張震康

幾何作圖是幾何基礎(chǔ)知識(shí)的基本要求，而在初中幾何作圖中，最值問(wèn)題的作圖是比較困難的作圖，這類題型是歷年來(lái)中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，備受青睞，而這類題型比較貼近生活實(shí)際，創(chuàng)意新穎設(shè)計(jì)巧妙，很能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能考查學(xué)生的綜合能力，也正是因?yàn)榫C合知識(shí)的運(yùn)用，所以往往比較難以想到求作方法，如人教版八年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)探究題就是這類最值問(wèn)題。

課本探究題：如圖要在燃?xì)夤艿?上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道什么地方，可使所用輸氣管最短？（圖1）

我們可以把管道1近似看作一條直線，問(wèn)題就是在l上找一點(diǎn)C，使AC與CA的和最小，即在直線上確定一點(diǎn)，使它到直線同側(cè)兩點(diǎn)的距離這和最小，這是最常見(jiàn)的最值問(wèn)題，如圖2，課本是這樣處理的：

以1為對(duì)稱軸做A（或B）的對(duì)稱點(diǎn)A′（或B′），連結(jié)A′B（或AB′）？交l于C點(diǎn)？？，C即所求點(diǎn)

證明如圖3

為了證明點(diǎn)C的位置就是所求，我們不妨在直線1上另外取一點(diǎn)C′.連接AC′，BC′，A′C′.

因?yàn)橹本€l是點(diǎn)A、A′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，C′在L上，所以CA=CA′，C'A=C′A′.

AC+CB=A′C+CB=A′B

在AA′BC′中，

∵A'B

∴AC+CB

即AC+CB最小。

如果按照課本上方法直接去作圖，學(xué)生很難理解為什么這樣作圖，為什么這么點(diǎn)是最點(diǎn)。

但是稍作改動(dòng)，設(shè)想如果兩個(gè)點(diǎn)在管道的兩旁如下圖如何作圖？這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)單化了，很多同學(xué)都可以馬上回答：連接A、B兩點(diǎn)交l于C，點(diǎn)C即為所求。

為什么？那是因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短。

假如這兩個(gè)鎮(zhèn)在管道的同側(cè)呢，又如何確定這個(gè)泵站的位置？能否把A鎮(zhèn)或者B鎮(zhèn)移到管道的另一側(cè)去呢？如圖4.實(shí)際上可行嗎？那怎么辦？我們可以在圖上代表A、B鎮(zhèn)的點(diǎn)在圖上移動(dòng)，這樣的移動(dòng)要符合什么條件？使它到管道上每一點(diǎn)的距離與原址到管道的距離一樣，這時(shí)你聯(lián)想到什么？線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等，線段是關(guān)于線段垂直平分線軸對(duì)稱圖形，即這兩點(diǎn)關(guān)于直線L對(duì)稱，那么怎么作圖也就明白了，這樣作圖就容易多了，對(duì)課本的作法和證明方法也就自然而然地理解了。

這時(shí)要求學(xué)生自己動(dòng)手作點(diǎn)A或者點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)A′（或B′），然后連接A′B（或者AB′）交1于點(diǎn)C.（如圖5）問(wèn)題得到解決。