方俊 吳小平

摘要：本文筆者通過(guò)對(duì)機(jī)械原理與理論力學(xué)中運(yùn)動(dòng)學(xué)部分的比較，總結(jié)并反思了機(jī)械原理教材中對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題表述方式與求解方法中存在的缺陷；對(duì)機(jī)械系專業(yè)課程與基礎(chǔ)課程內(nèi)容的銜接以及教學(xué)方法的改革提出了自己的見(jiàn)解。

關(guān)鍵詞：機(jī)械原理；理論力學(xué)；運(yùn)動(dòng)學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）52-0096-02

普通高等工科院校機(jī)械類各專業(yè)所學(xué)的《機(jī)械原理》課程，內(nèi)容一般可以歸納為三個(gè)部分：機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)、機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)以及機(jī)器動(dòng)力學(xué)。而其中機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)部分，主要研究了機(jī)構(gòu)各點(diǎn)的軌跡、位移、速度、加速度的求法和機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這與《理論力學(xué)》中的運(yùn)動(dòng)學(xué)部分所研究的內(nèi)容是一致的。從課程間的關(guān)系上看，《機(jī)械原理》原本就是以《理論力學(xué)》[1]為基礎(chǔ)的，因此對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究方法和思想也應(yīng)該是一致的；但事實(shí)上，國(guó)內(nèi)大部分機(jī)械原理教材對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的求解方法與理論力學(xué)還是有一些區(qū)別的，下面我們將舉例詳細(xì)說(shuō)明。以組成移動(dòng)副的兩構(gòu)件重合點(diǎn)間的速度和加速度的求法為例，如圖1（a）中的四桿機(jī)構(gòu)，已知機(jī)構(gòu)的位置、各構(gòu)件長(zhǎng)度及構(gòu)件1的等角速度ω1，求構(gòu)件3的角速度ω3和角加速度ε3（為表述方便，所有符號(hào)以《機(jī)械原理》教材為準(zhǔn)[2]）。

一、從速度分析看相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理的不同描述

首先看《機(jī)械原理》對(duì)該問(wèn)題中相對(duì)運(yùn)動(dòng)的分析方法：圖1中構(gòu)件2和3組成移動(dòng)副，構(gòu)件2上的點(diǎn)B2與構(gòu)件3上的點(diǎn)B3為組成移動(dòng)副兩構(gòu)件的重合點(diǎn)，因此可以根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理列出相對(duì)速度和相對(duì)加速度矢量方程式。已知構(gòu)件1上B的速度為vB1=ω1lAB，方向垂直于AB且指向與ω1轉(zhuǎn)向一致；由于構(gòu)件1、2用轉(zhuǎn)動(dòng)副B相聯(lián)，因此vB1=vB2，構(gòu)件2、3組成移動(dòng)副，其重合點(diǎn)B的相對(duì)速度矢量方程式為：■=■+■（1）式中■為點(diǎn)B3相對(duì)于點(diǎn)B2的運(yùn)動(dòng)速度，該矢量等式中僅■與■的大小未知，故可畫(huà)出速度多邊形，如圖1（b）所示。接下來(lái)通過(guò)解三角形或者按速度比例尺作圖便可求出■的大小，進(jìn)而解得構(gòu)件3的角速度ω3?？梢钥闯觯@種方法是以B2為參考點(diǎn)所列出的速度矢量方程，用《理論力學(xué)》中點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)理論來(lái)解釋，就是以B3為動(dòng)點(diǎn)，并將動(dòng)系固結(jié)在構(gòu)件2上，此時(shí)的點(diǎn)B2實(shí)際上就是牽連運(yùn)動(dòng)中與動(dòng)系固結(jié)的“牽連點(diǎn)”，因此■就是牽連速度■，■相對(duì)速度■，■則是絕對(duì)速度■，這就滿足了點(diǎn)的速度合成定理■=■+■。但是理論力學(xué)在解決該類問(wèn)題的時(shí)候，更習(xí)慣于以B2為動(dòng)點(diǎn)，將動(dòng)系固結(jié)到構(gòu)件3上。這樣做的優(yōu)點(diǎn)，不僅絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中動(dòng)點(diǎn)的速度和軌跡比較容易確定，而且牽連運(yùn)動(dòng)的形式也更容易判斷（動(dòng)系作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)），牽連點(diǎn)則是任意時(shí)刻BC桿上與B2重合的點(diǎn)，該瞬時(shí)就是點(diǎn)B3。此時(shí)的速度矢量方程可以寫(xiě)成：■=■+■（2）式中■為動(dòng)點(diǎn)B2相對(duì)于牽連點(diǎn)B3的運(yùn)動(dòng)速度，即相對(duì)速度■，此時(shí)速度合成示意圖如圖1（c）所示。由此可以看出，用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)思想去描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，思路更為清晰，更容易被接受。

