林光傳

摘 要：研究高考題，我們通常會分析它的命題意圖，然后尋找課本中的原題。希望從課本例題的變式，探究，推廣認識課本例習題應該如何有效的教學。本文試圖完整展現一道平面向量考題的命制背景和意圖、解析建議和反思。

關鍵詞：數學命題；有效教學；反思

一、命題背景和意圖

本題是蒼南縣2010屆高三第一次模擬考試理科數學選擇題中考查平面向量的問題。為此，我參考了2009年各省市關于平面向量的高考試題。在2009年浙江省理科數學高考卷中，與平面向量有直接關系的題目有兩個。

（7）設向量a，b滿足︱a︱=3，︱b︱=4， =0.以a，b，a-b的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為（ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（18）（本題滿分14分）在中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，且滿足=，.=3.

（Ⅰ）求的面積；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值。

可見“平面向量”由于具有“數”與“形”的二重性，故而高考考查空間更具廣闊性，并且常常與其他知識點進行交匯考查. 平面向量的考查熱點在兩個方面：一是向量基本概念、基本運算；二是向量的工具性，即運用向量知識解決平面幾何、解析幾何、三角函數等的簡單問題.一般來說，選擇、填空題重在考查平面向量的概念、數量積及其運算律，解答題重在考查平面向量的綜合應用，并且常與平面解析幾何、三角函數、立體幾何、數列等結合起來考查.因此，對平面向量的復習應立足基礎，強化運算，重視應用；同時，強化數形結合思想.

因為要命制選擇題，我又參考了近4年浙江省高考選擇填空題中考查平面向量的問題及其命題意圖和解析。

1. （2006浙江13）設向量a，b，c滿足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若

|a|=1，則|a|2+|b|2+|c|2的值是_________.

2.（2007浙江7）若非零向量a，b滿足，則（ C ）

A. B.

C. D.

3.（2008浙江9）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ C ）

（A）1 （B）2 （C） （D）

4.（2009浙江卷文）已知向量，.若向量c滿足，，則 c=（ ）

A. B. C. D.

由這幾個考題可見向量的模能夠很好的考查向量的數量積、幾何意義和坐標運算。能引導學生從“數、量和運算”發(fā)展的角度理解“向量”。聯系課本必修4教材的例題和習題中發(fā)現，也有很多問題與這些考題相關，如2.3.4平面向量共線的坐標表示，例8，習題2.3 B組第4題，習題2.4A組第3題，B組第2題，復習參考題A組第5、13題，B組第2題，等等。

為此，我希望命制一個基礎選擇題，能夠連結課本例習題和高考題，同時可以一題多解。試圖由一個問題就能輻射復習平面向量的基本運算和幾何意義，提高復習的有效性，也能體現教學和復習回歸課本的重要性。命制的問題如下：

7.已知平面向量與的夾角，且，若，則 的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

二、考題解析建議

一個問題的分析應當能夠結合高考要求和教材要求，滲透本知識點對學生發(fā)展的基礎要求，同時培養(yǎng)學生基本的解題方法和能力技巧。

分析一、

結合余弦函數的單調性，，，故 。

利用是求向量的模的基本方法之一，結合三角函數使本題更具張力。

分析二、可知，A、B、P三點共線，且點P是線段AB靠近點B的三等分點。簡圖如右，由余弦定理并結合選擇題的特性，可得。

分析三、如右簡圖建立平面直角坐標系，可知點A（3，0），點B在圓弧上運動。

方案一、設點B（x，y），由得點P（），所以，故

方案二、設點B（），

由得點P（），所以，故

分析二和分析三，運用了平面向量的幾何意義，體現了數形結合思想和運用坐標運算處理平面向量問題，使得向量的研究更加深入。

拓展思考1、若改為，的取值范圍？點P的軌跡方程？

拓展思考2、若，的取值范圍？點P在哪些位置取得最值，為什么？

三、命題反思

問題對數學的重要性不言而喻，哈爾莫斯說問題是數學的心臟，華羅庚也曾說過：“對一個問題的本質不了解，就是碰上機會也是枉然。入寶山而空手回，原因在此”。波利亞還出版專著《怎樣解題》試圖揭示解數學題的一般規(guī)律。有鑒于此，命制的數學題應當體現某一方面的基本要求，并且努力讓學生了解問題的本質，以后碰上機會不至于空手而回。所以我認為一個好的數學題至少有兩個功能，即考查功能和教學功能?？疾楣δ苤饕鞔_考什么，教什么和學什么。教學功能主要明確怎么考，怎么教和怎么學。

（一）對命題過程的反思。首先，明確命題意圖。充分學習《考試說明》和《學科教學指導意見》的內容和要求，結合教材要求和課本例習題，并研究相應的高考題，明確高考備考的方向。向量是數學中的重要概念，它作為一種基本的數學工具，在三角、解析幾何、立體幾何、復數以及物理學中的力、速度、加速度、位移等相關內容中有著廣泛的應用。復習中要把知識點、訓練目標有機結合起來，重點掌握有關概念、性質、運算公式、法則等，正確掌握這些基本知識是學好本章的關鍵，而且要將它與其它知識，如曲線、數列、函數、三角等知識綜合運用，以體現向量的工具性。其次，適當控制難度，不人為拔高。平面向量在高考選擇題中畢竟是一個中等偏于容易的問題，所以能體現基礎要求就可以了。人為的設置障礙，說明在命題時受單純知識觀的主導，只考核學生知識掌握的準確度，卻忽視了命題的能力立意。第三，不避陳題。近4年浙江省平面向量都與向量的模有關。新課程下，課堂教學改革的方向在“新”與“活”上強調太多，體現在命題上，以新題、活題為標準，其實很多好的陳題有同樣甚至能更好地為教學診斷提供科學的依據。第四、盡量一題多解。在分析問題時能充分聯系，以點帶面的復習，能變式教學，由淺入深，淺入深出。第五，命題后的反思。命制一個好題，需要多做題、多看題和多研究題，尤其是課本的例習題和近年的高考題，許多高考題可以在教材中找到原題，即由課本中的例題、習題引申，變化而來的。這些題目考查的都是現行高中教材中最基本且最重要的數學知識，所用到的方法也是通性通法，淡化了特殊技巧。既體現了高考的公平公正，也對中學數學教學和復習回歸教材，重視基礎起到了良好的導向作用。

（二）對課本例習題、命題和高考題關系的反思。我用下圖表表示三者的關系。命題是連接課本例習題和高考題的橋梁，當然這里的命題可以是我們自己原創(chuàng)，也可以是別人的題目的選擇和改編。

（三）命題促進課本例習題有效教學的反思。知識點往往是孤立地分階段進行教學的，所以課本的例習題也往往是針對所學知識點而設計的，很少出現像高考題那樣縱橫聯系的綜合題。這就導致例習題與高考題之間的跨度太大，所以有人說就算你把課本的題目都弄懂了在高考中也不能得高分。目前在教學中，我們大多是選擇別人的題目，自己改編的很少，原創(chuàng)的題目就更少了。這樣做雖然能使視野更加開闊，但是卻未必最適合自己學生的實際情況，也就未必是最有效的，同時減緩了教師自身的發(fā)展。新課程明確指出，數學教學應培養(yǎng)學生“不斷追求新知，獨立思考，會從數學的角度發(fā)現和提出問題”。對我們何嘗不是這樣的要求。

參考文獻：

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[3]李芳.平面向量復習導引.

[4]王建明. 數學課程改革中的向量背景分析.

[5]曹時武. 命題后的反思.