高銘秀

向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)問題的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì).注重基本概念和基本運算的學(xué)習(xí)，對概念要理解深刻到位，運算要準(zhǔn)確，尤其是向量互相垂直、平行的充要條件和平面向量基本定理（包括坐標(biāo)運算），應(yīng)當(dāng)達到運用自如、熟練掌握的程度；其次學(xué)習(xí)中應(yīng)把向量與其他知識內(nèi)容進行整合，將幾何問題、函數(shù)問題、三角問題、以后學(xué)到的解析幾何問題等轉(zhuǎn)化為向量運算，特別是坐標(biāo)形式的向量運算問題，充分揭示數(shù)學(xué)中化歸思想的深刻含義，同時也顯示出向量的巨大威力.由于向量具有兩個明顯特點——“形”的特點和“數(shù)”的特點，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標(biāo)實際是把點與數(shù)聯(lián)系了起來，進而可把曲線與方程聯(lián)系起來，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題，同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題；加強向量在數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用，注意突出向量的工具性；因此這部分知識還滲透了數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想.向量在高考中的考查要求較高，平面向量的概念，平面向量的加法、減法及數(shù)乘運算，平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量的平行與垂直等為B級要求；平面向量的數(shù)量積為C級要求.

近幾年在高考中的考查從題型和內(nèi)容上分析如下：1.題型、題量保持穩(wěn)定；2.注意雙基考查；3.以能力立意，注重知識之間的綜合，凸現(xiàn)平面向量的工具作用，綜合題主要以與函數(shù)、三角解析幾何等知識結(jié)合的形式出現(xiàn).

解決此類問題必要的知識基礎(chǔ)如下：

1.兩個向量的夾角定義1范圍已知兩個非零向量a，b，作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角（如圖）

1向量夾角θ的范圍是[0，π]，當(dāng)θ=0或π時，兩向量共線，當(dāng)θ=π12時，兩向量垂直，記作a⊥b2.平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b.即a·b=|a||b|cosθ規(guī)定0·a=0.

3.向量數(shù)量積的運算律

（1）a·b=b·a

（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）

（3）（a+b）·c=a·c+b·c

4.平面向量數(shù)量積有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）結(jié)論1幾何表示1坐標(biāo)表示模1|a|=a·a1|a|=x21+y21夾角1cosθ=a·b1|a||b|1cosθ=x1x2+y1y21x21+y21x22+y22a⊥b的充要條件1a·b=01x1x2+y1y2=0|a·b|與|a||b|的關(guān)系1|a·b|≤|a||b|1|x1x2+y1y2|≤

（x21+y21）（x22+y22）在向量數(shù)量積的考查中，著重有這樣一些考點：

一、平面向量數(shù)量積的運算

例1已知兩個單位向量e1，e2的夾角為π13，若向量b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，則b1·b2=.

解析：由題設(shè)知|e1|=|e2|=1，

且e1·e2=112，

所以b1·b2=（e1-2e2）·（3e1+4e2）=3e21-2e1·e2-8e22=-6.

分析：向量的數(shù)量積有兩種計算方法：一是根據(jù)數(shù)量積的定義進行計算，二是依據(jù)向量的坐標(biāo)進行計算.

悟：利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，此類問題的處理方法如下：

（1）若a=（x，y），則|a|=x2+y2；

（2）|a|2=a2=a·a；

（3）|a±b|2=a2±2a·b+b2.

二、平面向量的距離和夾角問題

例2若向量a=（1，2），b=（1，-1），則2a+b與a-b的夾角等于.

解析：2a+b=（3，3），a-b=（0，3），則cos〈2a+b，a-b〉=9132×3=212，故夾角為π14.

例3若a，b，c均為單位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，則|a+b-c|的最大值為.

解析：由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出a，b，c的模為1，由a·b=0及（a-c）·（b-c）≤0，可以知道（a+b）·c≥c2=1，因為|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c，

所以有|a+b-c|2=3-2（a·c+b·c）≤1，

故|a+b-c|≤1.

所以|a+b-c|的最大值為1.

悟：1.|a|=a·a常用來求向量的模；

2.當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時，求a，b的夾角，需求出a，b和|a|，|b|或直接得出他們之間的關(guān)系，若a，b是坐標(biāo)形式，則可以直接利用公式cosθ=x1x2+y1y21x21+y21x22+y22.

注意：1.解決夾角問題時一定要注意向量是否共起點，否則會造成失誤；

2.向量的數(shù)量積的運算律類似于多項式的乘法法則，但是并不是所有的乘法法則都可以推廣到向量數(shù)量積的運算，如（a·b）c不一定等于a（b·c）；

3.數(shù)量積大于0說明不共線的兩個向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角就是鈍角.

三、兩向量垂直問題

例4設(shè)a=（1+cosx，1+sinx），b=（1，0），c=（1，2）.

（1）求證：（a-b）⊥（a-c）；

（2）求|a|的最大值，并求此時x的值.

解析：（1）證明：（a-b）=（cosx，1+sinx），

（a-c）=（cosx，sinx-1），

（a-b）·（a-c）=（cosx，1+sinx）·（cosx，sinx-1）=cos2x+sin2x-1=0.

∴（a-b）⊥（a-c）.

（2）解：|a|=（1+cosx）2+（1+sinx）2=3+2sinx+2cosx=3+22sin（x+π14）

≤3+22=2+1，

當(dāng)sin（x+π14）=1，即x=π14+2kπ（k∈Z）時，|a|有最大值2+1.

