刁克

【設(shè)計(jì)說明】

教師以一次觀影之旅為主線，將學(xué)生自然地帶入一種數(shù)學(xué)情境，在這個(gè)情境中讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、合作探究有關(guān)不等關(guān)系在生活中的實(shí)際問題。通過對(duì)問題環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的設(shè)置，教師用幽默的教學(xué)語(yǔ)言和輕松的教學(xué)形式讓學(xué)生情緒放松，在不知不覺中感受數(shù)學(xué)的魅力和解決數(shù)學(xué)問題的愉悅。教學(xué)過程充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在體驗(yàn)、參與、研究學(xué)習(xí)中，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，積極改善自己的交際能力和培養(yǎng)與他人的合作能力，最大限度地開發(fā)學(xué)生的潛能，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望和興趣。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過具體情景，知道日常生活中存在著大量的不等關(guān)系。

2.以問題代替例題，學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題學(xué)會(huì)列出不等關(guān)系及使用不等關(guān)系解決具體問題。

3.通過自主發(fā)現(xiàn)、小組討論、合作探究等學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯推理能力。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：通過具體情景，建立不等式模型。

難點(diǎn)：用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系。

【教學(xué)過程及意圖】

1.引入。

師：同學(xué)們好，我對(duì)揚(yáng)州的印象是從李白的一首詩(shī)開始的。

故人西辭黃鶴樓，煙花三月下?lián)P州。

孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長(zhǎng)江天際流。

看到這么多人來聽課，我們先來看看煙花三月?lián)P州的美麗的風(fēng)景，大家放松一下緊張的情緒。

2.生活中的不等關(guān)系。

師：看看今天天氣、車況、乘車條件。（播放幻燈片）

師：還有同學(xué)能夠補(bǔ)充嗎？

生：有胎壓、限速、限重、天氣、身高、體重和酒駕、醉駕。

師：那么能不能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或數(shù)學(xué)符號(hào)把它們表達(dá)出來呢？

生：今天的溫度2℃≤t≤16℃

汽車的胎壓2.2≤p≤2.5

乘車要求身高x和體重y要滿足140cm≤x≤190cm40kg≤y≤100kg

車速0km/h

酒駕20mk/ml

醉駕x≥80mk/ml

師：很好，大家有沒有注意到我們使用什么符號(hào)表示這些關(guān)系的呢？

生：不等號(hào)。（引出本節(jié)課要研究的主題：不等關(guān)系）

師：大家在回答上面的不等關(guān)系時(shí)，有沒有注意到一些關(guān)鍵性的詞語(yǔ)呢？

生：高于、低于、不大于、不小于、介于……之間、超過、不低于等。

師：這些詞語(yǔ)很重要，它是我們準(zhǔn)確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵。我們把它們叫做不等關(guān)系詞，我們需要準(zhǔn)確地區(qū)分這些不等關(guān)系詞，比如高于的不等關(guān)系符號(hào)是“>”，還有不大于就是“≤”等等，我們還要注意生活中的語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的區(qū)別，比如說身高在140cm到190cm之間，請(qǐng)大家想想怎樣用不等關(guān)系表示呢？

生：身高x滿足140cm

師：還有同學(xué)有不同想法嗎？

生：身高x滿足140cm≤x≤190cm。

師：這就是生活語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的區(qū)別，數(shù)學(xué)中的“之間”代表包含端點(diǎn)的意思，所以第二個(gè)同學(xué)的回答是正確的。

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想身邊還有哪些不等關(guān)系呢？比如說老師的腰圍會(huì)在什么范圍之內(nèi)？

生：我所穿的鞋子在20碼到40碼之間。

生：我的眼鏡度數(shù)大于100小于300。

師：看來數(shù)學(xué)與我們生活息息相關(guān)，無(wú)處不在啊。

3.不等關(guān)系在實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)模型。

（1）一元一次不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

【從簡(jiǎn)單的問題入手，容易打開學(xué)生思路。利用不等關(guān)系建立一元一次不等式數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。為后面的變式做鋪墊，使學(xué)生理解變式問題過渡更自然?！?/p>

