趙春祥

一、在不等式中的應(yīng)用

例1 已知函數(shù)[y=mx2+43x+nx2+1]的最大值為7，最小值為-1，求此函數(shù)的表達(dá)式.

分析 求函數(shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)[m，n]的值.

解 將函數(shù)式變形：[（y-m）x2-43x+（y-n）][=0]，

∵[x∈R]，∴[△=（-43）2-4（y-m）（y-n）0]，

即[y2-（m+n）y+（mn-12）0]. ①

要使函數(shù)有最大值7，最小值-1，即[-1y7]，

顯然[（y+1）（y-7）0]，即[y2-6y-70]. ②

比較①②的系數(shù)得方程組：

[m+n=6，mn-12=-7.][?][m=5，n=1，] 或[m=1，n=5.]

故所求函數(shù)的表達(dá)式為：[y=5x2+43x+1x2+1]或[y=x2+43x+5x2+1].

點(diǎn)撥 從上述求解過程可以看出，待定系數(shù)法可以整體使用已知條件，簡化運(yùn)算過程，避免出錯.

二、在數(shù)列中的應(yīng)用

例2 是否存在這樣的等差數(shù)列[{an}]，使它的首項(xiàng)為1，公差不為零，且其前[3n]項(xiàng)中，前[n]項(xiàng)的和與其后[2n]項(xiàng)的和的比值對于任意自然數(shù)都等于常數(shù)？若存在求出數(shù)列[{an}]的通項(xiàng)公式及該常數(shù)；若不存在，說明理由.

解析 設(shè)存在這樣的等差數(shù)列[{an}]，其公差為[d]，前[n]項(xiàng)的和記為[Sn]，則其后[2n]項(xiàng)的和為[S3n-Sn].

記[SnS3n - Sn]=[λ] （[λ]為常數(shù)），將其變形得，

（[λ]+ 1） [Sn ]=[λ][S3n ]. ①

將[Sn=n2[2+（n-1）d]]和[S3n =3n2[2+（3n-1）d] ]代入①，化簡整理得，

[d（1-8λ）n+2-4λ+（2λ-1）d=0]. ②

要使②成為恒等式的充要條件是

[d（1-8λ） = 0 ，2-4λ + （2λ-1）d= 0 . ]

∵[d≠0]，∴[λ]=[18]，[d=2].

所以存在這樣的等差數(shù)列[{an}]，其通項(xiàng)公式為[an=2n-1]，常數(shù)[λ]=[18].

點(diǎn)撥 有些數(shù)列問題，通過引入或研究一些尚待確定的系數(shù)來轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，經(jīng)過變形與比較，建立起含有待定字母系數(shù)的方程組，由此求出相應(yīng)字母系數(shù)的值，進(jìn)而使問題獲解.

三、在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例3 已知[f（θ）]=sin2[θ]+sin2（[θ]+[α]）+sin2（[θ]+[β]），其中[α]，[β]適合 0≤[α]<[β]≤[π]，試問 [α]，[β]取何值時，[f（θ）]的值恒為定值.

解析 [f（θ）=32]-[12[cos2θ+cos2（θ+α）]

[+cos2（θ+β）]]

=[32]-[12（1+cos2α+cos2β）cos2θ]

[+12（sin2α+sin2β）sin2θ]，

∵[f（θ）]恒為定值，即[f（θ）]的值與[θ]無關(guān)，

∴[1+cos2α+cos2β =0， sin2α+sin2β = 0，]

[?1+ cos2α=-cos2β， ① sin2α =-sin2β， ②]

①②式兩邊平方相加可得，cos2[α]=[-12]，

∵0<2[α]<2[π]，∴2[α]=[2π3]或2[α]=[4π3]，

∴[α]=[π3]或[α]=[2π3].

代入到②式可得，[β]=[π3]或[β]=[2π3].

又[α]<[β]，故[α]=[π3]， [β]=[2π3].

點(diǎn)撥 對恒為定值的三角函數(shù)求參問題，可以通過分離主變量，再視主變量的系數(shù)為零，求出參數(shù)值.

四、在平面向量中的應(yīng)用

例4 一直線經(jīng)過[△OAB]的重心[G]，分別交邊[OA，OB]于點(diǎn)[P，Q]，若[OP=xOA]，[OQ=yOB]，[x，y∈R]. 求證：[x+y=3xy].

證明 延長[OG]交[AB]于[M]，則[M]為[AB]的中點(diǎn).

一方面，[OG=23OM=13OA+13OB]，

另一方面，由[P，G，Q]共線，設(shè)[PQ=λGQ]，則

[OG=11 + λOP][+λ1 + λOQ][=x1 + λOA][+λy1 + λOB，]

∵[OA]與[OB]不共線，

∴由平面向量基本定理得，[x1 + λ = 13 ，λ y1 + λ = 13 .]

[?][11 + λ = 13x ，λ1 + λ = 13y .][?][13x]+[13y]= 1，

∴[x+y=3xy].

點(diǎn)撥 平面向量基本定理中的有關(guān)問題，實(shí)質(zhì)均與待定系數(shù)法有關(guān).

五、在圓錐曲線中的應(yīng)用

例5 求經(jīng)過兩點(diǎn)[P1]（[13]，[13]），[P2]（0，-[12]）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析 方法一 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)位置不確定，故可考慮兩種情形：

（1）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)[x]軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2a2+y2b2=1 （a>b>0）].

依題意知，[（13）2a2+（13）2b2=1，（-12）2b2=1.][?][a2=15，b2=14.]

∵[a2=15]<[b2=14]，∴此方程無解.

（2）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)[y]軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[y2a2+x2b2=1 （a>b>0）].

依題意知，[（13）2a2+（13）2b2=1，（-12）2a2=1.][?][a2=14，b2=15.]

故所求橢圓的方程為[4y2+5x2=1].

方法二 設(shè)所求橢圓的方程為[Ay2+Bx2=1] [（A>0，B>0）]. 依題意可得，

[A（13）2+B（13）2=1，B（-12）2=1.][?A=5，B=4.]

故所求橢圓的方程為[4y2+5x2=1].

點(diǎn)撥 確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面. “定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；“定量”則是指確定[a2]，[b2]的具體位置，常用待定系數(shù)法.

六、在數(shù)列極限中的應(yīng)用

例6 已知數(shù)列[{an}]是首項(xiàng)為1，公差為[d]的等差數(shù)列，其前[n]項(xiàng)的和為[An]，[{bn}]是首項(xiàng)為1，公比為[q（|q|<1）]的等比數(shù)列，其前[n]項(xiàng)的和為[Bn]，設(shè)[Sn]=[B1+B2+…+Bn]，若[limn→∞]（[A nn]-[Sn]）=1，求[d]和[q]的值.

解析 ∵[Bn]=[1 - qn1 - q]，

∴[Sn]=[n1 - q]-[11 - q][（q+q2+…+qn）]

=[n1 - q]-[q（1 - qn）（1 - q）2].

又[A nn]= 1+[n - 12d]，

∴[limn→∞]（[A nn]-[Sn]） =[limn→∞][1-[d2]+[q（1 - q）2]+（[d2]-[11 - q）n]-[ qn + 1（1 - q）2]] = 1.

∵[|q|<1]，[limn→∞qn]=0，

∴[1 - d2 + q（1 - q）2 = 1 ，d2 - 11 - q = 0 . ][?][d = 4，q = 12 . ]

即[d=4]，[q=12]為所求.

點(diǎn)撥 逆向極限的求參問題，從已知的極限入手，運(yùn)用待定系數(shù)法，構(gòu)建參數(shù)的方程組，通過解方程組求得問題的解.