王麗

一、考題特點

特點一：考小題，重在于基礎(chǔ).

有關(guān)平面向量的小題，其考查的重點在于基礎(chǔ)知識.其中，平面向量數(shù)量積、加減運算是考查的重點，向量共線，向量垂直，向量的模，坐標運算等內(nèi)容的試題都突出了對平面向量基礎(chǔ)知識的考查.

特點二：考大題，與其他知識結(jié)合.

考查平面向量的大題，經(jīng)常與三角、圓錐曲線、函數(shù)結(jié)合，與三角函數(shù)相結(jié)合的試題難度不大，屬中檔題，與圓錐曲線、函數(shù)相結(jié)合的試題，屬中等偏難，主要考查學生對基本知識，基本方法，基本技能的理解，掌握和應(yīng)用情況.

特點三：考方法，常體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

向量的坐標表示實際上就是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標表示后，使向量之間的運算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當?shù)淖鴺讼抵?，賦予幾何圖形有關(guān)點與平面向量具體的坐標，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

二、考點展示

1.考查向量的概念、向量的基本定理

有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題，主要以填空題為主，考查的難度屬中檔類型.

例1（2013年高考廣東文）設(shè)a是已知的平面向量且a≠0，關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題：

①給定向量b，總存在向量c，使a=b+c；

②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a=λb+μc；

③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a=λb+μc；

④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a=λb+μc；

上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是.

解析：本題主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法則.利用向量加法的三角形法則，易得①是對的；利用平面向量的基本定理，易得②是對的；以a的終點為圓心作長度為μ的圓，這個圓必須和向量λb有交點，這個不一定能滿足，③是錯的；利用向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形兩邊的和大于第三邊，即必須|λb|+|μc|=λ+μ≥|a|，所以④是假命題.綜上，填2.

2.考查向量的運算

命題形式主要以填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標運算，有時也會與其它內(nèi)容相結(jié)合.

例2（2013年高考安徽文）若非零向量a，b滿足|a|=3|b|=|a+2b|，則a，b夾角的余弦值為.

解析：等式平方得：|a|2=9|b|2=|a|2+4|b|2+4a·b，則|a|2=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|cosθ，即0=4|b|2+4·3|b|2cosθ，

得cosθ=-113.

點評：本題主要考查向量模，向量數(shù)量積的運算，向量最基本的化簡.

例3（2013年高考新課標Ⅰ卷）已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，則t=.

解析：因為c=ta+（1-t）b，所以c·b=ta·b+（1-t）b·b，

又b·c=0，且單位向量a，b的夾角為60°，則t12+（1-t）=0，解得t=2.

點評：本題考查向量的數(shù)量積運算，考查同學們的基本運算能力.

3.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

例4（2013年高考江蘇卷）設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=112AB，BE=213BC，若DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2為實數(shù)），則λ1+λ2的值為.

解析：DE=DB+BE=112AB+213BC

=112AB+213（BA+AC）=-116AB+213AC

=λ1AB+λ2AC，

所以，λ1=-116，λ2=213，λ1+λ2=112.

例5（2013年高考福建文）在四邊形ABCD中，AC=（1，2），BD=（-4，2），則該四邊形的面積為.

解析：本題考查的是向量垂直的判斷以及向量的模長.因為AC·BD=1×（-4）+2×2=0，所以AC⊥BC，所以四邊形的面積為|AC|·|BD|12=12+22·（-4）2+2212=5，故填5.

例6（2013年高考重慶理）在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2.若|OP|<112，則|OA|的取值范圍是.

解析：根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標軸建立直角坐標系，設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，點O的坐標為（x，y），則點P的坐標為（a，b）.

由|OB1|=|OB2|=1得（x-a）2+y2=1

x2+（y-b）2=1，則（x-a）2=1-y2

（y-b）2=1-x2.

又由|OP|<112，得（x-a）2+（y-b）2<114，則1-x2+1-y2<114，即x2+y2>714 ①

又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，則y2≤1.

同理由x2+（y-b）2=1，得x2≤1，即有x2+y2≤2 ②

由①②知714

而|OA|=x2+y2，所以712<|OA|≤2.

點評：本題主要是考查同學們轉(zhuǎn)化與計算過程中易出現(xiàn)的錯誤，如將不等式的方向搞錯，會得出錯誤結(jié)果.

4.平面向量與其它知識的綜合

平面向量與解析幾何的綜合問題由來已久，多是以解析幾何為載體，向量作為條件融入題設(shè)條件中.向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，其解題策略就是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算，溝通點與點之間的坐標關(guān)系.三種題型都可涉及.

例7（2013年高考北京文）已知點A（1，-1），B（3，0），C（2，1），若平面區(qū)域D由所有滿足AP=λAB+μAC（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點P組成，則D的面積為.

解析：由題設(shè)條件得，AB=（2，1），AC=（1，2），則AP=λAB+μAC=（2λ+μ，λ+2μ），

設(shè)P（x，y），則AP=（x-1，y+1），所以x-1=2λ+μ

y+1=λ+2μ，即μ=2y-x+313

λ=2x-y-313，

因為1≤λ≤2，0≤μ≤1，所以0≤2y-x+313≤1，1≤2x-y-313≤2，即x-2y-3≤0

x-2y≥0

2x-y-6≥0

2x-y-9≤0，

畫出平面區(qū)域，如圖所示，|CD|=5，E到直線x-2y-3=0的距離為315，故四邊形BDCE的面積為3.

點評：本題考查了兩條直線的位置關(guān)系、點到直線的距離、平面向量的線性運算、坐標運算、線性規(guī)劃問題.

例8（2013年高考陜西理）已知向量a=（cosx，-112），b=（3sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=a·b.

（1）求f（x）的最小正周期.（2）求f（x）在[0，π12]上的最大值和最小值.

解析：（1）f（x）=a·b=cosx·3sinx-112cos2x=312sin2x-112cos2x=sin（2x-π16）.

最小正周期T=2π12=π.所以f（x）=sin（2x-π16）最小正周期為π.

（2）當x∈[0，π12]時，（2x-π16）∈[-π16，5π16]，由標準函數(shù)y=sinx在[-π16，5π16]上的圖象知，

f（x）=sin（2x-π16）∈[f（-π16），f（π12）]=[-112，1].

所以，f（x）在[0，π12]上的最大值和最小值分別為1，-112.

點評：本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)y=Asin（ωx+）的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識，考查同學們的基本運算能力.