楊亞伶 王小芃 楊玉辰 吳華英 李勇惠

摘 要：小學畢業(yè)生數學總復習從數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個領域入手，把知識系統(tǒng)整理，建構自己的知識體系，內化成自己的知識，這是數學學習的重要方式和目的。通過整理和復習，把相關知識形成知識樹，全面了解、掌握知識的發(fā)生、發(fā)展過程，把握知識之間的內在聯系，完善自己的知識結構，形成自己的知識網絡，提升自己的數學素養(yǎng)，從而提高分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞：小學數學；畢業(yè)；總復習；指導

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2013）04-0026-15

第一部分 數與代數

一、數的認識

（一）目標導航

1.在現實情境中理解萬以內數的意義，能認、讀、寫萬以內的數，能用數表示物體的個數或事物的順序和位置。在具體情境中，認識萬以上的數，了解十進制計數法，會用萬、億為單位表示大數。

2.能說出各數位的名稱，理解各數位上的數字表示的意義；知道用算盤可以表示多位數。結合現實情境感受大數的意義，并能進行估計。

3.理解符號<、=、>的含義，能用符號和詞語描述數的大小。

4.能運用數表示日常生活中的一些事物，并能進行交流。會運用數描述事物的某些特征，進一步體會數在日常生活中的作用。

5.知道2、3、5的倍數的特征，了解公倍數和最小公倍數；在1～100的自然數中，能找出10以內自然數的所有倍數，能找出10以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數。

6.了解公因數和最大公因數；在1～100的自然數中，能找出一個自然數的所有因數，能找出兩個自然數的公因數和最大公因數。

7.了解自然數、整數、奇數、偶數、質（素）數和合數。

8.結合具體情境，認識小數和分數，能讀、寫小數和分數，理解小數和分數的意義，理解百分數的意義；會進行小數、分數和百分數的轉化（不包括將循環(huán)小數化為分數）。

9.能比較小數的大小和分數的大小。

10.在熟悉的生活情境中，了解負數的意義，會用負數表示日常生活中的一些量。

（二）要點提示

在小學階段，我們認識了許多數和有關數的知識。我們學習了整數、小數、分數、百分數、負數的意義；整數、小數的數位順序，多位數的讀寫，多位數的改寫與省略尾數；小數、分數的基本性質；小數、分數、百分數的互化；數的大小比較；倍數、因數、偶數、質數、合數的意義；2、3、5倍數的特征等。

【自然數】表示物體個數的1、2、3……都是自然數，一個物體也沒有用0表示，0也是自然數。自然數的基本單位是“1”，自然數的個數是無限的，沒有最大的自然數，0是最小的自然數。自然數中是2的倍數的數叫做偶數，0也是偶數，自然數中不是2的倍數的數叫做奇數。

【整數】像-3、-2、1、0、1、2、3……這樣的數統(tǒng)稱為整數。整數的個數是無限的。整數是由正整數、0和負整數組成的，0不是正整數也不是負整數。大于0的整數叫做正整數，沒有最大的正整數；小于0的整數叫做負整數，沒有最小的負整數。

【計數單位】一（個）、十、百、千、萬、……億、十億、……都是計數單位。

【數位】計數單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數位。

【位數】一個數由幾個數字寫出來（最高位不能是0）就是幾位數。

【十進制計數法】每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10，這樣的計數方法就叫做十進制計數法。小數部分每相鄰兩個計數單位之間的進率也是10。

【小數的意義】

分母是10、100、1000……的分數都可以用小數表示。一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……

【小數的性質】小數的末尾添上“0”或者去掉“0”，小數的大小不變，這是小數的性質。利用小數的這一性質，通?？梢匀サ粜的┪驳?，把小數化簡；也可以根據需要在小數的末尾添上0；還可以在整數個位的右下角點上小數點，再添上0，把整數改寫成小數的形式。

【分數的意義】把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。分數根據分子和分母大小關系可以分為真分數和假分數。分子比分母小的分數叫做真分數，如■、■。分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數，如■、■、■。一個假分數，如果分子不是分母的整倍數，可以寫成一個整數和一個真分數合并的形式，叫做帶分數，如3■。如果分數的分子是分母的整倍數，這樣的假分數可以化作整數。

【分數單位】一個分數的分母是幾，它的分數單位就是幾分之一。

【分數基本性質】分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（零除外），分數的大小不變，這是分數的基本性質。利用這個性質可以把分數化簡或通分。

【百分數】表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數，也叫做百分率或百分比。百分數通常用“%”來表示，如21%、110%。

【負數】像+3、18、+123這樣的數都是正數，像-3、-10、-8、-223這樣的數都是負數。0既不是正數，也不是負數。

【因數、倍數】如果自然數a和自然數b相乘的積是c，即a×b=c。則a、b都是c的因數，c是a的倍數，也是b的倍數。

【合數】如果一個自然數除了1和它本身外還有其它因數，這樣的數叫做合數，如4、6、9等。

【質數】質數也叫素數，如果一個自然數只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。如2、3、5、7、11等，最小的質數是2，它也是唯一的偶質數。

【質因數】每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，這幾個質數都叫做這個合數的質因數。

【分解質因數】把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，就叫做分解質因數。

【公倍數】兩個或幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數。其中最小的一個叫做這些數的最小公倍數。

【公因數】兩個數公有的因數，叫做這兩個數的公因數。其中最大的一個叫做這兩個數的最大公因數。

【互質數】公因數只有1的兩個數，叫做互質數。

【最簡分數】如果一個分數的分子和分母為互質數，稱這個分數為最簡分數。如：■、■、■等。

（三）知識網絡

1.數的從屬關系表。

2.計數單位、數位、數級順序表。

3.小數、分數、百分數互化表。

4.倍數、因數、質數、合數等之間關系圖。

（四）智慧點撥

“數的認識”這部分內容基本概念多，容易混淆，復習時一定要注意方法技巧。建議試一試下面的四個方法：

1.弄清概念間的聯系與區(qū)別。

（1）理解并掌握自然數、分數、百分數、小數的概念和它們的計數單位，準確說出每個數包含的計數單位的個數，會進行數的分解與組成。認識這些數之間的關系。能正確讀寫整數、小數、分數、百分數。理解小數、分數的基本性質，掌握小數點位置的移動引起小數大小的變化，會約分、通分。理解倒數的意義。

（2）掌握有關數的改寫、省略、互化的知識和技能，包括：①把一個較大的多位數改寫成以“萬”或“億”為單位的數；②求小數的近似數；③省略“萬”或“億”后面的尾數；④假分數與整數、帶分數的互相改寫；⑤分數、小數、百分數之間的比較。

（3）掌握有關數的大小比較的知識和技能，包括：整數、小數、分數、百分數及其它們之間的大小比較。

2.系統(tǒng)梳理，善于比較。

“數的認識”中概念云集，概念與概念之間有一定的聯系與區(qū)別，復習前進行系統(tǒng)梳理、對照要點查漏補缺，復習時要抓住本質、善于比較，這樣會起到事半功倍的效果。

以約分和通分為例，兩者既有聯系，又有區(qū)別。聯系在于它們都是依據分數的基本性質，都要保持分數的大小不變。區(qū)別在于約分可以只對一個分數進行，而通分需要對兩個或兩個以上分數進行；約分是對分子、分母同除以一個不等于0的數，而通分則對分子、分母同乘一個不等于0的數；約分的結果是最簡分數，通分的結果是同分母分數。