問題1：《西游：降魔篇》普通票，每位60元。團(tuán)體票：50人以上（含50人），8折優(yōu)惠。那么看《西游：降魔篇》是買團(tuán)體票劃算還是買普通票劃算？

師：我們知道要是人數(shù)超過50或等于50人，當(dāng)然要買團(tuán)體票，那么是不是人數(shù)少于50都要買普通票呢？假如我們?nèi)藬?shù)不足50人，到底買哪種票合適呢？大家討論一下。

生：當(dāng)人數(shù)少于50時(shí)，團(tuán)體票是60×0.8×50=2400元，用=40，所以多于40人買團(tuán)體票，少于40人買普通票。

師：這個(gè)同學(xué)回答得非常好，不過他用的是等式的方法來解決這個(gè)問題的，那么有沒有同學(xué)能用不等關(guān)系解決這個(gè)問題呢？

一個(gè)學(xué)生邊講邊板書：

解：設(shè)看電影的學(xué)生有x人（x<50），

當(dāng)60x>50×60×0.8時(shí)，買團(tuán)體票劃算，所以x>40。

答：x>40時(shí)買團(tuán)體票劃算；x<40買普通票劃算；x=40兩種價(jià)格一樣。

師：影院為了增加收益對(duì)家庭觀影也提出優(yōu)惠方案。方案甲：如果戶主買一張票，其余家庭成員可享受五五折優(yōu)惠。方案乙：家庭觀影算集體票，按七五折優(yōu)惠。那么哪種方案最優(yōu)惠呢？

【此問題仍是一元一次不等式數(shù)學(xué)模型的具體應(yīng)用。此題是“問題1”的拓展，提高了對(duì)學(xué)生的思維要求，強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識(shí)，提高學(xué)生的思辨能力。通過計(jì)算兩種方案，讓學(xué)生學(xué)會(huì)比較不同優(yōu)惠結(jié)果，從而得出結(jié)論，提高學(xué)生分析數(shù)據(jù)，利用計(jì)算數(shù)據(jù)解決實(shí)際問題的能力?！?/p>

學(xué)生分組討論，教師到各組參與討論。

生：設(shè)家庭有x人要看電影，甲、乙兩種方案的收費(fèi)總額分別為y甲，y乙，

則y甲=60+0.55×60（x-1），y乙=0.75x×60

60+0.55×60（x-1）>0.75×60

∴x<且x∈N

答：兩口之家選擇方案乙比較優(yōu)惠，三口之家或多于三口的家庭選擇甲方案比較優(yōu)惠。

（2）一元二次不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

教師拿出一個(gè)小玩偶，展示給學(xué)生。

問題2：電影《西游：降魔篇》推出配套商品“西游人偶”來增加收益，已知“西游人偶”進(jìn)價(jià)每件40元，售價(jià)是每件60元，每星期可賣出300件。市場(chǎng)調(diào)查反映：每件漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件。要想獲得不少于6000元的利潤(rùn)，該商品的價(jià)格應(yīng)滿足怎樣的不等關(guān)系呢？該商品應(yīng)定價(jià)為多少元時(shí)，商場(chǎng)才能獲得最大利潤(rùn)？

【從這個(gè)實(shí)際問題中讓學(xué)生懂得進(jìn)價(jià)、售價(jià)、成本、利潤(rùn)、銷售額等概念，理清各量之間的關(guān)系。從變量設(shè)法的不同角度來解決此問題，主要培養(yǎng)學(xué)生解決問題的靈活性。通過學(xué)生板書，強(qiáng)調(diào)解題規(guī)范性。讓學(xué)生理解和掌握利用不等關(guān)系建立一元二次不等式數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題?！?/p>

