解三角形問題是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)與平面向量的基礎(chǔ)上，對(duì)任意三角形的邊長和角度關(guān)系所作的進(jìn)一步探索和研究，是高中數(shù)學(xué)中的傳統(tǒng)內(nèi)容，也是高考中的必考知識(shí)點(diǎn).教材比較關(guān)注探索、推理的思維過程，教學(xué)重點(diǎn)放在了運(yùn)算上，題目容易入手，但有時(shí)上手較難.如何有效、快速地解好三角形問題？筆者認(rèn)為，我們應(yīng)該掌握好以下幾種常見的解題策略.

一、熟悉正弦定理、余弦定理的適用類型

1.正弦定理的適用類型

（1）已知一邊和兩角，可以求另一角和兩邊

例1在△ABC中，已知A=60°，B=45°，BC=32，解三角形.

分析：由三角形內(nèi)角和為180°，得C=75°，再由正弦定理BC1sinA=AC1sinB=AB1sinC，求得AC=23，AB=3+3.

（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可先求另一邊的對(duì)角，再求出其它邊和角

例2在△ABC中，若a=3，b=3，A=π13，解三角形.

分析：先用正弦定理求出sinB=bsinA1a=3×31213=112，再根據(jù)大邊對(duì)大角得：B=π16，最后由三角形內(nèi)角和為π，得C=π12，從而c=a2+b2=23.

2.余弦定理的適用類型

（1）已知兩邊和它們的夾角，可以求第三邊和其它兩個(gè)角

例3設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=1，b=2，cosC=114，則sinB=.

分析：先由余弦定理求出邊c=a2+b2-2abcosC=2，從而B=C，00，因此sinB=sinC=1514.

（2）已知三邊，可以求三個(gè)內(nèi)角

例4如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE=1，連接EC，ED，則sin∠CED的值為.

分析：此題其實(shí)是考查已知三邊求角的問題，易知CE=5，DE=2，CD=1，則由余弦定理得：

cos∠CED=2+5-112×2×5=3110，

從而sin∠CED=10110.

二、熟練運(yùn)用三角形中邊、角互化的思想

由a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R，得sinA=a12R，sinB=b12R，sinC=c12R稱為角化邊；a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC稱為邊化角.由余弦定理變形得：cosA=b2+c2-a212bc，cosB=a2+c2-b212ac，cosC=b2+a2-c212ab，從左到右稱為角化邊，反之稱為邊化角.

例5在△ABC中，已知sin2B-sin2C-sin2A=3sinAsinC，則角B的大小為.

分析：本題給出的是已知各角正弦的條件，因此應(yīng)以正弦定理作為切入點(diǎn)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化.

解：由正弦定理得：sinA=a12R，sinB=b12R，sinC=c12R，代入得：b2-c2-a2=3ac，由余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，得cosB=-312，B∈（0，π），所以B=516π.

例6在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosC1cosB=2a-c1b，則角B的大小為.

方法1：觀察條件，等式左邊為余弦而右邊是邊的條件，而此題是要求角，因此可嘗試把邊的條件轉(zhuǎn)化為角的條件.

解：由正弦定理可得cosC1cosB=2sinA-sinC1sinB，cosCsinB=2sinAcosB-sinCcosB，

cosCsinB+sinCcosB=2sinAcosB，由兩角和的正弦公式，得sin（B+C）=2sinAcosB，由三角形內(nèi)角和為π，可得：sin（π-A）=2sinAcosB=sinA，00，所以得cosB=112，B∈（0，π），因而角B=π13.

方法2：也可以把左邊的角化邊作為切入點(diǎn).

解：由余弦定理代入cosC和cosB，得a2+c2-b2=ac，又a2+c2-b2=2accosB，所以得cosB=112，B∈（0，π），因而角B=π13.

三、熟練進(jìn)行三角函數(shù)恒等變形

例7在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，

（1）求證：a，b，c成等比數(shù)列；（2）若a=1，c=2，求△ABC的面積S.

解：（1）由已知得：sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，sinBsin（A+C）=sinAsinC，即sin2B=sinAsinC，再由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比數(shù)列.

（2）若a=1，c=2，則b2=ac=2，∴cosB=a2+c2-b212ac=314，sinB=714，故△ABC的面積S=112acsinB=112×1×2×714=714.

例8在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且8sin2B+C12-2cos2A=7，（1）求角A的大??；（2）若a=3，b+c=3，求△ABC的面積.

分析：與例7類似，（1）應(yīng)該要涉及化簡、變形及轉(zhuǎn)化；（2）條件比較抽象，可數(shù)形結(jié)合.

解：（1）由已知得：8sin2π-A12-2cos2A=7，

8cos2A12-2cos2A=7，

即4（1+cosA）-2（2cos2A-1）=7，整理得：4cos2A-4cosA+1=0，解得：cosA=112，故A的大小為π13.

（2）cosA=b2+c2-a212bc=（b+c）2-2bc-312bc=6-2bc12bc=112，解得：bc=2，

∴S△ABC=112bcsinA=112×2×312=312.

四、充分利用三角形內(nèi)角和定理

例9在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且角A，B，C成等差數(shù)列，

（1）求sinB的值；（2）若cosC=415，求sinA的值.

解：（1）由角A，B，C成等差數(shù)列，即2B=A+C，又A+B+C=π，所以B=π13，故sinB=312.

（2）由A+B+C=π，得：sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC

=312×415+112×315=43+3110.

結(jié)論：由內(nèi)角和定理可得：sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），tanA=-tan（B+C）等等，很多解三角形問題需要用到這些結(jié)論.

從以上解法中我們看出，要能夠有效的解決三角形問題，一定要熟悉正弦定理、余弦定理及其適用類型；能夠熟練應(yīng)用邊、角互化的思想；還要熟悉內(nèi)角和定理，面積公式（S=112cbsinA），三角形的邊邊、邊角之間的關(guān)系（如兩邊之和大于第三邊，大邊對(duì)大角等等）；能夠靈活進(jìn)行三角函數(shù)化簡、恒等變形；還要有用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題的意識(shí).如果能夠很好地把握以上幾點(diǎn)，相信同學(xué)們?cè)诮馊切螁栴}時(shí)一定會(huì)事半功倍.

（作者：丁稱興，江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)）

（上接第16頁）

美好，就像那一碗菜粥一樣，永遠(yuǎn)營養(yǎng)著多情的靈魂。

這是一篇非常典型的考場作文。第一，化大為小，緊扣材料意旨圍繞“生態(tài)自然”以“珍藏美好”為題給我們寫了一個(gè)小家的一碗菜粥的故事。卻又借小寓大，一碗菜粥表現(xiàn)的是人間至純至真的親情鄉(xiāng)情和生活的美好。第二，細(xì)節(jié)傳神，寫人寫狗都活靈活現(xiàn)。父親吃粥的模樣，冒著熱氣的小狗，惟妙惟肖，那“三人呼出的氣便悠悠地飄著，飄到一起合成一個(gè)大大的圓圈”特別有蘊(yùn)味，寫出人物的精氣神，文章的主旨得以有力張顯。第三，巧妙點(diǎn)題。開頭的“美好的夢”中間的“這確是我的童年最美好的記憶了?！苯Y(jié)尾的“才發(fā)現(xiàn)珍藏的美好就是家的溫暖”，表現(xiàn)作者非同一般的思維穿插力和純熟的文字功力。