本刊試題研究組

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.

1.設(shè)集合A={x|x=5-4a+a2，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+2，b∈R}，則A，B的關(guān)系是 .

2.已知x∈R，i為虛數(shù)單位，若（1-2i）（x+i）=4-3i，則x的值等于 .

3.某路段屬于限速路段，規(guī)定通過該路段的汽車時速不得超過70km/h，否則視為違規(guī)扣分.某天，有1000輛汽車經(jīng)過了該路段，經(jīng)過雷達(dá)測速得到這些汽車運(yùn)行時速的頻率分布直方圖如圖所示，則違規(guī)扣分的汽車大約為 輛.

4.（1+tan10°）（1+tan12°）（1+tan33°）（1+tan35°）= .

5.某商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過500元，不享受任何折扣，如果顧客購物總金額超過500元，則超過500元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計計算：

可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率

不超過500元的部分5%

超過500元的部分10%

某人在此商場購物獲得的折扣金額為35元，則他購物實(shí)際所付金額為 元.

6.已知△ABC中，AB邊上的高與AB邊的長相等，則ACBC+BCAC+AB2BC·AC的最大值為 .

7.等腰Rt△ABC中，斜邊BC=42，一個橢圓以C為其中一個焦點(diǎn)，另一個焦點(diǎn)在線段AB上，且橢圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 .

8.點(diǎn)P在曲線y=x3-x+23上移動，在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是 .

9.已知點(diǎn)Q∈（x，y）x2+y2<8x+6y3x+4y>24，如果直線l：ax+y+2=0經(jīng)過點(diǎn)Q，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

10.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x+φ）（>0，-π2<φ<π2），給出以下四個論斷：

①它的圖像關(guān)于x=π12對稱；

②它的圖像關(guān)于點(diǎn)（π3，0）對稱；

③它的周期是π；

④在區(qū)間[-π6，0）上是增函數(shù).

以其中兩個論斷作為條件，余下論斷作為結(jié)論，寫出一個你認(rèn)為正確的命題： .

11.已知函數(shù)f（x）=|lg|x||，（x≠0）0，（x=0），則方程f2（x）-f（x）=0所有非零實(shí)根之積為 .

12.若數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=1，且an+1（an-1-an）=an-1（an-an+1）（n≥2），那么該數(shù)列的第10項為 .

13.P為半徑為1的圓外一點(diǎn)，過P引圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，則PA·PB的范圍為 .

14.已知函數(shù)f（x）=ax3-3x+1對于x∈（0，1]，總有f（x）≥0成立，則a的范圍為 .

二、解答題：本大題共6小題，共計90分.

15.（本小題滿分14分）

如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CC1上的點(diǎn)，且CE=14CC1.

（1）求三棱錐BAB1D的體積；

（2）求證：BE⊥平面ADB1.

16.（本小題滿分14分）

（1）已知p在[0，5]上隨機(jī)地取值，求方程x2+px+p4+12=0有實(shí)數(shù)根的概率.

（2）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b.設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|，函數(shù)g（x）=x-b，令F（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)F（x）有且只有一個零點(diǎn)的概率.

17.（本小題滿分15分）

某航模興趣小組的同學(xué)，為了測定在湖面上航模航行的速度，采用如下辦法：在岸邊設(shè)置兩個觀察點(diǎn)A、B，且AB=80米，

當(dāng)航模在C處時，測得∠ABC=105°和∠BAC=30°，經(jīng)過20秒后，航模直線航行到D處，測得∠BAD=90°和∠ABD=45°.請你根據(jù)以上條件求出航模的速度.（答案保留根號）

18.（本小題滿分15分）

已知數(shù)列{an}滿足an>0，a1=1，且3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0，n∈N.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5，…，a2na2n+1，求Tn；

（3）令bn=1an-1an（n≥2），b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn

19.（本小題滿分16分）

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=±4.如果直線l：3x-2y=0與橢圓的交點(diǎn)在x正半軸上的射影恰為橢圓的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線l與橢圓在第一象限的一個交點(diǎn)為P，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系；

（3）把（2）的情況作一推廣，提出如下問題：如果橢圓的方程是x2a2+y2b2=1（a>b>0），P是橢圓上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，試探究以PF長為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.

20.（本小題滿分16分）

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x-1x（x≥1），g（x）=2（x-1）-（x2+1）lnx（x≥1）.

（1）求證：f（x）和g（x）在[1，+∞）上均為減函數(shù)；

（2）設(shè)b>1，證明不等式：2b2+1

數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）

1.已知變換T把平面上的點(diǎn)A（2，0），B（3，1）分別變換成點(diǎn)A′（2，1），B′（3，2），試求變換T對應(yīng)的矩陣M.