二、從加速度分析看圖解法與投影法解矢量方程的區(qū)別

接下來(lái)我們看《機(jī)械原理》對(duì)該問(wèn)題中加速度的分析，為保持前后一致，在這里同樣以B2為參考點(diǎn)列出加速度矢量方程：■=■+■+■由于點(diǎn)B3作曲線運(yùn)動(dòng)，因此加速度■+■=■，故原式可以寫(xiě)成：■+■=■+■+■（3）式中■和■分別是點(diǎn)B3的法向和切向加速度，這部分是絕對(duì)加速度■；■ 是牽連點(diǎn)B2的法向加速度，即牽連加速度■；■為點(diǎn)B3相對(duì)于B2的加速度，即相對(duì)加速度■（由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)，因此只有一個(gè)加速度分量）；■為科氏加速度，它是由于動(dòng)系發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的。該矢量等式中已知各矢量的方向和大小如下表所示。

從表中可以看出，上面的矢量方程式中只有■和■的大小未知，其他參數(shù)均為已知，因此該方程可解。下面我們用兩種方法來(lái)求解這個(gè)矢量方程。

1.圖解法。《機(jī)械原理》教材中一般都是用圖解法來(lái)求解矢量方程，如圖2（a）所示，從任意極點(diǎn)π連續(xù)作矢量πb2'和b2'k'分別代表■和■，其加速度比例尺μa=aB2/πb'2（m/s2/mm）；再過(guò)點(diǎn)π作矢量πb3''代表■，然后過(guò)點(diǎn)k'作直線 k'b'3平行于線段CB3代表■的方向線，并過(guò)點(diǎn)b''3作直線b3''b3'垂直于線段CB3，代表■的方向線，它們相交于b'3，則矢量πb3'便代表■。通過(guò)測(cè)量與計(jì)算可以求得構(gòu)件3的角加速度為：ε3=atB3/lCB=μab''3b'3/μ1CB3，

2.投影法。《理論力學(xué)》在求解矢量方程時(shí)，當(dāng)方程中矢量的個(gè)數(shù)超過(guò)3個(gè)，一般都采用投影法，將矢量等式轉(zhuǎn)化為標(biāo)量等式后求解。如圖2（b）所示，首先將矢量方程中的所有矢量移到同一點(diǎn)，由于■和■大小未知，無(wú)法確定其指向（正負(fù)），可以先按圖中假設(shè)的方向處理。想要求出構(gòu)件3的角加速度ε3，只需要解出■的大小即可，下面將該矢量方程向BC的垂線方向投影（如圖中紅色虛線所示），轉(zhuǎn)化后的代數(shù)方程如下：0+■=aB2cosθ-ak■+0 （4）式中θ為■與投影軸的夾角?？梢钥闯觯摲匠讨话粗獢?shù)at■而不含另一個(gè)未知數(shù)ar■，因此可以直接求出所需的結(jié)果：ε3=■=■=■（5）從上面這個(gè)例子我們可以看出，兩種方法求解矢量方程各有優(yōu)劣：圖解法求解結(jié)構(gòu)的位置、速度和加速度較為形象直觀，但作圖煩瑣，精度較低；投影法所得的結(jié)果是解析解，不僅能滿足精度要求，而且能反應(yīng)各參量之間的函數(shù)關(guān)系，但是在投影轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的時(shí)候可能會(huì)出現(xiàn)多元方程組，增加求解難度，如果合理選擇投影軸，就可以減少方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

三、結(jié)論

1.《機(jī)械原理》與《理論力學(xué)》在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析上采用了不同的方法，對(duì)一般學(xué)生來(lái)說(shuō)，不能起到舉一反三的作用，反而容易發(fā)生概念混淆；只有將機(jī)械原理教材對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的求解方法與理論力學(xué)一致起來(lái)，才能做到從基礎(chǔ)到應(yīng)用的一致性；

2.《機(jī)械原理》中的圖解法雖然較為直觀，但思想方法與表述上都跟理論力學(xué)有一定的差別，且作圖比較煩瑣、精度差，對(duì)復(fù)雜機(jī)械分析時(shí)尤為困難。在計(jì)算機(jī)不發(fā)達(dá)的過(guò)去，不失為一種較為便捷的求解矢量方程的方法；但現(xiàn)如今計(jì)算機(jī)應(yīng)用已經(jīng)相當(dāng)普遍，這就使得投影法成為一種更精確、更高效、更實(shí)用的求解方法。此外，當(dāng)機(jī)構(gòu)由二維擴(kuò)展到三維時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量方程就成為了空間矢量方程，這時(shí)候圖解法將不具備可操作性，而只能使用投影法進(jìn)行分析。由以上分析，我們認(rèn)為《機(jī)械原理》中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法必須跟《理論力學(xué)》中的對(duì)應(yīng)內(nèi)容保持一致。在分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，可以把圖解法、矢量投影法、和計(jì)算機(jī)求解等知識(shí)一并納入教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)同一內(nèi)容有更加深刻全面的認(rèn)識(shí)，從而使獨(dú)立分析問(wèn)題的能力大大增強(qiáng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)Ⅰ[M].第七版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]王華坤.機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[M].南京理工大學(xué)，2000.

作者簡(jiǎn)介：方?。?986-），男，江蘇南通人，南京理工大學(xué)紫金學(xué)院助教，碩士，主要從事專業(yè)教學(xué)及有限元分析、力學(xué)分析、熱固耦合等方面的研究工作。