生：設(shè)每件漲價(jià)x元，要想獲得不少于6000元的利潤(rùn)，則

（60+x-40）（300-10x）≥6000

師：大家看看他列出的不等關(guān)系是否正確，有沒有什么問題呢？

生：x∈N

師：很好，因?yàn)闈q價(jià)是以元為單位漲的，所以要有限制，還有問題嗎？

（學(xué)生不語(yǔ)，顯然沒有發(fā)現(xiàn)定義域不完整的問題。）

師：大家知道，建立不等關(guān)系要滿足實(shí)際意義，如果我們把價(jià)格一直漲上去，利潤(rùn)會(huì)一直加上去嗎？

生：不能，因?yàn)楫?dāng)漲價(jià)30元時(shí)，一件也賣不出去了。

師：對(duì)了，所以x∈[60，90）且x∈N，這是我們處理函數(shù)或不等關(guān)系問題的前提，就是定義域問題。

生：設(shè)每件定價(jià)為x元，x∈[60，90）且x∈N，要想獲得不少于6000元的利潤(rùn)，則

（x-40）[300-10（x-60）]≥6000

師：看來這個(gè)同學(xué)已經(jīng)提前預(yù)習(xí)了一元二次不等式的解法了，這可是我們第二節(jié)課才要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，希望大家都能養(yǎng)成預(yù)習(xí)的好習(xí)慣。大家看看商場(chǎng)的最大利潤(rùn)又是多少？此時(shí)的價(jià)格是多少？

生：設(shè)每件定價(jià)為x元，x∈[60，90）且x∈N，商場(chǎng)能獲得的利潤(rùn)為y元，

則y=（x-40）[300-10（x-60）]=-10（x-65）2+6250，所以當(dāng)x=65時(shí)，y有最大值為6250。

答：當(dāng)每件商品定價(jià)為65元時(shí)，商場(chǎng)能獲得最大利潤(rùn)為6250元。

生：設(shè)每件漲價(jià)x元，x∈[0，30）且x∈N，商場(chǎng)能獲得的利潤(rùn)為y元

則y=（60+x-40）（300-10x）=（20+x）（300-10x）=-10（x-5）2+6250，所以當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值為6250，此時(shí)商品的定價(jià)為60+5=65元。

答：當(dāng)每件商品定價(jià)為65元時(shí)，商場(chǎng)能獲得最大利潤(rùn)為6250元。

師：同學(xué)們的回答都非常好，由此看來學(xué)好數(shù)學(xué)可以幫助我們解決很多實(shí)際問題。

（3）二元一次不等式組（線性約束條件）的數(shù)學(xué)模型

問題3：

假設(shè)甲片是小成本電影，周星馳與王寶強(qiáng)演員費(fèi)預(yù)算不得超過500萬(wàn)，乙片，周星馳與王寶強(qiáng)演員費(fèi)預(yù)算不得超過1000萬(wàn)，如果周星馳兩部電影中的出場(chǎng)時(shí)間都是x分鐘，王寶強(qiáng)在兩部電影中的出場(chǎng)時(shí)間都是y分鐘，并且周星馳兩部電影的出場(chǎng)總時(shí)間不得低于2小時(shí)，王寶強(qiáng)兩部電影的出場(chǎng)總時(shí)間不得低于1.5小時(shí)。周星馳和王寶強(qiáng)的演出時(shí)間x、y應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

【讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)題目建立多個(gè)不等條件同時(shí)成立的不等關(guān)系問題，不等關(guān)系在二元一次不等式組（線性約束條件）中的應(yīng)用。通過此題讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)題目準(zhǔn)確地列出二元一次不等式組，為后面利用線性約束條件解決目標(biāo)函數(shù)問題做好鋪墊。】

生：5x+y≤50010x+3y≤10002x≥22y≥1.5

師：其他同學(xué)有不同想法嗎？

生：應(yīng)該是5x+y≤50010x+3y≤10002x≥1202y≥90

因?yàn)樗麄兊某鰣?chǎng)時(shí)間是按分鐘計(jì)算的。

師：非常好，這位同學(xué)觀察很仔細(xì)，對(duì)問題中的不等關(guān)系觀察得很準(zhǔn)確，首先我們要注意問題中的單位換算，然后我們一起來看看這個(gè)問題中有幾個(gè)不等關(guān)系，你們是不是也會(huì)很準(zhǔn)確地找出來。

