我們知道，所謂三角變換，就是依據(jù)三角公式“變角、變名、變結(jié)構(gòu)”.有道是“戲法人人會變，就看你怎么變”，讓我們一起來探討.

【例】 求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值.

【分析】 本例屬非特殊角三角函數(shù)求值問題，一般可通過“變角”變出特殊角，或通過改變式子結(jié)構(gòu)，利用整體思想求值.

【解析】 解法1：因為40°=30°+10°，于是

原式=sin210°+cos2（30°+10°）+sin10°cos（30°+10°）=sin210°+（312cos10°-112sin10°）2+sin10°·（312cos10°-112sin10°）=314（sin210°+cos210°）=314.

解法2：令sin10°=a+b，cos40°=a-b，則

a=112（sin10°+cos40°）=112（sin10°+sin50°）=sin30°cos20°=112cos20°，

b=112（sin10°-cos40°）=112（sin10°-sin50°）=cos30°sin（-20°）=-312sin20°.

原式=（a+b）2+（a-b）2+（a+b）（a-b）=3a2+b2=314cos220°+314sin220°=314.

解法3：設(shè)x=sin210°+cos240°+sin10°cos40°，y=cos210°+sin240°+cos10°sin40°，則

x+y=1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°=2+sin50°=2+cos40°，

x-y=cos80°-cos20°-112=-sin50°-112=-cos40°-112，

因此，2x=312，x=314.

【點評】 解法1通過對該題中兩個角的特點分析，巧妙地避開了和差化積與積化和差公式.當(dāng)然運用降次、和積互化也是一般方法.解法2運用方程的方法，將三角問題代數(shù)化處理，解法新穎別致，不拘一格，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.解法3利用正余弦函數(shù)的互余對偶，構(gòu)造對偶式，組成方程組，解法簡明.

三種解法，奧妙無窮.你能根據(jù)以上解法，解決下列問題嗎？

【變式1】 求cos273°+cos247°+cos47°cos73°的值；

【分析】 雖然本題給出的式子與例題相比，函數(shù)名發(fā)生了變化，但式子結(jié)構(gòu)相同，故與例題的解法相似，下面模仿解法1來解.

【解析】 因為47°=120°-73°，于是原式=cos273°+cos2（120°-73°）+cos73°cos（120°-73°）

=cos273°+（-112cos73°+312sin73°）2+cos73°·（-112cos73°+312sin73°）

=314（sin273°+cos273°）=314.

【變式2】 求sin2α+cos2（α+60°）+3sinαcos（α+60°）的值；

【分析】 本題的結(jié)構(gòu)與例題完全一致，不同的是角中變成了參數(shù)，但兩角之差依然是特殊角，故與例題的解法仍相似，下面模仿解法3來解.

【解析】 設(shè)x=sin2α+cos2（α+60°）+3sinαcos（α+60°），

y=cos2α+sin2（α+60°）+3cosαsin（α+60°），則

x+y=1+1+3sinαcos（α+60°）+3cosαsin（α+60°）=2+3sin（2α+60°）=2+312sin2α+312cos2α，

x-y=-cos2α+cos（2α+120°）+3sin（-60°）=-cos2α-112cos2α-312sin2α-312

=-312cos2α-312sin2α-312，

兩式相加得，2x=112x=114.

【變式3】 若x+y=2kπ+π13（k∈Z），則sin2x+sin2y+sinxsiny為定值314；

【分析】 本題式子的結(jié)構(gòu)與例題相似，而兩角之和是定值，又是特殊角，因此仍可嘗試第三種解法，即構(gòu)造對偶式來證明.

【證明】 令a=sin2x+sin2y+sinxsiny，b=cos2x+cos2y+cosxcosy，則

a+b=2+cos（x-y）（1），

a-b=-cos2x-cos2y-cos（x+y）=-2cos（x+y）cos（x-y）-cos（x+y），

又x+y=2kπ+π13（k∈Z），故cos（x+y）=112，

所以a-b=-cos（x-y）-112（2），

于是，（1）+（2）得2a=312，故a=314，即sin2x+sin2y+sinxsiny為定值314.

【變式4】 求證：不論α，β取何值，sin2αsin2β+cos2αcos2β-112cos2αcos2β總為定值.

【分析】 本題所給式子的結(jié)構(gòu)似乎與變式3相似，其實“失之毫厘，差以千里”.解答本題我們必須“另起爐灶”，但三角變換不外乎“三變”：變角、變名、變結(jié)構(gòu).觀察本題可見，有角的二倍關(guān)系，可考慮應(yīng)用倍角公式；有冪次關(guān)系，可考慮降冪；函數(shù)名稱有正弦、余弦，可異名化同名等等.

【解析】 解法1：（從“角”入手，復(fù)角化單角）

原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-112·（2cos2α-1）（2cos2β-1）

=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-112·（4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1）

=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-112

=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-112

=sin2β+cos2β-112=1-112=112.

解法2：（從“名”入手，異名化同名）

原式=sin2α·sin2β+（1-sin2α）·cos2β-112cos2α·cos2β

=cos2β-sin2α（cos2β-sin2β）-112cos2α·cos2β

=cos2β-cos2β·（sin2α+112cos2α）

=1+cos2β12-cos2β[sin2α+112 （1-2sin2α）]

=1+cos2β12-112cos2β=112.

解法3：（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）

原式=1-cos2α12·1-cos2β12+1+cos2α12·1+cos2β12-112cos2α·cos2β

=114（1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β）+114（1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β）-112·cos2α·cos2β

=114+114=112.

解法4：（從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方）

原式=（sinα·sinβ-cosα·cosβ）2+2sinα·sinβ·cosα·cosβ-112cos2α·cos2β

=cos2（α+β）+112sin2α·sin2β-112cos2α·cos2β

=cos2（α+β）-112cos（2α+2β）

=cos2（α+β）-112·[2cos2（α+β）-1]=112.

【評注】 對一個題目的解題方法，由于側(cè)重角度不同，出發(fā)點不同，化簡的方法也不唯一.對于三角函數(shù)式化簡的目標(biāo)是：1.次數(shù)盡可能低；2.角盡可能少；3.三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一；4.項數(shù)盡可能少.

（作者：王佩其，江蘇省太倉高級中學(xué)）

（上接第39頁）

性質(zhì).事實上，由題設(shè)知b>a，于是∠B>∠A，顯然∠A=150°是不可能的.

正解：由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos15°

=4+8-2×2×22×6+214=8-43.

∴c=6-2.

又由正弦定理，得sinA=asinC1c=112.因b>a時，∠B>∠A且0°<∠A<180°，

∴∠A=30°.

誤區(qū)警示：在解三角形時，我們應(yīng)注意是否滿足三角形的有關(guān)性質(zhì)，如“大邊對大角”、“三角形兩邊之和大于第三邊”、三角形的內(nèi)角和定理等，需格外關(guān)注各條件之間的制約性.