2.經(jīng)過曲線C：x=3+3cosθ，y=3sinθ（θ為參數(shù)）的中心作直線l：x=3ty=3t（t為參數(shù)）的垂線，求中心到垂足的距離.

3.已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且滿足：a0=1，an+1=12an·（4-an），n∈N.

（1）求a1，a2；（2）證明an

4.（本小題滿分10分）

已知an=A1n+A2n+A3n+…+Ann（n∈N），當(dāng)n≥2時，求證：

（1）an-1+1=ann；

（2）（1+1a1）（1+1a2）（1+1a3）…（1+1an）≤3-1n.

參考答案

1. A=B； 2. 2； 3. 110； 4. 4； 5. 1065；

6. 22； 7. 6-3； 8. [0，π2）∪[3π4，π）；

9. （-∞，-14）； 10. ②③①④； 11. 1；12. 15； 13. [22-3，+∞）； 14. [4，+∞）.

15.（1）解：∵AB=AC=a，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，B1B=C1C=A1A=2a，CE=14CC1=a2.

∴S△ABD=12S△ABC=12（12AB·AC）=14a2，

∴VBAB1D=VB1ABD=13S△ABD·BB1=13·14a2·2a=16a3.

（2）證明：由AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

得AD⊥BC且B1B⊥平面ABC，則B1B⊥AD，從而AD⊥平面B1BCC1.

又BE平面B1BCC1，所以AD⊥BE.

由已知AB=AC=a，∠BAC=90°，得BC=2a.

在Rt△BB1D中，tan∠BB1D=BDBB1=12BCBB1=24.

在Rt△CBE中，tan∠CBE=CEBC=a22a=24.

于是∠BB1D=∠CBE，設(shè)EB∩DB1=G，

∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，

則DB1⊥BE.又AD∩DB1=D，

故BE⊥平面ADB1.

16.解：（1）由Δ=p2-4（p4+12）≥0得p≤-1或p≥2

又p∈[0，5]

∴p∈[2，5]

∴方程有實(shí)數(shù)根的概率為35.

（2）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，事件總數(shù)為6×6=36.

∵函數(shù)F（x）有且只有一個零點(diǎn)

∴函數(shù)f（x）=|x-a|與函數(shù)g（x）=x-b有且只有一個交點(diǎn)

所以b

∴滿足條件的情況有a=2，b=1；a=3，b=1，2；a=4，b=1，2，3；a=5，b=1，2，3，4；a=6，b=1，2，3，4，5.共1+2+3+4+5=15種情況.

∴函數(shù)F（x）有且只有一個零點(diǎn)的概率是1536=512

17.解法一：在△ABC中，∵∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠ADB=45°

∴AD=AB=80，∴BD=802

在△ABC中，BCsin30°=ABsin45°

∴BC=ABsin30°sin45°=80×1222=402

在△DBC中，∠CBD=∠ABC-∠ABD=105°-45°=60°，DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos60°=（802）2+（402）2-2×802×402×12=9600

∴DC=406

航模的速度V=40620=26（米/秒）

答：航模的速度為26（米/秒）.

解法二：在△ADC中，AD=80，△ABC中AC=40（1+3），∠DAC=60°

在△ACD中，DC2=AD2+AC2-2AD·ACcos60°=9600

∴DC=406

航模的速度V=40620=26（米/秒）

答：航模的速度為26（米/秒）.

解法三：如圖建立直角坐標(biāo)系，

則A（0，0），B（80，0），D（0，80）

由△ABC，AC=40（1+3），∴C（60+203，20+203）

∴DC=（60+203）2+（20+203-80）2=9600=406

航模的速度V=40620=26（米/秒）

答：航模的速度為26（米/秒）.

18.解：（1）由3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0，變形得（an+1+an）（an+1-an-23）=0，

又an>0，則an+1-an=23

∴{an}是以23為公差的等差數(shù)列

又a1=1，∴an=23n+13

（2）Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1

=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）

=-43（a2+a4+…+a2n）

=-43·n（53+4n3+13）2=-49（2n2+3n）

（3）當(dāng)n≥2時，bn=1an-1an=1（2n3-13）（2n3+13）=92（12n-1-12n+1）

又b1=3=92（1-13），

∴Sn=b1+b2+…+bn

=92（1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=92（1-12n+1）=9n2n+1

∴Sn

即9n2n+1

且9n2n+1<92.∴m-20042≥92，m≥2013.

∴最小正整數(shù)m=2013.