3.把握要點，清晰區(qū)分概念。

（1）“數位”和“位數”。“數位”是指寫數時，計數單位所占的位置，同一個數字所在的數位不同，表示數的大小也不同。如：“3023”這個數，“3”所在的數位是個位和千位，個位上的數字“3”表示3個一，千位上的數字“3”表示3個千。“位數”是指一個自然數含有數位的個數，含有幾個數位就是幾位數。如“12345”這個數，它所含的數位分別是個位、十位、百位、千位、萬位，由于它含有五個數位，所以它是五位數。

（2）數的“改寫”與“省略”。數的改寫通常是指為了讀寫方便，把較大的數簡寫成用“萬”或“億”作單位的數，數形發(fā)生變化，但數的大小不變，是精確值，用等號連接。如：12300=1.23萬，123400000=1.234億。而省略一個多位數“萬”或“億”后面的尾數，是要求四舍五入取近似值，一般不僅數形發(fā)生變化，而且數的大小也改變，要用約等號連接。如：12300≈1萬，34590000000≈346億。

4.前后聯系，串點成線。

復習本身是一個“串點成線”的過程，需要理清知識結構，形成知識網絡。例如，在讀寫中間、末尾有“0”的多位數。讀數時先分級（從個位起每四位一級），再從高位起按順序讀。讀億級、萬級時，要按照個級的讀法去讀，然后再加上“億”或“萬”字。寫數時，從高位起按順序寫，每級四位，哪個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫0。在整理數的讀寫方法時就需要教師注意知識之間的聯系，讓學生復習數位順序表、數級的劃分以及計數單位的知識。

二、數的運算

（一）目標導航

【整數運算】

1.結合具體情境，體會整數四則運算的意義。

2.能熟練地口算20以內的加減法和表內乘除法，能口算簡單的百以內的加減法和一位數乘除兩位數。

3.能計算兩位數和三位數的加減法，三位數乘兩位數的乘法，三位數除以兩位數的除法。

4.認識小括號、中括號，能進行簡單的整數四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）。

5.探索并了解運算律（加法的交換律和結合律、乘法的交換律和結合律、乘法對加法的分配律），會應用運算律進行一些簡便運算。

6.在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關系。

【分數、小數和百分數運算】

1.會進行同分母分數（分母小于10）的加減運算以及一位小數的加減運算。

2.能分別進行簡單的小數和分數（不含帶分數）的加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）。

【估算和計算器】

1.能結合具體情境，選擇適當的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用。

2.經歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法。

3.在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算。

4.能借助計算器進行運算，解決簡單的實際問題，探索簡單的規(guī)律。

（二）要點提示

【加法】把兩個數合并成一個數的運算。

【減法】已知兩個數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。

【乘法】求幾個相同加數的和的簡便運算。

【除法】已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。

【整數加法計算法則】相同數位對齊，從個位加起，哪一位上的數相加滿十就向前一位進一。

【整數減法計算法則】相同數位對齊，從個位減起，哪一位上的數不夠減，就從前一位退1作10再減。

【小數加、減法計算法則】先把各數的小數點對齊（也就是把相同數位上的數對齊），再按照整數加、減法的法則進行計算，最后在得數里對齊橫線上的小數點，點上小數點。（得數的小數部分末尾有0，一般要把0去掉。）

【分數加、減計算法則】分母相同時，只把分子相加、減，分母不變；分母不相同時，要先通分成同分母分數再相加、減。

【整數乘法計算法則】把兩個因數的數位對齊；從個位起，依次用第二個因數每位上的數去乘第一個因數，乘到哪一位，乘得的積的末位就要和第二個因數的那一位對齊；把幾次乘得的數加起來。（整數末尾有0的乘法：可以先把0前面的數相乘，然后看各因數的末尾一共有幾個0，就在乘得的數的末尾添寫幾個0。）

【小數乘法計算法則】按整數乘法的法則算出積；再看因數中一共有幾位小數，就從得數的右邊起數出幾位，點上小數點；得數的小數部分末尾有0，一般要把0去掉。

【分數乘法計算法則】把各個分數的分子乘起來作為分子，各個分數的分母乘起來作為分母，然后再約分。

【整數的除法法則】從被除數的最高位除起，先看除數有幾位，再用除數試除被除數的前幾位，如果它比除數小，再試除多一位數；除到被除數的哪一位，就在哪一位上面寫上商；除到被除數的哪一位不夠商1，就在那一位的上面寫0。（每次除后余下的數必須比除數小。）

【除數是整數的小數除法法則】按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有余數，就在余數后面補零，再繼續(xù)除。

【除數是小數的小數除法法則】先看除數中有幾位小數，就把被除數的小數點向右移動幾位，數位不夠的用0補足；然后按照除數是整數的小數除法來除。

【分數除法計算法則】被除數的分子與除數的分母相乘作為分子，被除數的分母與除數的分子相乘作為分母。

【積的變化規(guī)律】在乘法里，一個因數不變，另一個因數擴大（或縮?。┤舾杀叮e也擴大（或縮?。┫嗤谋稊?。

【商不變的性質】在除法里，被除數和除數同時擴大（或縮?。┫嗤谋稊?，商不變。注意：如果是有余數的除法，被除數和除數同時擴大（或縮?。┫嗤谋稊岛?，商不變，而余數也要擴大（或縮?。┫嗤谋稊?。

【四則運算順序】在四則混合運算中，加、減法是同級運算，也是第一級運算；乘、除法是同級運算，也是第二級運算。在一個沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先做第二級運算，再做第一級運算。在有括號的算式里，要按照先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的順序運算。

（三）知識網絡

1.四則運算的意義。

2.四則運算的關系。

3.整數、小數、分數加減法計算法則的異同點。

4.運算定律和性質。

（四）智慧點撥

1.理解算理，掌握算法。

算理是指四則計算的理論依據，它是由數學概念、性質、定律等內容構成的數學基礎理論知識。算法是實施四則計算的基本程序和方法，通常是算理指導下的一些人為規(guī)定。算理為算法提供了理論指導，算法使算理具體化。學生在學習計算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地進行計算，計算的多樣性才有基礎和可能。因此，在計算教學中重視算理和算法是一個十分重要的課題。在計算教學中應十分重視讓學生理解算理，特別是讓學生在直觀形象中理解算理，讓學生不僅知道計算方法，而且要知道方法背后的原理。

2.養(yǎng)成良好的計算習慣，提高計算的速度和正確率。

計算是小學生必須掌握的基本能力。優(yōu)秀的計算能力基于良好的計算習慣，表現為正確率高、方法靈活、過程簡潔。

（1）養(yǎng)成良好的計算習慣

一個好的計算習慣，應該是“一看”、“二想”、“三細算”。一看，就是計算前要注意審題，看清題目中的數據、運算符號和算式的結構特征；二想，就是想算式的運算順序及怎樣靈活、簡便地計算；三細算，就是認真、細致地計算，包括：計算過程中注意及時核對數據、檢查過程；計算完畢，注意及時驗算，確保結果正確。

（2）提高口算和估算能力

提高口算的速度與正確率，能大大提高解題的速度與正確率。提高口算速度的小竅門有：

●熟記一些數的乘積，如25×4，125×8等。

●熟記一些分數與小數的互化，如分母是4、5、8、20的分數。

●掌握一些分數加減法的速算法，如■+■，■-■等。

估算的要領在于根據題目的數據特點，靈活選擇合適的估算方法，使估算結果更接近精確值。常用的估算方法有：

●把一個接近整數或整十（百）的數，當做整數或整十（百）數來估，如3.9×5，92×6等。

●把兩個接近整數或整十（百）的數，一個數往大估，一個數往小估，如4.7×5.3，62×48等。

●把接近特殊數據的數當做特殊數據來估，如把“24×8”估作“25×8”.

