李 萍

（陜西學(xué)前師范學(xué)院計(jì)算機(jī)系，陜西西安 710100）

考試是教學(xué)工作的重要環(huán)節(jié)，是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果和教學(xué)效果的主要手段。用科學(xué)的方法對(duì)學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行鑒定與考核，可以對(duì)教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行定量的評(píng)價(jià)與分析。本文從提高教學(xué)質(zhì)量出發(fā)，對(duì)學(xué)生考試成績(jī)分布作正態(tài)性檢驗(yàn)（質(zhì)量指標(biāo)之一），從而較準(zhǔn)確地評(píng)判考試的狀況，以期對(duì)改進(jìn)我們的教學(xué)工作提供參考。

1 成績(jī)正態(tài)分布檢驗(yàn)的意義

按照教育測(cè)量學(xué)的原理和考試系統(tǒng)的特征，對(duì)考試成績(jī)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)的意義主要有兩點(diǎn)［1］。一是許多重要的考試質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)［2］的計(jì)算都以成績(jī)服從正態(tài)分布為前提，例如在對(duì)考試成績(jī)及試題參數(shù)的統(tǒng)計(jì)過程中，使用的均值、方差等主要統(tǒng)計(jì)參數(shù)的估計(jì)和檢驗(yàn)，只適用于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的情況，因此在使用這些統(tǒng)計(jì)方法前，必須進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。二是用于對(duì)考試成績(jī)的解釋，不同的成績(jī)分布可以解釋為試題的難度分布情況和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，或者在不同類型的考試中可以解釋為教師的教學(xué)情況。

研究證實(shí)自然人群中個(gè)體智力分布特征為處于中等智力附近的個(gè)體數(shù)量較多，由中間向兩端（智力低下和智力超強(qiáng)）數(shù)量逐漸減少，從形態(tài)上看是一條單峰、對(duì)稱呈鐘形的分布曲線，該曲線符合統(tǒng)計(jì)學(xué)上的正態(tài)分布（normaldistribution）［3］。在教學(xué)過程中，教師如果按照課程的教學(xué)大綱和教學(xué)基本要求組織教材，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際選定適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，備好課，講好課，認(rèn)真地批改作業(yè)，那么學(xué)生成績(jī)應(yīng)受智力影響較大，則服從正態(tài)分布。同時(shí)成績(jī)的正態(tài)分布性也反映了試題的知識(shí)點(diǎn)全面，難易程度適中，學(xué)生對(duì)本門課程在知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力發(fā)展方面已達(dá)到基本教學(xué)目標(biāo)。因此，成績(jī)分布的正態(tài)性檢驗(yàn)可為教師提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)行政部門改進(jìn)教學(xué)管理提供科學(xué)依據(jù)。

學(xué)生總體學(xué)習(xí)成績(jī)分布有以下幾種情況：（1）正態(tài)分布：說明測(cè)試結(jié)果與學(xué)生的實(shí)際情況一致，試題的知識(shí)點(diǎn)全面，難易程度適中。（2）正偏態(tài)分布：說明試題難度偏高。（3）負(fù)偏態(tài)分布：說明試題難度偏低。（4）雙峰型分布：說明試題存在兩極分化現(xiàn)象，即難度偏高的和難度偏低的項(xiàng)目較多，而中等難度的項(xiàng)目偏少，項(xiàng)目難度的分布缺乏梯度，不夠合理。（5）平坡型分布：說明試題中各種難度的項(xiàng)目比例接近，梯度較大（如圖1）。

2 χ2檢驗(yàn)

成績(jī)是否服從正態(tài)分布通常采用直方圖描繪分?jǐn)?shù)分布曲線的方法大致地判斷，但沒有定量的標(biāo)準(zhǔn)。下面介紹一種簡(jiǎn)單實(shí)用的正態(tài)性檢驗(yàn)方法，擬合優(yōu)度的χ2檢驗(yàn)法［4］，從而可以對(duì)試題質(zhì)量進(jìn)行粗略的評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)質(zhì)量的定量分析。

圖1

χ2檢驗(yàn)是利用隨機(jī)樣本對(duì)總體分布與某種特定分布的擬合程度的檢驗(yàn)，也就是檢驗(yàn)觀測(cè)值與理論值（期望值）之間的緊密程度。當(dāng)我們研究n（n＞2）個(gè)事件時(shí)，可以測(cè)定n個(gè)觀測(cè)值與相應(yīng)的理論值之間的差異，為此而構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量稱為χ2統(tǒng)計(jì)量。χ2是1900年由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.Pearson提出的定理。該定理說明，當(dāng)樣本容量充分大時(shí)，樣本分成k類，每類實(shí)際出現(xiàn)的觀測(cè)頻數(shù)用f0表示，其理論頻數(shù)用fe表示，則統(tǒng)計(jì)量Σ（f0-fe）2／fe服從自由度為k-1的χ2分布。在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中，擬合優(yōu)度的χ2檢驗(yàn)法是檢驗(yàn)總體是否來自已知分布函數(shù)的常用方法，它的優(yōu)點(diǎn)在于不管總體分布函數(shù)是何類型，都可用此方法。

