秦振

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想方法，是各種考試的必考內(nèi)容.同學們在應用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想解題時，常常因為未掌握其思想方法的精髓，而出現(xiàn)問題，下面就大家在解題中出現(xiàn)的錯誤分類辨析如下，供參考.

一、構(gòu)建幾何模型不正確

例1 向面積為S的矩形ABCD內(nèi)任投一點P，試求△PBC的面積小于S4的概率.

錯解：如圖11所示，設△PBC的邊BC上的高為PF，線段PF所在的直線交AD于E，則當P點到底邊BC的距離小于12EF時，即0

分析：如圖12所示，P為矩形ABCD內(nèi)任投一點，△PBC的邊BC上的高PF為矩形ABCD內(nèi)任意線段，但滿足△PBC的面積小于S4，當△PBC的面積等于S4時，即12BC·PF=14BC·EF，所以PF=12EF.過點P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H.點P的軌跡是線段GH.滿足條件“△PBC的面積小于S4”的點P應該落在矩形區(qū)域GBCH內(nèi)，而不是△PBC內(nèi).錯因是沒有正確構(gòu)造出隨機事件對應的幾何圖形.

正解：如圖12所示，設△PBC的邊BC上的高為PF，線段PF所在直線交AD于E，

當△PBC的面積等于S4時，即12BC·PF=14BC·EF，所以PF=12EF.過點P作GH平行于BC交AB于G、交CD于H.

所以滿足S△PBC=S4的點P的軌跡是線段GH.所以滿足條件“△PBC的面積小于S4”的點P應該落在矩形區(qū)域GBCH內(nèi).設“△PBC的面積小于S4”為事件A，則A表示范圍是（0，S2），即構(gòu)成事件A的面積為S2，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積為S，所以由幾何概型求概率的公式，得P（A）=S2S=12.所以△PBC的面積小于S4的概率為12.

二、直觀代替推理

例2 設b>0，橢圓方程為x22b2+y2b2=1，拋物線方程為x2=8（y-b），如圖2所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1.

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體指出這些點的坐標）.

錯解：（1）橢圓方程和拋物線方程分別為x22+y2=1和x2=8（y-1）.

（2）因為過A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點P，所以以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個.同理，以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個.所以拋物線上存在兩個點使得△ABP為直角三角形.

分析：上述解法只從幾何直觀作出判斷，這樣有可能使得到的結(jié)果不全面而漏解.

正解：（1）略；

（2）因為過點A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點P，所以以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個.

同理，以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個.

若以∠APB為直角，設P點坐標為（x，18x2+1），A、B兩點的坐標分別為（-2，0），（2，0），PA·PB=x2-2+（18x2+1）2=164x4+54x2-1=0，因為關于x2的二次方程有一個大于零的解，所以x有兩解，即以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個.

故拋物線上存在四個點使得△ABP為直角三角形.

三、作圖失誤

例3 求方程x2=2x解的個數(shù).

錯解：設y=x2，y=2x，在同一坐標系中畫出它們的圖象，如圖21所示，觀察圖象可得y=x2，y=2x有兩個交點，所以方程x2=2x有兩個解.

辨析：顯然x=2和x=4都是方程的解，而圖31只有一個正解，其錯因是作圖不規(guī)范，造成漏解.

正解：設y=x2，y=2x，在同一坐標系中畫出它們的圖象，如圖32，觀察圖象可得y=x2，y=2x有3個交點，∴方程x2=2x有3個解.

四、轉(zhuǎn)化不等價

例4 求函數(shù)y=-1-4sinx1+2sinx的值域.

錯解：因為y=-1-4sinx1+2sinx=1-4sinx-1-2sinx，設點P的坐標為（-1，1），動點Q（2sinα，4sinα），根據(jù)題意-1-2sinα≠0，故sinα∈[-1，-12）∪（-12，1].所以Q點在線段y=2x（x∈[-2，-1）∪（-1，2]）上移動.求函數(shù)y=-1-4sinx1+2sinx的值域可轉(zhuǎn)化為求過定點P（-1，1）的直線與線段y=2x（x∈[-2，-1）∪（-1，2]）相交時，斜率k的取值范圍.如圖4所示.因為kPA=-4-1-2+1=5，kPB=4-12+1=1，所以1≤k≤5，即函數(shù)的值域為y∈[1，5].