●有時初步估算的結果會與精確值有較大的差異，如把“78×13”當作“80×10”來估，就比實際結果小了214。為了使估算結果更接近精確值，有時估算后要注意調整估算的結果。

（3）正確進行簡便運算

運算定律和運算性質是進行簡便運算的基本依據，除上面提到的運算定律和性質外，“積的變化規(guī)律”和“商不變的性質”也要熟練掌握和靈活運用。

3.恰當使用計算器。

在現代生活中，計算器和計算機普及程度越來越高，這對數學教育將產生重要的影響，特別是對于計算教學的影響。應當使學生了解計算器的功能和作用，特別是知道什么樣的問題需要用計算器，以及如何使用計算器解決問題。在探索復雜的現實問題時可以使用計算器，使學生精力更多地用于思考數量關系和規(guī)律。在整理統(tǒng)計數據時也可以使用計算器。統(tǒng)計問題的重點不是在計算，而是整理與分析數據，從數據中了解特點和規(guī)律。

三、常見的量

常見的量的內容是除了與幾何知識有關的測量單位，其它的計量單位的內容，基本在第一學段出現。

（一）目標導航

1.在現實情境中，認識元、角、分，并了解它們之間的關系。

2.能認識鐘表，了解24時計時法；結合自己的生活經驗，體驗時間的長短。

3.認識年、月、日，了解它們之間的關系。

4.在現實情境中，感受并認識克、千克、噸，能進行簡單的單位換算。

5.能結合生活實際，解決與常見的量有關的簡單問題。

（二）要點提示

【量】量是事物的一種屬性，像長度、面積、體積、時間、質量等都是量。凡是量，都可以用一定的單位來量它。用一定的單位去量一個量，就得到一個數。例如：用米為單位來量南京長江大橋的鐵路橋，就得到數6772。

量的大小和表示這個量的數值的大小不能混同。量的大小本來是一定的，而數值的大小則隨著度量單位的不同而變化。如：一袋洗衣粉1000克，若以千克為單位則為1千克。

【計量】把一個暫時未知量同另一個作為標準的約定的已知量作比較，這個比較的過程就叫做計量。計量在歷史上稱為度量衡，其含義是關于長度、容積、質量、速度等的測量。

（三）知識網絡

（四）智慧點撥

1.聯系生活，精確分清概念。

常見的量比較抽象，單位之間的進率也比較復雜，但它又時時伴隨著人們的生活。要解決量的抽象性與學生思維形象性的矛盾，關鍵是依靠直觀學習和實踐活動?？衫谜n本上的插圖和具體實物，密切聯系學生的日常生活實際，通過教師的直觀演示和學生的實踐活動，調動多種感官參與，并逐步把感性認識上升為理性認識。

比如：教學千克時，可以讓學生親手掂一掂1千克重的東西，通過肌肉感覺體驗1千克的實際重量，還可以出示一些重1千克的常見物品，如一大袋洗衣粉、兩袋精鹽等，讓學生掂一掂，為他們形成1千克的重量觀念提供形象具體的支柱，以1千克的重量觀念作基礎，也便于認識質量單位噸。對于那些較大的計量單位，如千米、噸，雖說沒有明確提出初步建立表象的要求，但仍需要通過一些間接的手段，使學生獲得一些感性的認識或間接體驗。比如教學噸時，可以讓學生抬一抬10千克重的東西，并告訴他們100個10千克合在一起就是1噸，還可以根據當地的情況，讓學生看看成袋的大米、面粉或水泥等，指出多少袋的重量才是1噸，使學生對1噸的重量有一些具體的感知。

2.體現數學基本思想。

任何一個量的計量都有著類似的漫長的歷史過程，這樣的過程也是極其樸素的，在量的計量教學中，應使學生認識到。像時間的認識，年、月、日的建立都是人們在生產生活實踐中經過觀察發(fā)現建立的，對小學生來說，并不難懂。

例如：時間單位模型的建立。根據地球自轉，產生晝夜交替的現象形成了“日”的概念；根據月亮繞地球公轉，產生朔望，形成“月”的概念；根據地球繞太陽公轉產生的四季交替現象而形成了“年”的概念。

3.培養(yǎng)估計的意識與能力。

估計是對物體與測量標準間的近似關系做出判斷的過程。要使估計結果與精確結果比較接近，學生在頭腦中必須不斷地將被估計實物與測量標準相類比，不斷地調整、嘗試，直至認知結構出現平衡。類比活動的順利與否，與學生頭腦里積累的測量標準的清晰與否密切相關。因此，要鼓勵學生經常估計，幫助學生掌握一些估計的策略，讓學生在親身體驗中建構測量標準的實際意義，使估計有清晰的可類比標準。

例如：估計每分鐘脈搏跳動的次數、閱讀的字數、跳繩的次數、走路的步數。本例既可以幫助學生體驗1分鐘的長短，又是一個估計問題，需要實際測量，在測量的基礎上進行簡單計算?？梢杂腥惙椒ㄟM行實際測量：測量半分鐘，然后用測得的數據乘2；測量1分鐘；測量2分鐘，然后用測得的數據除以2。對于學有余力的學生，可以引導他們感悟第一種方法省事，但不夠準確；第三種方法費事，但可能更準確一些，這樣的練習可以幫助學生建立選擇策略的思想。

四、式與方程

（一）目標導航

1.在具體情境中能用字母表示數。

2.結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示。

3.能用方程表示簡單情境中的等量關系，了解方程的作用。

4.了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。

（二）要點提示

“式與方程”主要涵蓋以下三個知識要點：

1.用字母表示數。

【式子】用數學符號來表達某種運算的關系式。如：算式、等式、不等式、方程等。

認識用字母表示數的意義和作用，能夠用字母表示學過的運算定律和計算公式，能夠在具體的情境中用字母表示數和數量關系。會根據字母所取的值，求含有字母式子的值。

2.解簡易方程。

【等式】表示相等關系的式子叫等式。如：2+3=5等。

【方程】含有未知數的等式叫方程。如3x+5=23，2x+3x=40等。

【等式的基本性質】等式的兩邊加上或減去相等的數，等式不變；等式兩邊同時乘或除以相同的數（0除外），等式不變。

【方程的解】使方程兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。如：x=6就是方程2x+5=17的解。

