回歸課本 以變?nèi)?/h1>
2013-04-29 00:44:03程志慧
中學(xué)課程輔導(dǎo)·高考版 2013年8期
課本既是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的載體，又是教學(xué)的依據(jù)，理應(yīng)成為高考數(shù)學(xué)試題的源頭，因此高考命題注重課本在命題中的作用，充分發(fā)揮課本作為試題的根本來源的功能，通過對高考數(shù)學(xué)試題命題的研究可以發(fā)現(xiàn)，每年均有一定數(shù)量的試題是以課本習(xí)題為素材的變式題，通過變形、延伸與拓展來命制高考數(shù)學(xué)試題.
例1 （蘇教版必修5第48頁第7題）在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a11=20，求S21；（2）已知S11=66，求a6.
解析：（1）S21=（a1+a21）2×21=2a112×21=20×21=420.
（2）因?yàn)镾11=（a1+a11）2×11=2a62×11=11a6=66，所以a6=6.
通過以上的解答，我們很容易得到結(jié)論1：在等差數(shù)列{an}中，則an=S2n-12n-1.
變題1 設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和，若SnTn=3n+42n+3，則a9b8= .
解析：因?yàn)閿?shù)列{an}、{bn}都是等差數(shù)列，所以Sn，Tn都具有An2+Bn=n（An+B）的形式，又已知SnTn=3n+42n+3，所以可設(shè)Sn=kn（3n+4），Tn=kn（2n+3）（k為非零常數(shù)），則有
a9b8=S9-S8T8-T7=9k（3×9+4）-8k（3×8+4）8k（2×8+3）-7k（2×7+3）=55k33k=53.
結(jié)論 若兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且SnTn=an+bcn+d（ac≠0），
則ambn=a（2m-1）+bc（2n-1）+d.
變題2 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2nan=4n-12n-1，則S19S9= ，S2nSn= .
解析：S19S9=19a109a5=199·a10a5=199·4×5-12×5-1=（199）2.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，首項(xiàng)為a1，由a2nan=4n-12n-1得a1+（2n-1）da1+（n-1）d=4n-12n-1，從而d=2a1，所以S2nSn=2na1+2n（2n-1）d2na1+n（n-1）d2=4.
變題3 設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和，若anbn=4n-12n+1，則S10T5= .
解析：因?yàn)閿?shù)列{an}、{bn}都是等差數(shù)列，所以an，bn都是關(guān)于n的一次函數(shù)的形式，又anbn=4n-12n+1，所以可設(shè)an=k（4n-1），bn=k（2n+1）（k為非零常數(shù)），則有S10T5=5（a1+a10）52（b1+b5）=210k35k=6.
變題4 （07年湖北卷）設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和，若SnTn=7n+45n+3，則使得anbn為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為 .
解析：anbn=S2n-12n-1T2n-12n-1=S2n-1T2n-1=7（2n-1）+45（2n-1）+3=7+12n+1，欲使anbn為整數(shù)，則必須n+1為12的約數(shù)，又n∈N*，從而n+1=2，3，4，6，12，相應(yīng)地n=1，2，3，5，11，故正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為5個(gè).
例2 （蘇教版必修5第62頁第10題）設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列.
解析：當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1，因?yàn)?S9≠S3+S6，所以S3，S9，S6不成等差數(shù)列，這與已知矛盾，故q≠1.由2S9=S3+S6，得2a1（1-q9）1-q=a1（1-q3）1-q+a1（1-q6）1-q，整理得2q6=1+q3，即2a1q7=a1q+a1q4，亦即2a8=a2+a5，所以a2，a8，a5成等差數(shù)列.
變題1 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，則q的值為 .
解析：由例2的解答過程可知2q6=1+q3，即（q3-1）（2q3+1）=0，由于q=1時(shí)，2S9≠S3+S6，故不滿足題意，應(yīng)舍去，所以q=-342.
變題2 設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：Sn，Sn+6，Sn+3成等差數(shù)列.
解析：由例2的解答過程可知2q6=1+q3，等式兩邊同乘以qn，得2qn+6=qn+qn+6，則
2（1-qn+6）=（1-qn）+（1-qn+3），然后兩邊同乘以a11-q，得
2a1（1-qn+6）1-q=a1（1-qn）1-q+a1（1-qn+3）1-q，即2Sn+6=Sn+Sn+3，所以Sn，Sn+6，Sn+3成等差數(shù)列.
變題3 設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sk，Sk+m，Sk+n（k，m，n∈N*）成等差數(shù)列，求證：ap，ap+m，ap+n（p∈N*）成等差數(shù)列.
解析：由Sk，Sk+m，Sk+n成等差數(shù)列可得2qm=1+qn，兩邊同乘以a1qp-1，得2a1qp+m-1=a1qp-1+a1qp+n-1，即2ap+m=ap+ap+n，所以ap，ap+m，ap+n成等差數(shù)列.
高考命題“源于教材，高于教材”，大量題目來源于課本，是對課本基礎(chǔ)知識、例題及習(xí)題的加工、綜合、類比、延伸和拓展的結(jié)果.重視教材中的基礎(chǔ)知識和基本方法，然后加以引申、變化，做到舉一反三，方能贏定高考！
（作者：程志慧，江蘇省盱眙中學(xué)）
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例1 （蘇教版必修5第48頁第7題）在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a11=20，求S21；（2）已知S11=66，求a6.
解析：（1）S21=（a1+a21）2×21=2a112×21=20×21=420.
（2）因?yàn)镾11=（a1+a11）2×11=2a62×11=11a6=66，所以a6=6.
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a9b8=S9-S8T8-T7=9k（3×9+4）-8k（3×8+4）8k（2×8+3）-7k（2×7+3）=55k33k=53.
結(jié)論 若兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且SnTn=an+bcn+d（ac≠0），
則ambn=a（2m-1）+bc（2n-1）+d.
變題2 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2nan=4n-12n-1，則S19S9= ，S2nSn= .
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解析：由例2的解答過程可知2q6=1+q3，等式兩邊同乘以qn，得2qn+6=qn+qn+6，則
2（1-qn+6）=（1-qn）+（1-qn+3），然后兩邊同乘以a11-q，得
2a1（1-qn+6）1-q=a1（1-qn）1-q+a1（1-qn+3）1-q，即2Sn+6=Sn+Sn+3，所以Sn，Sn+6，Sn+3成等差數(shù)列.
變題3 設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sk，Sk+m，Sk+n（k，m，n∈N*）成等差數(shù)列，求證：ap，ap+m，ap+n（p∈N*）成等差數(shù)列.
解析：由Sk，Sk+m，Sk+n成等差數(shù)列可得2qm=1+qn，兩邊同乘以a1qp-1，得2a1qp+m-1=a1qp-1+a1qp+n-1，即2ap+m=ap+ap+n，所以ap，ap+m，ap+n成等差數(shù)列.
高考命題“源于教材，高于教材”，大量題目來源于課本，是對課本基礎(chǔ)知識、例題及習(xí)題的加工、綜合、類比、延伸和拓展的結(jié)果.重視教材中的基礎(chǔ)知識和基本方法，然后加以引申、變化，做到舉一反三，方能贏定高考！
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