分析：解題的思想方法沒有問題，但是在求k的范圍時，沒有考慮它的連續(xù)性和存在性.根據(jù)斜率的性質(zhì)，當Q點的橫坐標為-1時，斜率不存在，顯然以上結(jié)果不正確.

正解：根據(jù)題意，y=1-4sinx-1-2sinx=k，其中設點P的坐標為（-1，1），動點Q（2sinα，4sinα），根據(jù)題意-1-2sinα≠0，故sinα∈[-1，-12）∪（-12，1].所以Q點在線段AB：y=2x（x∈[-2，-1）∪（-1，2]）上移動.求函數(shù)y=-1-4sinx1+2sinx的值域可轉(zhuǎn)化為求過定點P（-1，1）的直線與線段AB相交時，斜率k的取值范圍.如圖4所示.

（1）當過點P的直線垂直于x軸與線段AB相交，k不存在；

（2）當k存在時，kPA≤k<+∞，-∞

故函數(shù)y=-1-4sinx1+2sinx的值域為y∈（-∞，1]∪[5，+∞）.

五、數(shù)形結(jié)合意識差

例5 求函數(shù)f（x）=x2+2x+5+x2-4x+8的最小值.

錯解：因為x2+2x+5=（x+1）2+4≥4，x2-4x+8=（x-2）2+4≥4，所以f（x）=（x+1）2+4+（x-2）2+4≥4+4=4，即函數(shù)的最小值為4.

分析：根據(jù)f（x）≥a，g（x）≥b.f（x）+g（x）≥a+b，當且僅當f（x）=a，g（x）=b.時，才有f（x）+g（x）=a+b.否則f（x）+g（x）>a+b.而此題不滿足條件，因此得到的結(jié)果不正確.如果數(shù)形結(jié)合意識比較強，構(gòu)建幾何模型解決就比較容易.

正解：因為f（x）=（x+1）2+（0-2）2+（x-2）2+（0+2）2表示為x軸上的動點P（x，0）到兩定點A（-1，2），B（2，-2）的距離之和，如圖5所示.因為A、B兩點在x軸兩側(cè)，

連結(jié)線段AB，|AB|的長就是函數(shù)的最小值.所以f（x）min=|AB|=（-1-2）2+[2-（-2）]2=5.

六、讀圖能力差

例6 已知電流I與時間t的關系為I=Asin（ωt+φ）.如圖6所示，是在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：

（1）I=Asin（ωt+φ）的解析式；（A>0，W>0，0<φ<π）

（2）如果t在任意一段1150秒的時間內(nèi)，電流I=Asin（ωt+φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？

錯解：（1）由題意可得A=300，T=2（1180+1900）=175，故ω=2πT=150π.又當t=1180時，I=0即sin（150π×1180+φ）=0，得φ=kπ-56π（k∈Z），故I=300sin（150πt+π6）或I=300sin（150πt-5π6）.

（2）根據(jù)題意得周期的一半T2≤1150，即πω≤1150（ω>0），所以ω≥150π>4>1.又ω是整數(shù)，故ω的最小正整數(shù)為472.

分析：（1）在求初相φ時，在將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的過程中，把圖象上一點坐標代入I=Asin（ωt+φ）中，可以得到關于φ的方程，但是在一個周期內(nèi)可求出兩個φ的值，導致無法取舍，所以取點時，取極值點可克服這一弊端.（2）題目給出的圖象是函數(shù)的“任意一段”，而錯解理解成“存在一段”，得到的結(jié)果就不一定正確了.

正解：（1）根據(jù)圖象可得A=300.令t1=-1900，t2=1180，則周期T=2（t1-t2）=2（1180+1900）=175.故ω=2πT=150π.又t=1180-19002=1450時，I=300.即sin（150π×1450+φ）=1，π3+φ=π2+2kπ（Q0<φ<π），所以φ=π6.故I=300sin（150πt+π6）.

（2）根據(jù)題意，周期T≤1150，即2πω≤1150（ω>0），所以ω≥300π>942，又ω是正整數(shù)，故ω的最小正整數(shù)為943.