生1：第一個(gè)不等關(guān)系是：甲片周星馳與王寶強(qiáng)演員費(fèi)預(yù)算不得超過500萬(wàn)，關(guān)鍵詞是“不得超過”，所以有5x+y≤500。

生2：第二個(gè)不等關(guān)系是：乙片周星馳與王寶強(qiáng)演員費(fèi)預(yù)算不得超過1000萬(wàn)，關(guān)鍵詞也是“不得超過”，所以有10x+3y≤1000。

生3：第三個(gè)不等關(guān)系是：周星馳兩部電影的出場(chǎng)總時(shí)間不得低于2小時(shí)，王寶強(qiáng)兩部電影的出場(chǎng)總時(shí)間不得低于1.5小時(shí)，關(guān)鍵詞是“不得低于”，所以有2x≤120，2y≤90。

師：同學(xué)們都很仔細(xì)認(rèn)真，觀察力很強(qiáng)。利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，就需要這樣的觀察力和嚴(yán)謹(jǐn)性，希望同學(xué)們把這么好的習(xí)慣保持下去。

師：我們?cè)偎伎家粋€(gè)問題?！段饔危航的穭〗M為影片上映做宣傳，準(zhǔn)備制作宣傳海報(bào)，已知宣傳海報(bào)由鋼管支撐，要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種。按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組呢？

【對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)滿足多個(gè)不等關(guān)系建立的鞏固練習(xí)和對(duì)容易漏掉某種條件（如x∈N，y∈N）的強(qiáng)調(diào)?！?/p>

生：設(shè)截成500mm的鋼管x個(gè)，600mm的鋼管y個(gè)。

則x，y所滿足的條件為500x+600y≤4000y≤3x

師：其他同學(xué)看看她解得對(duì)不對(duì)？

生：老師，我覺得不需要這么麻煩，一個(gè)關(guān)系式就可以了：

y=≤3x

師：大家看看這個(gè)式子，因?yàn)閥表示600mm的鋼管的根數(shù)，所以要y=成立，就必須沒有余料剩下來，但是實(shí)際中會(huì)不會(huì)有余料剩下來呢？

生：會(huì)的。

師：所以不能用這個(gè)式子表示600mm的鋼管的根數(shù)。

師：那么，同學(xué)們看看下面這個(gè)不等關(guān)系式還缺什么呢？500x+600y≤4000y≤3x

生：應(yīng)該加上x∈N，y∈N。

所以x，y所滿足的條件為500x+600y≤4000y≤3xx∈Ny∈N

師：很好，我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中建立不等關(guān)系時(shí)，第一要注意不等關(guān)系要符合實(shí)際意義，第二要注意所設(shè)未知量的單位。

4.當(dāng)堂反饋。

1.《西游：降魔篇》劇組決定給群眾演員提供快餐，快餐以面粉和大米為主食，已知面食每100克含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位；米飯每100克含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位?，F(xiàn)要求每盒快餐至少含8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，設(shè)每盒快餐需面食x（百）克，米飯y（百）克，試寫出x，y所滿足的條件。

解：根據(jù)題意可列表為

x，y所滿足的條件為6x+3y≥84x+7y≥10x≥0y≥0

師：這個(gè)題目有些同學(xué)一時(shí)沒有找準(zhǔn)不等關(guān)系，大家可以試著做一個(gè)表格來幫助我們解決這個(gè)問題，利用圖形、圖象解決數(shù)學(xué)問題是我們數(shù)學(xué)中一種重要的學(xué)習(xí)方法——數(shù)形結(jié)合法。