【解方程】求方程的解的過程叫做解方程。如：x=6就是方程2x+5=17的解，求x=6的過程就是解方程。

明確“等式”、“方程”、“方程的解”、“解方程”的含義，會用方程表示簡單情境中的等量關系，理解會用等式的性質解簡易方程。

3.列方程解決實際問題。

用簡易方程解決一些實際問題，能根據具體情況，靈活選擇算法。

上述三個知識要點中，“用字母表示數”是學習方程的基礎，“方程的意義”是學習“解簡易方程”的基礎，“列方程解決實際問題”則是“解簡易方程”的發(fā)展。

（三）知識網絡

（四）智慧點撥

從數到代數是數學表征的一次飛躍，數對于它所代表的具體事物來說是抽象的，而用字母表示數是又一次抽象。對于小學生來說，初步建立代數的思想具有一定的挑戰(zhàn)性。從具體的情境中使學生感知字母表示數的含義，并了解這種表示方法的作用。進而，初步體驗符號在數學表示中的作用，初步建立符號意識。

1.掌握規(guī)則，準確進行簡寫。

用字母表示數在寫法上有一定的規(guī)則。當字母與數字、字母與字母相乘時，中間的乘號可以記作“·”或省略不寫；數字與字母相乘時通常把數字放在前面，如a×5或5×a寫成5·a或5a；“1”與字母相乘時，“1”可以省略不寫，如1×a就直接寫成a。相同的兩個字母相乘時用“平方”表示，如a×a的簡寫是a2，讀作“a的平方”，表示兩個a相乘。a2與2a是不同的，2a表示兩個a相加，即a+a。同樣a3與3a也不同，a3讀作“a的立方”，表示3個a相乘，即a×a×a；而3a表示3個a相加，即a+a+a。需要注意的是字母中間的其它運算符號不能省略。

2.把握要點，清晰區(qū)分概念。

“式與方程”中概念雖然不多，但容易混淆。

等式與方程。表示相等關系的式子叫等式。含有未知數的等式叫方程。判斷一個式子是不是方程有兩個條件：一是含有未知數；二是等式。所以方程一定是等式，但等式不一定是方程。如：2a>5雖然含有未知數，但不是等式，所以不是方程。3+5=8雖然是等式，但它不含有未知數，所以不是方程。

方程的解和解方程。使方程左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解。求方程的解的過程叫解方程。需要注意的是方程的解與解方程是兩個不同的概念，方程的解是一個可以使方程兩邊相等的未知數的值，是一個數值，解方程則是求方程的解的過程。如：x=6就是方程2x+5=17的解，求x=6的過程就是解方程。

3.理解題意，列出簡易方程。

簡易方程引入的價值在于，為學生提供用代數方法解決問題的途徑。小學階段解決問題的基本方式是算術方法?；镜臄盗筷P系模型有兩個：一是求和的關系（部分+部分=整體）；二是求積的關系（每份數×份數=總量）。具體的表現為加、減、乘、除的意義。算術方法解決問題基本上是根據加、減、乘、除四則運算的含義，分析題中的數量關系，列出一個算式。這個算式是將已知的數量構成的算式使其結果等于所求的數量。而用方程來解這樣的題，可以先用字母表示要求的量，將其看作已知數再根據等量關系列出方程。例如，某班共有學生45人，其中男生有22人，女生有多少人？用算術方法，就是45-22直接列式求要求的量。用方程解，可以先用字母x表示女生的人數，按照數量關系，可以列出方程22+x=45。方程直接用“部分+部分=整體”的思路，x在這里和其它數一起在解題過程中運用，而算術方法是求和的逆運算。在解決較為復雜的問題時，方程與算術方法有著明顯的區(qū)別。

4.掌握等式性質，解簡易方程。

對于解方程《課程標準（2011年版）》明確“用等式的性質解簡單的方程”。等式的性質是“等式的兩邊加上或減去相等的數，等式不變；等式兩邊同時乘或除以相同的數（0除外），等式不變?！彼从沉朔匠痰谋举|，將未知數和已知數同等看待，這也是代數思維與算術思維的基本區(qū)別。一開始從算術方法到代數方法可能顯得比較繁瑣，特別是對于簡單的數量關系，算術的方法操作起來更容易一些。但在解簡單方程時還是應當用等式性質，一方面體現代數方法的本質，另一方面是與初中學習方程的思想保持一致。

五、正比例、反比例

正比例和反比例是一類常用的數量關系，這部分內容的學習是函數思想在小學的體現。

（一）目標導航

1.在實際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡單的問題。

2.通過具體情境，認識成正比例的量和成反比例的量。

3.會根據給出的有正比例關系的數據在方格紙上畫圖，并會根據其中一個量的值估計另一個量的值。

4.能找出生活中成正比例和成反比例關系量的實例，并進行交流。

（二）要點提示

【比】兩個數相除又叫兩個數的比。

【比的基本性質】比的前項和后項同時乘或者除以相同的數（0除外），比值不變。

【按比例分配】在工農業(yè)生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種分配方法通常叫做按比例分配。

【比例】表示兩個比相等的式子叫做比例。組成比例的四個數叫做比例的項，兩端的兩個叫外項，中間的兩個叫內項。

【比例的基本性質】在比例里，兩個內項的積等于兩個外項的積。

【比例尺】圖上距離和實際距離的比，叫做一幅圖的比例尺。

圖上距離：實際距離=比例尺 或 ■=比例尺

【成正比例的量】兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值（一定），正比例關系可以用下面的式子表示：■=k（一定）

【成反比例的量】兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。

如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的積（一定），反比例關系可以用下面的式子來表示：

x × y = k （一定）

（三）知識網絡

1.比和比例。

2.分數、除法、比的關系。

3.求比值與化簡比的區(qū)別及聯系。

4.正、反比例的判斷。

（四）智慧點撥

1.緊密聯系生活實際。

正比例和反比例的關系本質上是函數關系，小學階段并不出現函數的概念，是讓學生具體地感知兩個量之間的關系。一是使學生對數量關系的認識和理解更豐富，二是為第三學段進一步學習正比例函數和反比例函數，以及學習一般的函數知識做準備。學習中要與實際生活緊密聯系，從數量之間關系的角度，理解和掌握兩個量之間的變化規(guī)律。

2.理清基本概念。

比例、正比例、反比例是這部分的幾個基本概念，十分重要。學習比例的相關知識以及比例的應用都有賴于對這些概念的理解和掌握。如解答含正反比例關系的實際問題，首先要對兩個量成何比例做出判斷，然后依據正比例或反比例數量關系的特點解答。再如，比例尺的應用及圖形的放大與縮小，都要依據比例的意義進行相關的計算。教學中要通過觀察、比較、判斷、歸納等方法幫助學生建立明晰的概念，把握概念的內涵。同時通過應用，不斷加深對這些概念的理解和掌握。

3.提高綜合運用知識的能力。

這部分的知識綜合性比較強，如比例的概念與比、除法、分數等相關知識，解比例及用比例方法解決問題，要用到方程的相關知識。所以學習中既要注意新舊知識的聯系，又要注意發(fā)展學生綜合運用知識的能力。

