)比。

表1 仿真條件Table 1 Simulation conditions

參考AIM-120空-空導(dǎo)彈外形參數(shù)，利用DATCOM軟件進(jìn)行氣動(dòng)計(jì)算，得到舵不偏轉(zhuǎn)情況下的升力系數(shù)，如表2所示。

圖1 算例1目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)情況下的對(duì)比曲線Fig．1 Comparison curves of target uniform motion of example 1

圖2 算例1目標(biāo)S型機(jī)動(dòng)情況下的對(duì)比曲線Fig．2 Comparison curves of target S-type motion of example 1

表2 原始升力系數(shù)數(shù)據(jù)Table 2 Original lift coefficient data

在原始升力系數(shù)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，擬和后得到的公式如式(17)所示:

其中，p1～p11為擬合參數(shù):

采用升力系數(shù)擬合公式(17)，計(jì)算出相應(yīng)的系數(shù)值，如表3所示。

表3 擬合升力系數(shù)數(shù)據(jù)Table 3 Fitting lift coefficient data

由表3可看出，攻角α=0時(shí)的擬合結(jié)果不滿足，升力系數(shù)也為0。因此，此處的擬合結(jié)果需要強(qiáng)行賦0。下面根據(jù)式(18)列出擬合公式解算結(jié)果與原始數(shù)據(jù)的誤差百分比，如圖3所示。

式中 Cy_nh為擬合結(jié)果;Cy0為原始數(shù)據(jù)。

圖3 升力系數(shù)誤差百分比Fig．3 Percentage error lift coefficient

由圖3可看出，擬合結(jié)果除了在Ma=1．2攻角為6°情況下的誤差絕對(duì)值超過10%外，其余結(jié)果均在±6%以內(nèi)，擬合結(jié)果具有較高精度。由于快速仿真的主要目的是研究導(dǎo)彈的彈道特性或計(jì)算攻擊區(qū)，而不是分析制導(dǎo)精度或?qū)楋w行穩(wěn)定性。因此，可將擬合結(jié)果應(yīng)用與彈道仿真。在使用擬合公式(17)時(shí)，還需要注意到在負(fù)攻角情況下，需要在Cy的基礎(chǔ)上加上負(fù)號(hào)。

參照導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程組(1)的模型以及表1所示仿真條件，給出氣動(dòng)系數(shù)擬合模型同傳統(tǒng)模型彈道數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果圖，如圖4、圖5所示。

圖4 算例2目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)情況下的對(duì)比曲線Fig．4 Comparison curves of target uniform motion of example 2

圖5 算例2目標(biāo)S型機(jī)動(dòng)情況下的對(duì)比曲線Fig．5 Comparison curves of target S-type motion of example 2

3．3 算例3——離散模型

參照第2節(jié)給出的離散仿真模型和表1所示仿真條件，給出離散模型同傳統(tǒng)模型的對(duì)比結(jié)果，如圖6、圖7所示。

圖6 算例3目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)情況下的對(duì)比曲線Fig．6 Comparison curves of target uniform motion of example 3

3．4 結(jié)果與分析

上述3個(gè)算例是在1臺(tái)內(nèi)存為2 GB、CPU主頻3．6 GHz的電腦上進(jìn)行仿真的，各種模型仿真相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)比如表4所示。

圖7 算例3目標(biāo)S型機(jī)動(dòng)情況下的對(duì)比曲線Fig．7 Comparison curves of target S-type motion of example 3

表4 彈道仿真相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)比Table 4 Related data comparison of trajectory simulation

從表4結(jié)果統(tǒng)計(jì)看，相同的仿真條件下，3種快速仿真模型都能滿足脫靶量小于12 m的要求，且降低了計(jì)算機(jī)時(shí)。

通過上述仿真結(jié)果可看出:

(1)采用變步長積分模型雖能提高計(jì)算速度，但對(duì)仿真精度帶來了一定的影響。從圖1可知，目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，變步長積分模型計(jì)算的各角度誤差在 ±0．1°以內(nèi);過載誤差在 ±0．5以內(nèi);y向和 z向位置誤差在－8～5 m之間;x向誤差最大達(dá)到了－50 m，這是由于攻角的誤差引起了阻力和升力的變化，進(jìn)而改變了導(dǎo)彈的射程。當(dāng)目標(biāo)做S型機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，采用變步長積分模型解算的各運(yùn)動(dòng)參數(shù)，雖然都保持在較小的范圍內(nèi)，但相比目標(biāo)勻速直線運(yùn)動(dòng)情況下的仿真數(shù)據(jù)誤差增大，特別是橫向運(yùn)動(dòng)參數(shù)呈現(xiàn)出發(fā)散趨勢(shì)。

(2)氣動(dòng)系數(shù)擬合模型是3種快速仿真模型中減少計(jì)算機(jī)時(shí)最有效的方法，但從計(jì)算精度來看，該模型并不能保證很高精度。特別是當(dāng)目標(biāo)做S型運(yùn)動(dòng)時(shí)，氣動(dòng)系數(shù)擬合模型計(jì)算的運(yùn)動(dòng)參數(shù)比另外兩種快速仿真模型誤差要大10～100倍?？梢?，氣動(dòng)擬合系數(shù)帶來的誤差即便很小，由于誤差積累的因素，仿真時(shí)間越長，對(duì)仿真的精度影響越大。

(3)從圖6、圖7可知，無論目標(biāo)做哪種運(yùn)動(dòng)，離散模型全程的彈道數(shù)據(jù)比傳統(tǒng)模型只有微小變化，基本可忽略。盡管離散模型相比其他2種快速仿真模型耗時(shí)略長，但能以較高精度復(fù)現(xiàn)原始彈道，更具可用性。

4 結(jié)論

(1)針對(duì)空-空導(dǎo)彈彈道仿真模型，本文基于離散相似法建立的離散模型合理可行，可作為空-空導(dǎo)彈快速仿真的一種有效方案。

(2)3種快速仿真方案相比，氣動(dòng)系數(shù)擬合模型計(jì)算速度最快，約為變步長積分模型和離散模型的2倍，但計(jì)算精度是三者中最差的。離散模型與快速積分模型計(jì)算速度較接近，但具有很高的計(jì)算精度。

(3)針對(duì)目標(biāo)做S型運(yùn)動(dòng)的情況，其他2種快速仿真模型運(yùn)動(dòng)參數(shù)出現(xiàn)較大誤差，側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù)甚至呈現(xiàn)出發(fā)散趨勢(shì)。本文所建離散模型對(duì)于這種高速機(jī)動(dòng)的目標(biāo)仍具有較強(qiáng)的適用性，能更好地適應(yīng)現(xiàn)代戰(zhàn)場要求，為載機(jī)提供更加有利的發(fā)射窗口，更好地完成作戰(zhàn)任務(wù)。

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