[摘 要] 本文主要講解中考?？嫉膱D形運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題中“面的平移”重疊部分的面積問(wèn)題. 本文提出了解決此類問(wèn)題的有效解法——時(shí)間軸分類法，用此方法解題的關(guān)鍵是找到各關(guān)鍵點(diǎn)的進(jìn)出“動(dòng)圖形”的時(shí)刻.

[關(guān)鍵詞] 定圖形；動(dòng)圖形；關(guān)鍵點(diǎn)；時(shí)間軸；運(yùn)動(dòng)

圖形運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題是數(shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)，也是中考的難點(diǎn)，更是考查學(xué)生綜合能力的關(guān)鍵題目. 初中數(shù)學(xué)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題可分為三大類：平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn). 平移又可細(xì)分為點(diǎn)的平移、線的平移和面（圖形）的平移；對(duì)稱可分為軸對(duì)稱和中心對(duì)稱. 如：

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近年來(lái)，運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中考查“重疊部分面積”的試題不計(jì)其數(shù)，但無(wú)論教師怎么講，學(xué)生怎么練，該類題的得分率都不高，原因是學(xué)生極易出現(xiàn)漏解. 那如何讓學(xué)生避免漏解呢？下面就“面的平移”中關(guān)于重疊部分的面積問(wèn)題（下面簡(jiǎn)稱為平移型面積問(wèn)題）進(jìn)行講解.

■ 難點(diǎn)分析

平移型面積問(wèn)題的難點(diǎn)有兩個(gè)：

一是分類，即判斷需要將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成幾種情況；

二是求解析式，即如何表示面積（實(shí)質(zhì)是如何表示線段的長(zhǎng)）.

本文只解決第一個(gè)難點(diǎn)——如何分類.

■ 類型分析

本文只研究?jī)蓚€(gè)圖形的平移問(wèn)題，我們先來(lái)明確幾個(gè)定義：

（1）動(dòng)圖形和定圖形：把平移的圖形稱為“動(dòng)圖形”，把另一個(gè)不動(dòng)的圖形稱為“定圖形”.

（2）平移方向：記為l.

（3）圖形的高：圖形在與平移方向l垂直的方向（記為l■）上的高.

例如：△ABC沿射線BC向右平移，則平移方向l與直線BC平行（如圖1所示），l■與直線BC垂直（如圖2所示）. 于是△ABC在l■方向上的高即為點(diǎn)A到BC的距離（線段AD的長(zhǎng)，如圖3所示）.

■ 關(guān)鍵點(diǎn)

關(guān)鍵點(diǎn)通常是指動(dòng)圖形的頂點(diǎn). 筆者將平移型面積問(wèn)題按兩個(gè)圖形高的大小分為三類：

（1）動(dòng)圖形和定圖形的高相等.

（2）動(dòng)圖形的高大于定圖形的高.

（3）動(dòng)圖形的高小于定圖形的高.

■ 解決方法———時(shí)間軸分類法

1. 類型一：動(dòng)圖形和定圖形的高相等

例1？搖 （2006重慶中考改編）如圖4所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC■D■和△BCD兩個(gè)三角形.將紙片△AC■D■沿直線DB方向以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移（點(diǎn)A，D■，D，B始終在同一直線上，初始位置時(shí)點(diǎn)D■與點(diǎn)D重合，點(diǎn)C■與點(diǎn)C重合），當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移. 設(shè)平移距離DD■為x，△AC■D■與△BCD重疊部分的面積為y，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍.

■？搖

如何分類呢？下面介紹時(shí)間軸分類的操作步驟：

（1）第一步，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)持續(xù)的時(shí)間，畫出時(shí)間軸.

根據(jù)“當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移”可求得運(yùn)動(dòng)持續(xù)的時(shí)間為10秒，可畫出時(shí)間軸，如圖5所示.

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（2）第二步，找出動(dòng)圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，求出每個(gè)點(diǎn)進(jìn)出定圖形的時(shí)間.

①動(dòng)圖形有三個(gè)頂點(diǎn)，即本題的關(guān)鍵點(diǎn)有三個(gè)，為點(diǎn)A，C■，D■.