六、探索規(guī)律

（一）目標導航

探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢。

（二）要點提示

1.探索規(guī)律。

探索給定圖形或數字中隱含的簡單規(guī)律。

2.排列組合。

有順序地、全面地找出事物的排列數和組合數。如用三張數字卡片組成三位數，找出不同三位數的排列數；兩件上衣和三條褲子不同搭配，找出不同穿法的組合數。

3.邏輯推理。

能根據已知條件通過判斷推出結論。

4.集合思想。

用集合圈準確分類，直觀、形象地表示出數學概念，用集合的思想方法解決簡單的實際問題。

5.等量代換。

明確等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，在解決實際問題的過程中體會等量代換的思想。

6.統(tǒng)籌優(yōu)化。

從優(yōu)化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案。

7.植樹問題。

找準總數和間隔數之間的關系，能根據不同的情況總結出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決類似的實際問題。

8.數字編碼。

會用數字或者符號進行編碼，準確地表示出事物蘊含的客觀規(guī)律。

9.雞兔同籠。

用“假設法”和列方程的方法解決雞兔同籠問題。

（三）智慧點撥

小學階段的“數學思考”由各冊教材的“數學沖浪”和“探索樂園”組成。與其它的內容不同，它側重于數學思想方法，側重于尋找解決問題的策略，側重于訓練數學思維、發(fā)展邏輯思維能力。與學習其它內容不同，學習這部分知識時更強調“理解”、“體會”和“感悟”，所以復習時我們更需要注意溫故而知新，進一步加深理解和體會。

1.全面回顧，系統(tǒng)梳理。

我們對數學知識的理解，由淺入深，由此及彼，進而認識相關知識之間的內在聯系，這個過程不是一次就能完成的，需要有個反復。所以，進行一次系統(tǒng)的、全面的回顧與整理是十分必要的。教材的“找規(guī)律”是探索給定圖形或數中簡單的排列規(guī)律。“探索樂園”中滲透了排列、組合、集合、等量代換、邏輯推理、統(tǒng)籌優(yōu)化、數字編碼、雞兔同籠等方面的數學思想方法。

2.尋找規(guī)律，以簡馭繁。

數學思想方法看上去很抽象，很繁雜，其實它是有規(guī)律可循的。數學思想方法是神奇的，它可以化難為易，幫助我們解決問題。教材中的每一個例子，都是數學思想方法的“形象化身”，因此，我們要真正弄懂每一個例子，領會其所蘊含的數學思想，明白其中的道理。

如“植樹問題”關鍵要分清是段數和棵數，分清兩端是否都植樹；“排列、組合”的要領是有序、不重復、不遺漏；“雞兔同籠”是假設的思想或用方程來做找出等量關系……可見，每一類數學思想方法都有相應的要領、思路和方法，關鍵在于我們要善于把握規(guī)律，化繁為簡，以簡馭繁。

3.聯系生活，學以致用。

數學思想方法的應用在生活中隨處可見。車票種類問題的排列數，體育比賽的場次設定，電話號碼超過多少就要升位等需要用到排列組合的知識；外出旅行怎樣選擇路線和交通工具，才能使旅行所需費用最少，這些屬于優(yōu)化問題。汽車的車牌號、火車的車次、人們的身份證號等都離不開數字編碼思想……只要我們擁有一雙善于觀察的眼睛，你會發(fā)現生活中處處離不開數學。從這些生活原型中提取數學元素，運用數學思想方法解釋這些生活現象，真正做到學以致用，才是學習數學的最終目的。

第二部分圖形與幾何

一、圖形的認識

（一）目標導航

1.結合實例了解線段、射線和直線。

2.體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。

3.結合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系。

4.知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系。

5.認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

6.通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊，三角形內角和是180°。

7.通過觀察、操作，認識長方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓。

8.能辨認從不同方向（前面、側面、上面）看到的物體的形狀圖。

9.通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的展開圖。

（二）要點提示

【點、線、角】

●從一點出發(fā)可以畫無數條射線。過一點可以畫無數條直線，過兩點只能畫一條直線。

●直線沒有端點，可以向兩端無限延伸，所以長度無法測量。射線有一個端點，可以向另一端無限延伸，所以長度也無法測量。線段有兩個端點，長度可以測量。

●從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點。這兩條射線叫做角的邊。角的大小與兩邊張開的大小有關，與兩邊的長短無關。

●角的分類及特征

【平面圖形】

●三角形

由三條線段首尾順次相接圍成的封閉圖形叫三角形。

三角形任意兩邊的和大于第三邊。三條線段，如果兩條短邊之和大于第三邊，則一定能圍成三角形。

三角形內角和是180°。一個三角形至少有兩個銳角。

三角形具有穩(wěn)定性。

●四邊形

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形。

只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

●圓

當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓。根據定義，通常用圓規(guī)來畫圓。

圓是曲線圖形。

在同一個圓中，所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等。

【立體圖形】

●長方體和正方體

長方體是由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。在一個長方體中，相對的面完全相同，相對的棱長度相等。

正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形。正方體是特殊的長方體。

●圓柱和圓錐

圓柱的兩個圓面叫做底面；周圍的面叫做側面；兩個底面之間的距離叫做高。

圓柱的側面是曲面，展開后可能是長方形，也可能是正方形，還可能是平行四邊形。

圓錐有一個頂點，圓錐的底面是個圓，從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

（三）知識網絡

1.基本圖形分類及關系。

基本圖形線線段射線直線平行線垂線角銳角、直角、鈍角平角、周角

2.平面圖形的分類及關系。

3.立體圖形的分類及特征。

（四）智慧點撥

“圖形的認識”這部分內容基本概念多，對空間想象的能力要求高，復習時一定要注意方法技巧。建議試一試下面的四個方法：

1.抓關鍵詞，加深概念理解。

由于幾何知識的學習起步早，初學時學生的理解和接受能力不夠，以及知識遺忘等原因，學生對“基本概念”的理解往往存在著模糊或錯誤的認識。如“直線比射線長”，“不相交的兩條直線叫做平行線”等。因此，在復習時要注意抓關鍵詞來強化對比辨析，從而加深理解、澄清認識，不僅溫故而且知新。

如：“梯形”概念中的“只”字；“兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形”中的“完全一樣。”；平行線概念中“同一平面內”等等這些關鍵詞對深入理解概念就很重要。

2.對比辨析，突出概念的特征。

如：線段“有始有終”，射線“有始無終”，直線“無始無終”。平行四邊形和梯形的概念對比，不難發(fā)現平行四邊形是兩組對邊平行且相等，而梯形是只有一組對邊平行。這樣就突出了這兩個概念的不同點。

3.巧用集合圈，明晰圖形之間的關系。

通過這些集合圈，我們就能清晰地明白不同圖形之間的包含關系，便于知識點之間關系的掌握、運用。

4.動手操作，深入理解圖形形成過程。

如：在理解圓柱和圓錐的形成過程時，一定用一張長方形紙像下（圖一）這樣旋轉一周，然后想象圓柱形成的過程，這樣就能幫助理解什么是圓柱的高、圓柱的側面是一曲面、圓柱的高有無數條這些相對抽象的知識點了。再如圓錐的形成（圖二）、圓錐側面展開圖是一扇形（圖三）這些知識點都可以通過動手操作來深入理解。

二、測量

（一）目標導航

1.在實踐活動中，體會并認識長度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進行簡單的單位換算，能恰當地選擇長度單位。

