函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)中極其重要、應(yīng)用廣泛、極具抽象性的一種數(shù)學(xué)思想，更是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)、觀念.填空、解答均頻繁考查，同學(xué)們往往一聽就懂，可常常一做就錯，所以多數(shù)同學(xué)都害怕函數(shù)題.

函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，其實有三方面的理解：一是函數(shù)的思想，二是方程的思想，三是函數(shù)與方程進行相互轉(zhuǎn)換的思想.

本文通過實例來闡述函數(shù)與方程思想的本質(zhì)，以期對同學(xué)們有所幫助.

一、函數(shù)的思想

函數(shù)的思想就是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，化難為易，最終解決問題.

例1 函數(shù)f（x）=x3+（a-1）x2-（a+1）x-a，若對a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）在（-∞，m）和（n，+∞）上都是增函數(shù)，求m，n的取值范圍.

分析：將導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2+2（a-1）x-（a+1）改寫成關(guān)于a的一次函數(shù)g（a）=（2x-1）a+（3x2-2x-1）是解決本題的關(guān)鍵.

解：∵f（x）=x3+（a-1）x2-（a+1）x-a，

∴f′（x）=3x2+2（a-1）x-（a+1）.

令g（a）=（2x-1）a+（3x2-2x-1），則

（1）當x=12時，g（a）=f′（x）=-54<0，不符題意，舍去.

（2）當x≠12時，要使g（a）=f′（x）=（2x-1）a+（3x2-2x-1）≥0，

對a∈[-1，1]恒成立，只需：

g（1）=（2x-1）+（3x2-2x-1）=3x2-2≥0g（-1）=-（2x-1）+（3x2-2x-1）=3x2-4x≥0，

解得x≥43或x≤-63.

又函數(shù)f（x）在（-∞，m）和（n，+∞）上都是增函數(shù)，

故m，n的取值范圍分別為n≥43，m≤-63.

點評：本例利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系將問題等價轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，從而使問題解決得很簡潔.

例2 求證：對于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

解：令f（x）=（ax+c）2+（bx+d）2=（a2+b2）x2+2（ac+bd）x+c2+d2，

則f（x）≥0對x∈R恒成立，

故Δ≤0，即[2（ac+bd）]2-4（a2+b2）（c2+d2）≤0，

即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

點評：此題方法較多，本文給出通過構(gòu)造函數(shù)的方法來解決.

二、方程的思想

方程的思想就是分析數(shù)學(xué)問題情境中變量之間的等量關(guān)系，通過建立（或構(gòu)造）方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，化生疏為熟悉，最終解決問題.

例3 已知二次函數(shù)y=f（x）在x=t+22處取得最小值-t24（t>0）且f（1）=0.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）若對x∈R，f（x）g（x）+anx+bn=xn+1（）恒成立，其中g(shù)（x）為多項式，n∈N.求an，bn（用t表示）.

解：（1）f（x）=x2-（t+2）x+t+1（過程略）.

（2）由f（x）=（x-t-1）（x-1），

又f（x）g（x）+anx+bn=xn+1對x∈R恒成立，將x=1，x=t+1代入（），

有an+bn=1，（t+1）an+bn=（t+1）n+1，

解得an=1t[（t+1）n+1-1]bn=t+1t[1-（t+1）n]

點評：本題充分抓住方程f（x）=0的兩根，代入（）構(gòu)造出關(guān)于an與bn的方程組是關(guān)鍵.

三、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程思想本質(zhì)是從變化的角度看方程中的數(shù)（或字母），則方程的一邊就是函數(shù)的表達式；從靜止的角度看函數(shù)中的變量，則函數(shù)式即可看作方程.應(yīng)用函數(shù)與方程的思想的要領(lǐng)是根據(jù)所給問題情境，構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)模型或者方程模型來解決問題.

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-12ax2-bx.

（1）已知f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程是y=2x-1，求實數(shù)a，b的值；

（2）在（1）的條件下，若方程f（x）=λx2（λ>0）有唯一實數(shù)解，求實數(shù)λ的值.

解：（1）當x=1時，y=1，所以f（1）=-12a-b=1.

因為f′（x）=1x-ax-b，即f′（1）=1-a-b=2，

所以a=0，b=-1.

（2）方法一 因為方程f（x）=λx2（λ>0）有唯一實數(shù)解，

所以λx2-lnx-x=0有唯一實數(shù)解.

設(shè)g（x）=λx2-lnx-x，則g′（x）=2λx2-x-1x.

令g′（x）=0，得2λx2-x-1=0.

因為λ>0，所以Δ=1+8λ>0，方程有兩異號根，設(shè)為x1<0，x2>0，

因為x>0，所以x1舍去.

當x∈（0，x2）時，g′（x）<0，g（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減；

當x∈（x2，+∞）時，g′（x）>0，g（x）在（x2，+∞）上單調(diào)遞增.

當x=x2時，g′（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）.

因為g（x）=0有唯一實數(shù)解，所以g（x2）=0.

則g（x2）=0g′（x2）=0，即λx22-lnx2-x2=02λx22-x2-1=0.

因為λ>0，所以2lnx2+x2-1=0.（）

設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1.因為當x>0時，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解.

因為h（1）=0，所以方程（）的解為x2=1，代人方程組解得λ=1.

方法二 因為方程f（x）=λx2（λ>0）有唯一實數(shù)解，

所以λx2-lnx-x=0有唯一實數(shù)解.

則λ=lnx+xx2（x>0）有唯一實數(shù)解，即y=λ與g（x）=lnx+xx2有且僅有一個交點.

由g′（x）=1-x-2lnxx3（x>0），

顯然g′（1）=0，當x∈（1，+∞）時，g′（x）<0，當x∈（0，1）時，g′（x）>0，

所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以g（x）max=g（1）=1，

由y=λ與g（x）=lnx+xx2有且僅有一個交點，故λ=1.

點評：方法一通過構(gòu)造新方程，研究方程根的情況，使問題獲得解決，而方法二通過把方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題.

（作者：顧錢睦，如皋市薛窯中學(xué)）