②各關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)出定圖形的時(shí)刻如下表：

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（3）第三步，補(bǔ)全時(shí)間軸. 將第二步中求得的時(shí)刻畫到第一步的時(shí)間軸上，如圖6所示. 由圖6知時(shí)間軸被分成了兩部分，所以確定該運(yùn)動(dòng)過(guò)程將分兩種情況進(jìn)行討論.

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（4）第四步，畫出時(shí)間軸上各時(shí)刻對(duì)應(yīng)的圖形，如圖7、圖8、圖9所示（通常t=0都不畫）.

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（5）第五步，畫出介于第三步中每?jī)蓚€(gè)時(shí)刻之間（即時(shí)段）的任意時(shí)刻的圖形，如圖10和圖11所示.

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注：①自變量的取值范圍中，“=”前后都可以取.

②只有第五步的圖需要畫到解答過(guò)程中.

2. 類型二：動(dòng)圖形的高大于定圖形的高

例2 （2013廣東）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6；在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4■. 將這副直角三角板按圖12所示的位置擺放，即點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，邊BA與FD在同一條直線上.現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)BF=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出相應(yīng)的x的取值范圍.

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“不等高”的問(wèn)題如何解決呢？變不等高問(wèn)題為等高問(wèn)題，而其轉(zhuǎn)化的原則為“就低不就高”.

定圖形△ABC的高為AC的長(zhǎng)，動(dòng)圖形△DEF的高為DE的長(zhǎng)，根據(jù)“就低不就高”的原則，此時(shí)應(yīng)將動(dòng)圖形△BDE“變低”. 步驟如下：

（1）第一步，確定定圖形△ABC和動(dòng)圖形△DEF.

（2）第二步，根據(jù)平移方向，將“高”圖形變“低”，轉(zhuǎn)化成“等高模式”.

根據(jù)平移方向向上，確定左邊界為AB所在的直線l■，右邊界為直線l■（過(guò)點(diǎn)C作平移方向的平行線l■），則動(dòng)圖形夾在左、右邊界的梯形FDGH就和定圖形△ABC等高了，如圖13所示.

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于是可以看成定圖形△ABC和動(dòng)圖形梯形FDGH的平移過(guò)程，余下步驟就按例1的步驟進(jìn)行分類，主要步驟如下：

①畫出時(shí)間軸：如圖14所示.

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②列出時(shí)刻表（假定移動(dòng)的速度為每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度，在數(shù)值上，時(shí)間與BF的長(zhǎng)相等）：

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③補(bǔ)全時(shí)間軸，如圖15所示.

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④畫出各時(shí)刻的圖形，如圖16、圖17、圖18、圖19所示.

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⑤畫出各時(shí)段的圖形，如圖20、圖21、圖22所示.

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3.？搖類型三：動(dòng)圖形的高小于定圖形的高

此類問(wèn)題直接用例1的步驟完成即可. 下題是很多考生都沒(méi)能做對(duì)的題，你覺(jué)得應(yīng)該分幾種情況呢？

例3 （2012重慶中考改編）如圖23所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3. E為BC邊上一點(diǎn)，且BE=2，以BE為邊作正方形BEFG，頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上. 將正方形BEFG沿BC方向向右平移，記平移中的正方形BEFG為正方形B′EFG，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移.設(shè)平移的距離為x，正方形B′EFG與△ADC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

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分析 （1）列出時(shí)刻表（假定移動(dòng)的速度為每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度，在數(shù)值上，時(shí)間與平移距離x的值相等）：

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（2）畫出各時(shí)段的圖形，如圖24、圖25、圖26、圖27所示.

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■ 小結(jié)

本文所闡述的方法是將動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化，對(duì)于初中生學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有較強(qiáng)的輔助作用. 不過(guò)對(duì)于平移型面積問(wèn)題還有兩個(gè)圖形同為動(dòng)圖形、兩個(gè)圖形不同底等情況，在學(xué)習(xí)過(guò)程中也要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用和轉(zhuǎn)化.