2.結合實例認識周長，并能測量簡單圖形的周長，探索并掌握長方形、正方形的周長公式。

3.探索并掌握長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實際問題。

4.能用量角器量指定角的度數，能畫指定度數的角，會用三角尺畫30°，45°，60°，90°的角。

5.知道面積單位：千米、公頃。

6.通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式；探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題。

7.會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積。

8.通過實例了解體積（包括容積）的意義及度量單位（米3、分米3、厘米3、升、毫升），能進行單位之間的換算，感受1米3、1厘米3以及1升、1毫升的實際意義。

9.結合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計算方法，并能解決簡單的實際問題。

10.體驗某些實物（如土豆等）體積的測量方法。

（二）要點提示

【周長】圍成一個平面圖形所有邊長的總和。

【面積】指物體表面或圍成的平面圖形的大小。

【表面積】物體表面的總面積叫做物體的表面積。

【體積】物體所占空間的大小叫做物體的體積。

【容積】倉庫或容器所能容納物體的體積叫容積。容積單位一般用體積單位。當計算能容納的物體是液體時，常用升、毫升作單位。

【體積和容積的異同點】容積的計算方法跟體積的計算方法相同，但要從容器的里面量長、寬、高，而計算體積要從外面量長、寬、高。

【測量的單位及進率】

（三）知識網絡

1.平面圖形的周長和面積計算公式。

2.立體圖形的表面積和體積計算公式。

立體圖形長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2體積=長×寬×高正方體表面積=棱長2×6體積=棱長3圓柱表面積=底面積×2+側面積 （側面積=底面周長×高）體積=底面積×高圓錐：體積=底面積×高×■

（四）智慧點撥

“測量”這部分內容不僅對空間想象的能力要求高，涉及到的計算公式很多，而且與生活聯系緊密，習題富有變化，因此，在學習這部分內容時一定要活學活用，注意方法。

1.試用倒說法，深刻理解結論內涵。

對于重要的結論，我們還可以通過“倒說法”，即顛倒“前提”和“結論”，倒之則錯，來強化對結論的理解。如“等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的三分之一”，倒說成“如果圓錐的體積是圓柱體積的三分之一，那么它們一定等底等高”，說法就是錯誤的。

2.借助表格，突出公式之間的聯系。

在前面知識點梳理的過程中，大家可以借助表格，把知識梳理成網、串點成線的過程中，清晰地發(fā)現不同的平面圖形的周長和面積計算公式、不同立體圖形的表面積和體積計算公式之間的區(qū)別和聯系。這樣強化對比，突出不同，對理解公式，靈活運用公式解決問題是非常必要的。

3.突出想象，形成畫圖習慣。

圖形與幾何離不開想象，但單純依靠想象，事倍功半。如果“想象”與“畫圖”結合起來，才能事半功倍，因為畫圖能幫助我們把抽象的具體化，把不易理解的形象化。一個喜歡畫圖的人，一定是善于想象的人。

如：把一個正方體切成兩個長方體，表面積就增加了8平方米。原來正方體的表面積是多少平方米？

如果只憑想象，做起來比較困難。按照題意畫圖，可以幫助我們思考，找出解決問題的方法來。按題意畫立體圖：

從圖中不難看出，表面積增加了8平方米，實際上是增加2個正方形的面，每個面的面積是8÷2=4（平方米）。原正方體是6個面，即表面積為4×6=24（平方米）。

再如：用3個長3厘米、寬2厘米、高1厘米的長方體，拼成一個大長方體。這個大長方體的表面積是多少？

按題意畫立體圖來表示，三個長方體拼成的大長方體有以下三種情況：

（l）拼成長方體的長是2×3=6（厘米），寬3厘米，高1厘米。表面積為（6×3+6×l+3×l）×2=54（平方厘米）。

（2）拼成長方體的長是3×3=9（厘米），寬2厘米，高1厘米。表面積為（9×2+9×1+2×1）×2=58（平方厘米）。

（3）拼成長方體的長是3厘米，寬是2厘米，高是1×3=3（厘米）。表面積為（3×2+3×3+2×3）×2=42（平方厘米）。

這道題有以上三種答案，通過畫圖起到審題和理解題意的作用。

4.領會過程，感悟數學思想。

比知識重要的是方法，比方法重要的是思想。數學學習不僅要掌握知識，學會方法，還要感悟蘊涵在數學知識形成、發(fā)展和應用過程中的數學思想。這部分內容，最值得玩味的是“轉化”的數學思想。通過轉化，用舊知識解決了新問題；通過轉化，無從下手的問題會變得易如反掌。因此，這里的“領會過程”包含了兩個過程：一是公式的推導過程，對于公式推導過程中的轉化思想和方法，我們頭腦中要能清晰地再現。請根據下列圖形面積公式或體積公式的推導過程來進一步感悟“轉化”思想的奇妙吧！

二是解決問題的過程，對于解決問題過程中的轉化思想和方法，我們也要掌握要領、學會靈活應用。

5.聯系實際，解決生活問題。

計算公式是死的，生活問題是活的。解決問題一定要聯系生活，聯系實際，具體問題具體分析，不可硬套公式，要靈活應變。

以“表面積計算”為例，首先要根據生活嘗試進行判斷：計算的對象缺不缺面？缺的是哪個面？有的是缺上面，如游泳池、火柴盒的內匣；有的是上下面都缺，如豎立的通風管、兩層樓之間的立柱；還有的可能缺某個側面等等。再比如“取近似值”計算制作水桶的材料，要用“進一法”；計算水桶的容積，要用“去尾法”。這些都需要根據具體問題和生活常識，作出正確的判斷和選擇。否則，就可能鬧出一些笑話。

三、圖形的運動

（一）目標導航

1.通過觀察、操作等活動，進一步認識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形。

2.通過觀察、操作等，在方格紙上認識圖形的平移與旋轉，能在方格紙上按水平或垂直方向將簡單圖形平移，會在方格紙上將簡單圖形旋轉90°。

3.能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小。

4.能從平移、旋轉和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設計簡單的圖案。

（二）要點提示

【平移】在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小。決定平移后圖形位置的關鍵有兩個：一是平移的方向；二是平移的距離。

【旋轉】在平面內，將一個圖形繞一個定點，沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角，旋轉不改變圖形的形狀和大小。決定旋轉后圖形位置的關鍵有兩個：一是旋轉的方向；二是旋轉的角度。

【放大與縮小】圖形的放大與縮小是指按“一定的比”放大或縮小——前項為1是縮小，后項為1是放大。把一個圖形按一定的比放大或縮小，只要把圖形的各邊按一定的比放大或縮小。如按2：1放大，只要把圖形的各邊放大到原來的2倍（面積為原來的4倍）；按1：3縮小，只要把圖形的各邊分別縮小到原來的■（面積為原來的■）。

圖形的放大與縮小，只改變圖形的大小，不改變圖形的形狀。

【軸對稱圖形】如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

（三）知識網絡

1.平移與旋轉的方法。

2.一些常見平面圖形的對稱軸。

3.圖形的運動與變換的分類方式。

圖形的運動與變換變換圖的位置平移旋轉改變圖形的大小縮小放大對稱軸對稱軸對稱圖形

（四）智慧點撥

小學階段，學生對“圖形的運動”定位有了感性體驗、初步認識。觀察、動手操作是學好這部分內容的重要方法和手段，因為兒童的抽象思維需要具體形象思維與生活經驗給予支撐，對感知圖形運動這些抽象概念來說尤其重要。因此在教學過程中，一定注意以下方法來輔助理解這部分內容。