2.下表給出了三種食物X、Y、Z的維生素含量及成本：

《西游：降魔篇》劇組為了給群眾演員增加營(yíng)養(yǎng)，欲將這三種食物混合成100kg的食品分發(fā)給群眾演員，要使混合食物中至少含35000單位的維生素A及40000單位的維生素B，設(shè)X、Y這兩種食物各取xkg，ykg，那么x、y應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

解：因?yàn)閄、Y兩種食物各取xkg、ykg，所以食物Z應(yīng)?。?00-x-y）kg。

300x+500y+（100-x-y）300≥35000700x+100y+（100-x-y）300≥40000100-x-y≥0x≥0y≥0

化簡(jiǎn)可得y≥252x-y≥50x+y≤100x≥0y≥0

師：部分同學(xué)在設(shè)未知量的時(shí)候，設(shè)了3個(gè)，分別是三種食物各xkg，ykg，zkg其實(shí)根據(jù)食物的總重量為100kg，我們只要設(shè)兩個(gè)未知量就可以了，第三個(gè)用100-x-y就可以表示了，在設(shè)未知量解決問題時(shí)，應(yīng)該盡量減少未知量的個(gè)數(shù)，這樣便于我們后面解決問題。

3.由于鋼管造價(jià)太貴，《西游記2》劇組決定改用條形鋼材制作宣傳海報(bào)，把一批長(zhǎng)為2.5m的條形鋼材截成長(zhǎng)為60cm和43cm兩種規(guī)格的零件毛坯，若要使得余下的廢料最少，為了節(jié)省開支，求這批鋼材的最大利用率。（利用率=）

解：設(shè)截成長(zhǎng)為60cm和43cm兩種規(guī)格的零件毛坯分別為x根，y根

則60x+43y≤250x≤4y≤5x，y∈N

①當(dāng)x=4y=0時(shí)，每根條形鋼材余料為250-4×60=10cm

②當(dāng)x=3y=1時(shí)，每根條形鋼材余料為250-3×60-1×43=27cm

③當(dāng)x=2y=3時(shí)，每根條形鋼材余料為250-2×60-3×43=1cm

④當(dāng)x=1y=4時(shí)，每根條形鋼材余料為250-3×60-1×43=35cm

⑤當(dāng)x=2y=3時(shí)，每根條形鋼材余料為=99.6%

5.課后自主學(xué)習(xí)提高。

（1）《西游：降魔篇》中嘮叨的唐僧有一句臺(tái)詞叫“糖水加糖，甜更甜?！蹦隳苡貌坏汝P(guān)系表示這句話的含義嗎？

【此題是本節(jié)課建立不等關(guān)系內(nèi)容的加深，既要學(xué)生會(huì)根據(jù)具體問題分析未知量的設(shè)法，也要會(huì)根據(jù)問題條件建立適當(dāng)?shù)牟坏汝P(guān)系。】

（2）根據(jù)前面周星馳和王寶強(qiáng)的拍攝計(jì)劃表，如果你是王寶強(qiáng)的經(jīng)紀(jì)人，你能算出王寶強(qiáng)在兩部電影里最多能賺多少錢嗎？

【此題是在已建立的不等關(guān)系基礎(chǔ)上求解，為后面學(xué)習(xí)線性規(guī)劃和求目標(biāo)函數(shù)問題做鋪墊，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣?！?/p>

6.回顧鞏固。

（1）讓學(xué)生感受生活中的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（2）通過合作學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握建立不等關(guān)系的幾種數(shù)學(xué)模型：一元一次不等式；一元二次不等式；二元一次不等式組（線性約束條件）。

（3）讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用不等關(guān)系解決方案、選取、售價(jià)、銷量、利潤(rùn)等實(shí)際應(yīng)用問題。

（4）通過問題和思考將一些重要的數(shù)學(xué)思想（如分類討論、數(shù)形結(jié)合等）逐步滲透到學(xué)生的解題思路中，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到拓展和提高。

（5）通過學(xué)生之間的合作探究和自主發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生利用不等關(guān)系解決實(shí)際問題的能力。

（作者單位：江蘇省張家港市崇真中學(xué)）