劉永紅

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；函數(shù)；單調(diào)性；證明；策略

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2013）05—0083—01

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具.用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)的基本方法，也是高考?？嫉幕炯寄?其步驟為：

1.任意取值：設(shè)x1，x2為區(qū)間D內(nèi)任意兩個(gè)值，且x1

2.作差變形：作差f（x1）-f（x2），并通過通分、因式分解、配方分析、有理化等方法，向有利于判斷差值符號(hào)的方向變形；

3.判斷定號(hào)：確定f（x1）-f（x2）的符號(hào).當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以考慮分類討論；

4.得出結(jié)論：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得出結(jié)論， 若f（x1）-f（x2）<0，則f（x2）為增函數(shù)；若f（x1）-f（x2）>0，則f（x2）為減函數(shù).

即“任意取值——作差變形——判斷定號(hào)——得出結(jié)論”.

其中變形是為了有利于判斷差值符號(hào)，是證明的難點(diǎn).本文結(jié)合學(xué)生在變形時(shí)的困難，探討利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的三種變形策略.

策略一：因式分解

因式分解是最常用的變形策略.若函數(shù)解析式是分式，通常變形時(shí)需要通分，將分子、分母都化成乘積的形式，并對(duì)各因式符號(hào)的判斷，來確定f（x1）-f（x2）的符號(hào)，進(jìn)而得出結(jié)論.

當(dāng)然，對(duì)于有些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的函數(shù)，還需要結(jié)合通分、因式分解、配方分析、分子（分母）有理化等多種策略進(jìn)行變形.