1.結合生活實例，在觀察與比較中認識圖形的運動。

在生活中有很多圖形或圖案呈現出對稱、平移或旋轉的形式，通過對稱、平移、旋轉變換，同樣可以設計制作美麗的圖案。因此，在教學中，多收集一些這樣的素材，通過學生的觀察、比較，引導學生從運動變化的角度去發(fā)現不同的圖形變換。

例如，教學“圖形的變換”時為豐富教材中的典型素材，注意融入了像道閘、車輪、鐘擺等素材并利用信息技術動態(tài)呈現，讓學生進一步感知旋轉現象。在教學 “軸對稱變換”時，可借助下面一組學生在生活中喜聞樂見的民族特點濃厚的素材。這樣做，一方面有利于激發(fā)學生學習圖形運動的興趣，另一方面使學生進一步體會到數學與生活的密切聯系，發(fā)展學生的概括能力。

2.借助操作活動，加深對圖形運動的認識，幫助學生體會變換的特征。

加強學生的操作活動，也是提高圖形變換教學成效的一個策略。操作是一種重要的實踐活動。圖形變換的操作主要是在方格紙上畫一個圖形經某變換后的圖形和剪對稱圖形。應鼓勵學生動手操作，并在操作過程中積極思考，發(fā)展思維能力。

如教學“線的旋轉”環(huán)節(jié)，讓學生通過用鉛筆表示線段在桌面方格中以三種不同的旋轉中心（鉛筆尖、鉛筆尾與鉛筆中點）進行旋轉。來感悟旋轉中心可以是線段上的任意一點，為后面在方格紙上畫線段提供實物支撐。

3.注重從變換的角度引導學生欣賞圖形、設計圖案。

學習圖形與變換內容的一個重要目的是使學生運用數學的眼光看待現實世界。因此，教學中應鼓勵學生從變換的角度欣賞圖形，設計圖案。例如，“感悟旋轉的應用”時，教師可以借助信息技術，動態(tài)呈現一些基本圖形旋轉后形成的美麗圖形和圖案，鼓勵學生從變換的角度欣賞圖形與圖案，感受其中蘊涵的對稱美、和諧美、簡明美。還可以把在生活中隨處可見的美麗圖案展示出來，學生在觀察這些圖案時，不難發(fā)現其中包含的熟悉的圖形，就會運用數學的眼光分析圖案的組成，識別不同基本圖形的變換過程，從而激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，發(fā)揮自己的個性和創(chuàng)造力，親自動手設計圖案。

4.在解決問題中注重“圖形的運動”和相關知識的聯系，發(fā)展空間想象力和解決問題的能力。

①從變換角度認識圖形。在認識圖形的教學過程中可以借助變換，動態(tài)直觀地刻畫圖形的屬性。例如：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓、長方體、正方體、圓錐等圖形，在認識它們的特征時可以通過平移、旋轉、對稱的變換，清晰直觀地發(fā)現圖形隱含著的特點。

②從變換的角度理解度量。小學階段，在平面幾何和立體幾何的面積和體積公式的推導過程中，時刻都能感受到變換的重要作用。三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式的推導過程中，會用到拼湊、割補等多種推導的方法，這些方法的實質是圖形的變換。

四、圖形與位置

（一）目標導航

1. 會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。

2. 給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨認其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向，會用這些詞語描繪物體所在的方向。

3.了解比例尺；在具體情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算。

4.能根據物體相對于參照點的方向和距離確定其位置。

5.會描述簡單的路線圖。

6.在具體情境中，能在方格紙上用數對（限于正整數）表示位置，知道數對與方格紙上點的對應。

（二）要點提示

【根據方向和距離確定位置】

●用上、下、前、后、左、右來確定位置，主要用來確定現實空間中物體的位置。

●用東、南、西、北、東南、東北、西南、西北八個方位來確定位置，或用方向和距離結合起來確定位置，既可以用來確定現實空間中物體的位置，又可以用來確定平面圖上物體的位置。

●根據方向和距離確定位置的方法。

先確定方向，再確定距離。

確定物體所在的方向，除正東、正南、正西、正北和東北、東南、西北、西南八個方向外，生活中一般我們先說與物體所在方向離得較近（夾角大小）的方位。如下圖，描述學校的方向和位置，一定首先確定觀測點。如果是以小明家為觀測點，那學校的方位，一般說成“在小明家的北偏東30°400米的地方”，不說成“東偏北60°”。

【用數對表示位置】

用數對來確定位置，主要用來確定平面圖上物體的位置。

用數對表示位置的規(guī)則：先列后行。橫排為行，豎排為列。確定第幾列，一般從左往右數；確定第幾行，一般從前往后數（方格紙上從下往上數）。

（三）知識網絡

（四）智慧點撥

“圖形與位置”這部分教學的總體建議：空間與人類生存和居住密切相關，了解、探索和把握空間，能使學生更好地生存、活動和成長。“圖形與位置”的內容是“空間觀念”在教材中的具體呈現，因此，發(fā)展學生的空間觀念是“圖形與位置”教學的核心目標。

在“圖形與位置”的教學中，如何更好地發(fā)展學生的空間觀念呢？在此有三點建議：

1.充分利用學生的生活經驗。

學生的空間知識來自于豐富的現實原型，與現實生活關系非常緊密，這是他們理解和發(fā)展空間觀念的寶貴資源。讓學生在“教室里”、“校園內”、“電影院中”、“上學路上”等熟悉的情境中學習“位置與方向”的內容，不僅可以激發(fā)學習的興趣，而且有利于更好地認識空間，發(fā)展空間觀念。

2.讓學生經歷生活，經歷回憶、觀察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活動過程。

發(fā)展空間觀念的途徑是多樣化的，在教學中教師只有讓學生經歷了多樣化的數學活動過程，才能逐步發(fā)展空間觀念。

3.倡導自主探索與合作交流的教學方式。

以被動的聽講和練習為主的方式，很難形成空間觀念。培養(yǎng)空間觀念需要大量的實踐活動，學生需要有充分的時間和空間去經歷多樣化的數學活動過程，這不僅需要自主探索、親身體驗，更需要合作交流。

如：上海在北京南偏東30度方向上（如下圖），這是以北京為觀測點。如果以上海為觀測點，上海與北京這一相互位置關系也可以換成下面說法：

北京在上海北偏西30度

方向上

教學中教師應加強對比，

讓學生體會到選準觀測點的

重要性。

第三部分 統(tǒng)計與概率

一、簡單數據統(tǒng)計過程

（一）目標導航

1.會根據實際問題設計簡單的調查表，能選擇適當的方法收集數據，并把數據記錄在統(tǒng)計表中；會進行數據的收集、整理、描述和分析。

2.認識條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖；能用條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖直觀且有效地表示數據。