19.（1）設(shè)橢圓方程是x2a2+y2b2=1（a>b>0）.直線3x-2y=0與橢圓的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是（c，3c2）代入橢圓方程得：c2a2+9c24b2=1，又a2c=4，a2=b2+c2，可解得a=2，b=3，c=1.所以橢圓方程為x24+y23=1.

（2）由（1）知，直線3x-2y=0與橢圓的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，32），F(xiàn)（1，0），則以PF為直徑的圓的方程是（x-1）2+（y-34）2=916，圓心坐標(biāo)為（1，34），半徑為34.以橢圓長軸為直徑的圓的方程是x2+y2=4，圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為2.圓心距為54=2-34，所以兩圓內(nèi)切.

（3）設(shè)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，F(xiàn)′是橢圓的另一個焦點(diǎn)，則有|PF|+|PF′|=2a.以PF為直徑的圓的圓心是M，⊙M的半徑為12|PF|，⊙O半徑為a，兩圓圓心距為|OM|=12|PF′|=a-12|PF|，所以兩圓相切.

20.（1）因?yàn)閒′（x）=1x-x-（x-1）·12xx=-（x-1）22xx，

當(dāng)x∈[1，+∞）時，f′（x）≤0，且不恒為零，所以f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù).又g′（x）=-[2xlnx+（x-1）2x]，當(dāng)x∈[1，+∞）時，2xlnx≥0，（x-1）2x≥0，所以g′（x）≤0，且不恒為零，所以g（x）在[1，+∞）上為減函數(shù).綜上可知，f（x）和g（x）在[1，+∞）上均為減函數(shù).

（2）因?yàn)閎>1，又f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，所以f（b）2b2+1②，由①②可得2b2+1

附加題

1.解：設(shè)M=abcd，則有M：

20→x′y′=abcd·20=2a2c=21，解得a=1c=12；

M：31→x′y′=abcd·31=3a+b3c+d =32，

解得b=0，d=12；綜上，M=101212.

2.解：由曲線C的參數(shù)方程

x=3+3cosθ，y=3sinθ消去參數(shù)θ，

得（x-3）2+y2=9.

曲線C表示以（3，0）為圓心，3為半徑的圓.

由直線l的參數(shù)方程x=3ty=3t，

消去參數(shù)t，得y=33x.

表示經(jīng)過原點(diǎn)，傾斜角為30°的直線.

如圖，在直角三角形OCD中，OC=3，∠COD=30°，

所以CD=32.所以中心到垂足的距離為32.

3.解：（1）a0=1，a1=12a0（4-a0）=32，a2=12a1（4-a1）=158，

方法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當(dāng)n=0時，a0=1，a1=32，∴a0

2°假設(shè)n=k時有ak-1

則n=k+1時，

ak-ak+1=12ak-1（4-ak-1）-12ak（4-ak）

=2（ak-1-ak）-12（ak-1-ak）（ak-1+ak）

=12（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）.

而ak-1-ak<0，4-ak-1-ak>0，∴ak-ak+1<0.

又ak+1=12ak（4-ak）=12[4-（ak-2）2]<2.

∴n=k+1時命題正確.

由1°、2°知，對一切n∈N時有an

方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當(dāng)n=0時，a0=1，a1=32，∴0

2°假設(shè)n=k時有ak-1

令f（x）=12x（4-x），f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：f（ak-1）

即12ak-1（4-ak-1）<12ak（4-ak）<12×2×（4-2），

也即當(dāng)n=k+1時，ak

所以對一切n∈N，有ak

4.解：（1）因?yàn)锳kn=n！（n-k）！=n·（n-1）！[（n-1）-（k-1）]！=nAk-1n-1（2≤k≤n），

所以當(dāng)n≥2時，ann=1n（A1n+A2n+…+Ann）

=1n[n+（nA1n-1+…+nAn-1n-1）]

=1+（A1n-1+…+An-1n-1）=1+an-1.

所以an-1+1=ann.4分

（2）由（1）得an-1+1an-1=annan-1，即1+1an-1=annan-1，

所以（1+1a1）·（1+1a2）·（1+1a3）·…·（1+1an）=a22a1·a33a2·a44a3·…·an+1（n+1）an

=an+1（n+1）！=1（n+1）?。ˋ1n+1+A2n+1+…+An+1n+1）

=1n！+1（n-1）！+…+12！+11！+1

≤1n（n-1）+1（n-1）（n-2）+…+11×2+2

=（1n-1-1n）+（1n-1+1n-2）+…+（1-12）+2

=3-1n.10分

[另法：可用數(shù)學(xué)歸納法來證明1n！+1（n-1）！+…+12！+11！+1≤3-1n]