悟：非零向量a⊥b的充要條件是a·b=0是非常重要的性質(zhì)，它對于解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握.

四、平面數(shù)量積的應(yīng)用

例5已知△ABC為銳角三角形，向量m=（3cos2A，sinA），n=（1，-sinA），且m⊥n.

（1）求∠A的大??；

（2）當(dāng)AB=pm，AC=qn（p>0，q>0），且滿足p+q=6時，求△ABC面積的最大值.

解析：（1）∵m⊥n，∴3cos2A-sin2A=0.

∴3cos2A-1+cos2A=0，∴cos2A=114.

又∵△ABC為銳角三角形，∴cosA=112.

∴A=π13.

（2）由（1）可得m=（314，312），n=（1，-312）.

∴|AB|=2114p，|AC|=712q.

∴S△ABC=112|AB|·|AC|·sinA=21132pq.

又∵p+q=6，且p>0，q>0，

∴p·q≤p+q12，

∴p·q≤3.∴pq≤9.

∴△ABC面積的最大值為21132×9=189132.

悟：平面向量與三角、不等式的整合，是高考命題的熱點之一，它一般是根據(jù)向量的運算性質(zhì)（如數(shù)量積）將向量特征轉(zhuǎn)化為三角問題，三角問題是考查的主體，平面向量是載體.

平面向量的數(shù)量積是每年高考必考的內(nèi)容，也是高考的熱點之一，試題多以填空題形式出現(xiàn)，主要考查數(shù)量積的定義、運算律、性質(zhì)，同時也考查向量平行、垂直及夾角、距離等問題.平面向量與解析幾何、函數(shù)、三角函數(shù)等相結(jié)合的題目屢見不鮮，一些地區(qū)的高考試題將平面向量數(shù)量積與概率知識融合，命題新穎，也代表了一個考向.

例6在正六邊形ABCDEF中，AB=1，AP=xAB+yAF，則x+y的取值范圍是.

解法一：建立以AB所在直線為x軸，以A為坐標(biāo)原點，AE所在直線為y軸的直角坐標(biāo)系.

設(shè)P（x，y），設(shè)AP=aAB+bAF=（a-b12，312b），

∴x=a-b12

y=312ba=3x+y13

b=213y，

設(shè)z=a+b=x+3y在坐標(biāo)系里利用線性規(guī)劃求解得范圍是[1，4].

解法二：根據(jù)AP=xAB+yAF，把AP分解在AB和AF上，則根據(jù)相似關(guān)系，當(dāng)P點在線段BF上時，x+y是定值，則畫出與直線BF平行的直線在陰影部分區(qū)域中平移，每平移位置的x+y的值都是定值，且在增大，于是x+y的最小值是點P位于直線BF位置時，最大值是P點位于D點時.

解法三：AP=xAB+yAF，

則AP·AB=x-y12，AP·AF=-x12+y，

∴AP·（AB+AF）=x+y12，

AP·AD12=x+y12，

∴x+y=AP·AD=|AD||AP|cosα，

|AP|cosα的幾何意義為AP在AD方向上的投影.

解法四：建立坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點，AD為y軸，

∴AB=（312，112），AF=（-312，112），

∴AP=（312x-312y，x+y12），即求P點的縱坐標(biāo)的取值范圍.

如圖就可以得到x+y12∈[112，2]，所以x+y∈[1，4].

該題是向量和不等式結(jié)合的問題，從多個方向分析其思路，巧妙的建立坐標(biāo)系解答，對本題幫助非常大.

例7在△ABC中，若AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11，則cosA的值為.

解法一：目標(biāo)cosA=b2+c2-a212bc（*）

AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11得a2+c2-b213=a2+b2-c212=b2+c2-a211=m，

∴a2+c2-b2=3m

a2+b2-c2=2m

b2+c2-a2=ma2=512m

b2=312m

c2=2m，代入到（*）中，得cosA=316.

解法二：建立以BC所在直線為x軸，以BC邊上的高AO為y軸，則設(shè)A（0，a）B（b，0）C（c，0）.

AB=（b，-a），BC=（c-b，0），CA=（-c，a）代入到題目條件AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11得113b·（c-b）=112（c-b）·c=-bc-a2

得b=-312c，a=1112c，

cosA=AB·AC1|AB|AC||=bc+a21a2+b2a2+c2=316.

解法三：記三角形ABC三邊長為a，b，c

AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11得accosB13=abcosC12=bccosA11，

兩邊同時除以abc得：cosB13b=cosC12c=cosA1a，

則：tanA=2tanC=3tanB（1）

在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC，

將（1）代入上式得tanA=11，所以cosA=316.

解法四：AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11

=BC·（AB+CA）15=CA·（BC+AB）13

=AB·（BC+CA）14，

記三角形ABC三邊長為a，b，c，

則：a215=b213=c214，所以cosA=316.

分析：該題是向量和三角結(jié)合的問題，以三角為主題分析還是以向量為主題分析對該題的解題也有一定的影響.巧妙使二者結(jié)合才能使得解題清晰.

由于平面向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，因而成為聯(lián)系數(shù)與形的重要紐帶，容易與函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、不等式等許多重要內(nèi)容交匯綜合，所以，倍受命題者的親睞，是新高考的亮點.