但是考試成績(jī)總體是一個(gè)很特殊的總體，用χ2的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法對(duì)其進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn)時(shí)存在明顯缺陷。例如，一批含有負(fù)值但有對(duì)稱性的數(shù)據(jù)，經(jīng)χ2檢驗(yàn)后也可被認(rèn)為服從正態(tài)分布，但它作為學(xué)生的考試成績(jī)就不具有實(shí)際意義。所以，對(duì)考試成績(jī)總體進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)時(shí)，僅按通常χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是不夠的。設(shè)學(xué)生成績(jī)總分為W，根據(jù)教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本原理，在正常的教學(xué)條件下，學(xué)生成績(jī)應(yīng)該服從均值為W＊70%，標(biāo)準(zhǔn)差為W＊10%的正態(tài)分布。因?yàn)榫岛蜆?biāo)準(zhǔn)差的值過低或過高，說明我們?cè)诮虒W(xué)過程中貫徹教學(xué)基本要求，組織課堂教學(xué)，課程考試等工作環(huán)節(jié)出現(xiàn)了較大的失誤，此時(shí)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)已失去應(yīng)有的實(shí)際意義。為了能反映在正常教學(xué)條件下，教和學(xué)的具體情況，找出教學(xué)過程中成功的經(jīng)驗(yàn)和存在的問題，在對(duì)考試成績(jī)這一特殊總體進(jìn)行χ2的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)時(shí)，合理服從正態(tài)分布的成績(jī)應(yīng)滿足以下條件：

Ⅱ 根據(jù)概率論中的3σ原則，標(biāo)準(zhǔn)差σ∈〔5，15〕

Ⅲ 按通常擬合優(yōu)度的χ2檢驗(yàn)法，檢驗(yàn)學(xué)生成績(jī)總體服從正態(tài)分布。

3 成績(jī)正態(tài)分布的χ2檢驗(yàn)

設(shè)x1，x2，…，xn是從學(xué)生成績(jī)總體中提取的樣本試卷，并把成績(jī)區(qū)間劃分為k個(gè)區(qū)間，即（0，t1），（t1，t2］，… ，（tk，W），從而全部n個(gè)樣本分成k組。用Vi表示x1，x2，…，xn落入第i段的個(gè)數(shù)（觀測(cè)頻數(shù)），（i＝1，2，…，k），Vi／n表示頻率。

判斷是否滿足條件ⅠⅡ，若不滿足則認(rèn)為成績(jī)不服從正態(tài)分布，若滿足則進(jìn)行以下步驟。

4 實(shí)例分析

隨機(jī)在某學(xué)校抽取了某年級(jí)某學(xué)期的多媒體技術(shù)基礎(chǔ)試卷，具體成績(jī)數(shù)據(jù)見表1。對(duì)其成績(jī)分布進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。

（1）計(jì)算樣本的均值和方差

結(jié)果滿足條件ⅠⅡ，可進(jìn)行χ2的擬合優(yōu)度性檢驗(yàn)。

（2）假設(shè)H ：成績(jī)總體Χ服從正態(tài)分布；H ：成績(jī)總體Χ不服從正態(tài)分布。其成績(jī)分組與2計(jì)算結(jié)果見表2。

表1 學(xué)生成績(jī)表

圖2 成績(jī)分布直方圖

說明：表2的第5欄是各組實(shí)上限對(duì)應(yīng)的左尾部面積比例，根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分Z查正態(tài)布表所得。表2的第6欄是從最低組算起，0.0212直接來自第5欄，其他值由第5欄中上下相鄰兩組的表值相減得到。

（3）根據(jù)原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)作頻數(shù)直方圖如圖2。

經(jīng)由步驟（1）（2）（3）（4）知，這次多媒體技術(shù)基礎(chǔ)的成績(jī)服從“成績(jī)正態(tài)分布”。它反映了本期的教學(xué)活動(dòng)正常，教學(xué)措施有力，正確地貫徹了該課程教學(xué)大綱和教學(xué)基本要求，認(rèn)真進(jìn)行課堂教學(xué)，教學(xué)效果較好。

［1］王孝玲.教育測(cè)量學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

［2］張志英.教育統(tǒng)計(jì)學(xué)［M］.北京：中國財(cái)經(jīng)經(jīng)濟(jì)出版社，2002.

［3］［美］M.R斯皮格爾，J.希勒，R.A.斯里尼瓦桑.概率與統(tǒng)計(jì)［M］.2版.孫山澤，等譯.北京：科學(xué)出版社，2002.

［4］［美］斯皮格爾（Spiegel，M.R），等.統(tǒng)計(jì)學(xué)［M］.3版.楊記龍，等譯.北京：科學(xué)出版社，2002.