郭楚明

一、轉化為以線段長度或弧長為度量的幾何模型

例1 某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求乘客候車時間不超過6分鐘的概率.

分析 將間隔10分鐘看作長度為10的線段[T1T2]，乘客到達車站的時刻為線段[T1T2]上任意一點且到達每一點的可能性相等，則基本事件有無限多個，故這是幾何概型.

解 設上輛車于時刻[T1]到達，而下輛車于時刻[T2]到達，則線段[T1T2]的長度為10. 設[T]是線段[T1T2]上的點，且[TT2]的長為6，記“等車時間不超過6分鐘”為事件[A]，則事件[A]發(fā)生即當點[t]落在線段[TT2]上.由[D=T1T2=10]，[d=TT2=6]，[∴P（A）=dD=610=35.]故乘客候車時間不超過6分鐘的概率為[35.]

點撥 將以實際為背景且事件發(fā)生與區(qū)域長度有關的問題轉化為對應線段（或弧線）長度的比求解.

二、轉化為以平面圖形面積為度量的幾何模型

例2 在邊長為2的正[ΔABC]內任取一點[P]，則使點[P]到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是 .

分析 到[ΔABC]某一頂點距離小于1的區(qū)域為以該頂點為圓心，半徑為1的圓與[ΔABC]交出的扇形，由于該扇形內的點有無限多個，且每個點被取到的可能性相等，所以這是幾何概型問題.

解 以[A，B，C]為圓心，1為半徑作圓，與[ΔABC]交出扇形，當[P]落在三個扇形內時符合要求.

[∴p=3×（12×π3×12）34×22=36π].

點撥 將事件發(fā)生與區(qū)域面積有關的實際問題，轉化為平面圖形對應面積的比求解.

三、轉化為以二維平面區(qū)域面積為度量的幾何模型

例3 甲、乙兩艘輪船都要?？客粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達.甲、乙兩船?？坎次坏臅r間分別為4小時與2小時，求有一艘船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率.

分析 甲、乙兩船分別到達的時間設為[x，y]，在坐標平面內，則滿足[0x24，0y24]的正方形中的任一點[（x，y）]就表示甲、乙兩船在一晝夜到達的時間. 即有一艘船停靠泊位時必須等待一段時間，須滿足[-2

解 甲比乙早到4小時內乙須等待，甲比乙晚到2小時內甲須等待。以[x]和[y]分別表示甲、乙兩船到達泊位的時間，則有一艘船?？坎次粫r須等待一段時間的等價條件為[-2

[∴P（A）=242-12×222-12×202242=67288.]

故有一艘?？坎次粫r必須等待一段時間的概率是[67288.]

點撥 將兩艘船分別到達的時間用[x]，[y]表示，注意“必須等待”即指[-2

四、轉化為以空間圖形體積為度量的幾何模型

例4 一只小蜜峰在一個棱長為30的正方體玻璃容器內隨機飛行，若蜜峰在飛行過程中與正方體玻璃容器的6個表面中至少有一個的距離不大于10，則就有可能撞到玻璃上. 若始終保持與正方體玻璃容器的6個表面的距離均大于10，則飛行是安全的. 假設蜜蜂在正方體玻璃容器內飛行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率是 .

分析 將蜜蜂看作點，則蜜蜂所處的位置是正方體內的立體空間，在這個空間內的點是無限的，因此這個問題也是幾何概型問題.

解 記“蜜蜂能夠安全飛行”為事件[A]，則它位于與正方體玻璃容器6個表面的距離均大于10的區(qū)域飛行時是安全的，故[P（A）=103303=127].

點評 對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵要構造滿足條件的空間圖形，從而計算總空間的體積及事件發(fā)生空間的體積.

五、轉化為以角度為度量的幾何模型

例5 在[RtΔABC]中，[∠A=30°]，過直角頂點[C]作射線[CM]交線段[AB]于[M]，求使[|AM|>|AC|]的概率.

分析 因為過點[C]作射線是均勻的，因而把在[∠ACB]內作射線[CM]看作是等可能的，基本條件是射線[CM]落在[∠ACB]內任一處，使[|AM|>|AC|]的概率與[∠BCC]的大小有關，這符合幾何概型的條件.

解 設事件[D]為“作射線[CM]，使[|AM|>|AC|]”，在[AB]上取點[C]使[|AC=|AC|]，

因為[ΔACC]是等腰三角形，

所以[∠ACC=180°-30°2=75°，]

[∴μA=90°-75°=15°]，[μΩ=90°. ]

[∴P（D）=15°90°=16].

點評 要特別注意“過直角頂點[C]作射線[CM]交線段[AB]于[M]”這句話，由此確定測度是角度，不要與“在線段[AB]上任取一點[M]，作射線[CM]”相混淆，這兩個問題的基本事件的形成條件是不同的.

1. 拉練行軍中，某人從甲地到乙地共走了500m，途中涉水橫穿過一條寬為[xm]的河流，該人不小心把一件物品遺落在途中，若物品遺落在河里則找不到，否則可以找到.已知找到該物品的概率為[45]，則河寬為（ ）

A. 40m B. 50m

C. 80m D. 100m

2. 某人向一圓內投鏢，如果他每次都投入圓內，那么他投中內接正方形區(qū)域的概率為 .

3.在區(qū)間[0，1]上任取兩個數(shù)[a，b]，則函數(shù)[f（x）=x2+ax+b2]無零點的概率為（ ）

A. [12] B. [23] C. [34] D. [14]

4. 在棱長為2的正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，點[O]為底面[ABCD]的中心，在正方體[ABCD-A1B1C1D1]內隨機取一點[P]，則點[P]到點[O]的距離大于1的概率為 .

5. 在直角坐標系[xOy]內，射線[OT]與[x]軸正半軸構成[∠xOT=60°]，任作一條射線[OA]，求射線落在[∠xOT]內的概率為 .

1. D 2. [2π] 3. C 4. [1-π12] 5. [16]