李東豐

反例因其簡明、直觀、說服力強等突出特點，決定了它在教學中起著不可替代的作用.恰當?shù)剡\用反例進行教學，引導學生從反面去思考問題，將有助于學生數(shù)學素養(yǎng)的提高，使教學達到事半功倍的效果. 下面，筆者結合自己的教學實踐，就反例的概念、基本類型、應用時注意的問題談幾點體會.

一、什么是反例

用命題形式給出的一個數(shù)學問題，要判斷它是錯誤的，只要舉出一個滿足命題的條件，但結論不成立的例子，就足以否定這個命題，這樣的例子就是通常意義下的反例. 學會構造反例不僅對加深記憶，深入理解定義、定理或公式等起著重要的作用，同時它也是糾正錯誤的常用方法，是培養(yǎng)逆向思維能力的重要手段.

二、反例的基本類型

反例概念的產生與數(shù)學命題的結構密切相關，因此，數(shù)學上的反例可分為以下幾種類型：

1. 基本形式反例

數(shù)學命題有以下四種基本形式：全稱肯定判斷，全稱否定判斷，特稱肯定判斷，特稱否定判斷. 全稱肯定判斷（所有S都是P）與特稱否定判斷（有S不是P）可以互為反例，全稱否定判斷（所有S都不是P）與特稱肯定判斷（有S是P）也可以互為反例.

2. 關于充分條件假言判斷與必要條件假言判斷的反例

充分條件的假言判斷是斷定某事物情況是另一事物情況充分條件的假言判斷，可表述為p→q，即“有前者，必有后者”，但是“沒有前者，不一定沒有后者. ”可舉反例“沒有前者，卻有后者”說明之. 這種反例稱關于充分條件假言判斷的反例.

必要條件的假言判斷是斷定某事物情況是另一事物情況必要條件的假言判斷，可表述為p←q，即“沒有前者，就沒有后者”，但是“有了前者，不一定有后者”. 可舉反例“有了前者，沒有后者”說明之.

3. 條件變化型反例

數(shù)學命題的條件改變時，結論不一定正確. 為了說明這一點所舉出的反例稱作條件變化型反例. 條件變化有多種，有減少條件，有增加條件，有變化條件，考查這幾種情況下結論的變化，對數(shù)學科學研究與教學均是有益的.

三、實施反例教學要注意的問題

1. 注意反例教學的引入

根據學生年齡、生理及心理特征，以及所學知識結構的不完整性，有時還不具備獨立系統(tǒng)的推理論證的能力，思維受到一定的局限，考慮問題可能還會不夠全面，在教學過程中要注意反例教學引入的合理性和可行性.

2. 注意反例教學的構建

教師在進行教學時，不但要適當?shù)厥褂梅蠢?，更重要的是要善于引導學生構建反例，這實際上是為學生創(chuàng)設了一種探索情境，又由于在通常情況下，許多反例的構建不是唯一的，這就需要學生對所學知識有深刻、透徹的理解，并調動他們全部的數(shù)學功底，充分展開想象，因此，構建反例的過程也是學生思維發(fā)揮和訓練的過程.

例如，在講授“實數(shù)”一節(jié)時，我曾安排了這樣一個思考題：兩個無理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？學生們馬上舉出幾個反例，如π與-π，它們的和等于零，是有理數(shù). 這些反例的共同特征是：互為相反數(shù)的兩無理數(shù)和為有理數(shù).

在此問題的基礎上，教師可以進一步地追問：兩個無理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？兩個有理數(shù)的和或者積是否一定是有理數(shù)？一個無理數(shù)與一個有理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？一個無理數(shù)與一個有理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？通過對這些問題作更多更深入的研究，不僅可以培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性，還可以加深對有理數(shù)、無理數(shù)概念的理解，弄清有理數(shù)和無理數(shù)之間的關系.

這一事例說明教師在日常教學中，可經常選擇一些典型的數(shù)學知識或問題，通過創(chuàng)設問題情境，引導學生構建反例，引導學生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題，愛護、支持和鼓勵學生中的一切含有創(chuàng)造因素的思想和活動，從而提高學生的思維能力.

3. 注意反例教學的逐層深入性

在教學時，反例的構建要根據學生的認知發(fā)展水平和已有的知識結構逐層深入地進行，把某些難度較大的問題分解為一些小的梯度題.

例如，在教學“三角形全等的判定定理”時，學生在掌握基本的幾個判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS）后，教師可讓學生判斷：三個角對應相等的三角形全等；有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等. 三角對應相等的三角形全等的反例比較容易列舉，例如，三角板中的兩個三角形. 但是有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等的反例卻較難構建. 為了解決這個問題，教師可以先固定某些邊或者某些角對應相等以后再讓學生構建反例，步步深入，降低難度.

除此之外反例必須從教學實踐中來，要真實，生動.如果是教師自己編寫的也必須符合客觀實際；反例必須典型.反例要能代表概念性質對象的特點；反例必須要有針對性.應該針對所講的教學內容和教學實際和學生的接受能力來選擇和編排反例.

在初中數(shù)學教學中，恰當?shù)貞梅蠢M行教學，引導學生從反面去思考問題，將有助于數(shù)學教學質量的提高和學生數(shù)學素質的培養(yǎng). 只要教師在教學過程中合理地運用反例，適當?shù)貥嬙旆蠢?，就能使學生不斷地完善數(shù)學概念，提高分析、判斷問題的能力，從而達到事半功倍的教學效果.

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