3.理解平均數的意義，會用平均數、眾數、中位數等統(tǒng)計量描述數據的不同特征。

4.能從報紙雜志、電視等媒體中有意識地獲得一些數據信息，并能讀懂簡單的統(tǒng)計圖表。

5.能解釋統(tǒng)計結果，根據結果作出簡單的判斷和預測。

（二）要點提示

【平均數】表示數據集中程度的一個統(tǒng)計量。用該組數據的總和除以該組數據的樣本總數得到的商。

【中位數】把一組數據從大到小（或從小到大）依次排列，處在中間位置的一個數據或兩個數據的平均數，叫做這組數據的中位數。

【眾數】一組數據中出現次數最多的那個數值叫做這組數據的眾數。

（三）知識網絡

1.統(tǒng)計活動過程。

2.統(tǒng)計圖的特點和作用。

用統(tǒng)計圖表示有關數量之間的關系，比統(tǒng)計表更加形象具體，使人一目了然，印象深刻。它們各自的特點和作用見下表：

3.選擇合適的統(tǒng)計量。

平均數、中位數、眾數三個統(tǒng)計量意義不同，特點和適用范圍也不同，詳見下表。

（四）智慧點撥

1.填寫復式統(tǒng)計表的表頭時要注意不要漏了項。要注意橫格與豎格所表示的項目內容。填寫分段數據時，數據分段要勻，不要有重疊。

2.在用復式條形統(tǒng)計圖和復式折線統(tǒng)計圖表示數據時，要注意用不同的條形或折線加以區(qū)分，并注明圖例。

如：

3.在用折線統(tǒng)計圖表示數據時，如果橫軸上的數據不是相等的，要注意間隔和所表示的數據成比例。

如，某市無線電一廠產值增長情況如下：

用折線統(tǒng)計圖表示上面的數據時，要注意2003年到2006年是3年，2010年到2011年是1年，其他的是2年間隔。

4.平均數、中位數、眾數這三個統(tǒng)計量各有優(yōu)勢，在實際問題中需要選擇合適的統(tǒng)計量去描述數據的集中趨勢。

如：有一家鞋店，最近銷售各種尺碼鞋的數量為31雙，其中各種鞋的銷售量如下表：

為這家鞋店提供進貨建議時，我們可以看到，在鞋的尺碼組成的一組數據中，21是這組數據的眾數，21碼的鞋子銷量最大，所以建議鞋店多進21碼的鞋子。

二、隨機現象發(fā)生的可能性

（一）目標導航

1.感受簡單的隨機現象；能列出簡單的隨機現象中所有可能發(fā)生的結果。

2.感受隨機現象結果發(fā)生的可能性是有大小的；能對一些簡單的隨機現象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并能進行交流。

（二）要點提示

【確定現象】生活中會遇到很多事件，有些事件的結果是可以預知的，包括一定會發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件，我們稱此類事件叫確定現象。通常用“一定”或“不可能”來描述這類現象。

【隨機現象】生活中的有些事件發(fā)生的結果是不確定的，如擲一枚硬幣，正面向上還是反面向上；射擊時，是中靶還是脫靶；某一天，有可能下雨，也有可能不下雨等事件。在一定條件下是否發(fā)生，不能預先確定，這就是隨機現象。通常用“經常”、“偶爾”或 “可能”等詞來描述這類現象。

【等可能性】指事件發(fā)生的可能性相同。

（三）智慧點撥

1.分辨可能性的大小。在分辨可能性大小的問題中，最常用的方法是將所有可能的情況都列舉出來，哪種情況出現次數越多，其發(fā)生的可能性就較大。

如：一個袋子中放著2個紅球，1個黃球，1個白球，這幾個球的形狀和大小完全一樣。從袋子中任意摸出一個，摸到哪種球的可能性大？

分析：要判斷摸到哪種球的可能性大，首先要將從袋子中摸出一個球的所有可能情況列舉出來。袋子中有4個形狀大小完全相同的球，任意摸出一個球，這4個球被摸到的可能性是相等的，所以一共有4種可能結果，而袋子中裝有2個紅球，即紅球出現的次數多，因此摸到紅球的可能性就大。

第四部分 綜合與實踐

（一）目標導航

1.結合實際情境，體驗發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的過程。

2.在給定目標下，感受針對具體問題提出設計思路、制訂簡單的方案解決問題的過程。

3.通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯系，感受數學在日常生活中的作用，獲得數學活動經驗。

（二）智慧點撥

1.認真審題，篩選提取有用信息。

綜合與實踐內容涉及面廣，題材選擇開放，題型千變萬化，表達形式活潑，信息資源豐富。因此，在解決問題前需要我們認真審題，從數學的角度去觀察、發(fā)現、收集信息，并對所有信息進行篩選，提取有用數學信息，明確題目要我們做什么。

2.迅速思考，及時填補知識空隙。

明確問題后要迅速思考這道題屬于哪類數學問題，需要運用哪些數學知識和方法，然后按照解決此類問題的一般方法與步驟去解決。解決綜合性較強的問題的難點在于利用現有知識往往不能直接解決，現有知識和現實問題之間存在“空隙”，解題時要迅速找到兩者之間的橋梁，及時填補知識上的空隙。

3.仔細分析，注意整合多種方法。

綜合與實踐類問題往往不是用哪一種方法就能解決的，它需要多種數學方法的參與，要注意運用列表、假設、倒推等多種策略去嘗試解決那些綜合程度較高的題目。

4.“綜合與實踐”這類問題將綜合運用“數與代數”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”等知識和方法解決問題，會顯示出一個人多方面的能力，比如：搜集數據的能力、分析篩選數據的能力、課外調查的能力、與他人合作解決問題的能力等。

例如，某班計劃清明節(jié)春游踏青，應該到哪出游呢？應該選擇什么樣的出行工具呢？所需要的費用大概是多少呢？

解決這一問題，需要提前進行充分的調查、論證，一起商討出一個比較合理的清明節(jié)春游踏青方案。通常我們可以采用下面的流程來嘗試解決。

首先，我們應該把出行目的地的選擇和出行路線的設計、出行工具的選擇、門票的費用和其它方面的費用等進行工作的分工。

其次，由每一組同學分別就自己負責的內容進行數據的調查。比如：負責目的地選擇的一組同學要把我們可能去的符合大家需要的所有目的地情況進行匯總，列出每個目的地的優(yōu)勢與劣勢；負責選擇出行工具的同學，要對不同的出行工具的優(yōu)勢與劣勢、所需的費用、同一種工具不同公司的報價調查清楚，同時還要根據幾個不同目的地的位置，設計出幾種相應的乘車路線供大家選擇；而負責各種費用的組的同學，則需要對除了出行工具之外的所有費用進行估計，可能要包含：門票、飲食、藥品等許多類別，另外，飲食方面的調查需要考慮到全班學生的愛好、營養(yǎng)的搭配、是否便于攜帶等因素。

第三，以上各組要把本組調查后的數據提交全班交流，由全班同學一起篩選，拿出一個讓全班大多數人比較認可的初步方案。

第四，各組同學按照全班初定的方案，重新進行各種數據的補充調查。

最后，大伙一起商討出一個比較完善的清明節(jié)春游踏青方案。

在清明節(jié)春游踏青方案實施過后，所有的學生最后可以通過多種不同的形式展示自己在參與前期調查以及整個方案實施中和實施后的收獲，比如：手抄報、PPT、實驗報告和小論文等方式均可。對這個問題的設計和探討，有利于學生提高收集、整理信息的能力，并使其養(yǎng)成與他人合作的意識。