夏炎

2013年3月21日至22日，正值春暖花開時節(jié)，由江蘇教育報刊總社與江蘇省中小學教學研究室聯(lián)合舉辦的2013年江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動在江蘇省寶應中學拉開帷幕，本人全程參加了寶應賽區(qū)數(shù)學課堂的活動，收獲頗多，感慨也頗多。本次展評活動高中數(shù)學的指定教學內(nèi)容是“不等關(guān)系”起始課，初中數(shù)學的指定內(nèi)容是“分式的乘除”，共十節(jié)展評課。正如這充滿活力的季節(jié)，本次展評活動精彩紛呈，執(zhí)教的青年教師基于新課程的理念，立足于教材的本色，立足于課堂的升華，立足于學生的發(fā)展，充分展示了各自的才華和特色。歸納起來有以下三大特色和亮點值得肯定。

第一個亮點，教師在課堂教學中不僅重功夫，更講藝術(shù)，尤其是在教學設(shè)計、問題構(gòu)思、課堂組織及手段應用等環(huán)節(jié)上，執(zhí)教者藝術(shù)地進行了加工，充分展示了青年教師的才華。

我們說在課堂上能將一個數(shù)學問題講清楚、講透徹，這是教師對自己的起碼要求，也是教師應有的基本功夫，而參評的教師都是各地選拔推薦來的，在這一點上一般都沒有什么問題。但要讓學生樂于聽、容易懂，要讓學生了解知識的背景和價值，特別是能夠讓所傳授的知識凸顯文化的積淀，使學生悟出其中的內(nèi)涵和思想，那就需要教師在藝術(shù)地設(shè)計教學過程、提煉教材的內(nèi)涵上下功夫了。

舉例1 張家港崇真中學刁克老師在《不等關(guān)系》這一課的引言及問題的討論過程中，通過情境創(chuàng)設(shè)和系列問題，環(huán)環(huán)緊扣，一氣呵成。

“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下?lián)P州。”三月的揚州是一個春意盎然的地方，今天老師不遠千里驅(qū)車來到這里。來之前查詢了天氣預報，得知氣溫的一個變化范圍；一路上看到了許多的限速標志；到了休息區(qū)需要解渴了，礦泉水瓶上水質(zhì)成分的標識，等等。

一系列的圖標、實物及實例，讓學生感受到實際生活中處處有不等關(guān)系。

接著他又通過系列問題的討論，讓學生初步感受不等關(guān)系的數(shù)學模型以及建立的過程及方法。

問題1：看某電影，普通票每位60元，團體票（50人以上，含50人）8折優(yōu)惠，問42個人買團體票劃算還是買個人票劃算？

問題2：組織一個班級去看這場電影，請你規(guī)劃一下買票的方案。

問題3：影院為了增加收益，對家庭觀看電影給出了這樣的優(yōu)惠方案。方案甲：如果戶主買一張票，其余的家庭成員買票可以享受五五折優(yōu)惠。方案乙：家庭觀看電影，所有成員均按七五折優(yōu)惠。請分析一下你自己的家庭去看電影，選擇哪個方案更好。

問題4：為了進一步增加收益，電影院還推出了與電影配套的“人偶”作為商品銷售。已知“人偶”進價每件40元，售價是每件60元，每星期可以賣出300件。市場調(diào)查顯示每件漲價一元，每星期“人偶”會少賣出10件。問：①要想在一個星期內(nèi)獲得不少于6000元的利潤，“人偶”售價應在怎樣的合理區(qū)間內(nèi)？②該商品定價為多少元，影院能獲取最大的利潤？

通過上述一系列問題的討論，學生對生活中的不等關(guān)系，對簡單不等關(guān)系的數(shù)學模型的構(gòu)建都有了初步的認識和了解。這節(jié)課的成功之處在于執(zhí)教者能準確把握這節(jié)課的內(nèi)容及要求，以及對不等關(guān)系數(shù)學概念的深刻分析。課堂上小組討論、合作探究、自主發(fā)現(xiàn)等教學模式的自如運用，也充分顯示了教師先進的理念和良好的功底。這節(jié)課的成功還在于教師在課堂組織及講解過程中充滿情趣的語言藝術(shù)，使人感覺課堂充滿了活力。

舉例2 興化中學趙春老師通過她的開放式問題設(shè)計以及多媒體手段的合理運用，使得她執(zhí)教的“不等關(guān)系”這節(jié)課充滿智慧。

趙老師的課堂引入從一個生活實例開始：“甲容器中的100毫升糖水中含有20克糖，乙容器中的200毫升糖水中含有30克糖，問甲、乙兩個容器里的糖水哪個更甜？”

教師請學生來品嘗并回答問題：“請你從數(shù)學的角度來說說理由?！薄澳苡靡粋€數(shù)學關(guān)系式來表現(xiàn)嗎？”“如果要使乙容器里的糖水比甲容器里的糖水更甜，問在甲容器里至少要放入多少克糖？請同學們來算一算?！?/p>

一系列問題的提出，學生自然地進入到了數(shù)學層面上的分析（而不僅僅是物理層面上的實驗），從而由感性認知上升到了理性的思考。最后，趙老師運用多媒體課件設(shè)計了八個“按鈕”，分別涉及商業(yè)、軍事、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、教育等八大行業(yè)，每個“按鈕”對應一組相關(guān)行業(yè)，其中含有一組不等關(guān)系的問題，讓學生自由選擇并分析、列式、思考，充分展示了不等關(guān)系在現(xiàn)實生活中運用的普遍性和廣泛性。

教學其實是師生之間、人與教材之間的一種溝通，溝通是一門藝術(shù)，需要激情，講究方法。如果一個教師肚子里有貨，備課也周全，卻不能很好地表達并傳授給學生，不能有效地解答學生的疑惑，那這樣的教師是不能吸引學生的，課堂教學也是不夠完美的。

第二個亮點，教師在課堂教學中不僅注重教師的展示，更關(guān)注學生的有效參與和能力的培育。

課堂的主角應當是學生，學生學會了什么？掌握的程度怎樣？又會運用多少？能否觸類旁通？還能進一步思考并提出問題嗎？諸如此類的問題應當是考量一節(jié)課是否成功、教學過程是否有效的重要標志。在這次展評活動中，多數(shù)教師都能關(guān)注這一點，努力將課堂打造成學生發(fā)展的平臺。

1.讓學生自己在情景中提出問題、發(fā)現(xiàn)方法。

舉例3 如東中學的陸麗老師在引入課題時提問：在100毫升糖水中再加入20克糖，糖水會發(fā)生怎樣的變化？為什么？

這一情境問題簡單明了。理由的闡述可以是生活化的——直接品嘗，可以是物理式的——體驗感悟，也可以是數(shù)學化的——列式分析，等等，有著廣泛的探索渠道和途徑。陸老師運用這一種方法有其道理，說明數(shù)學是講述道理的學科，也只有數(shù)學的滲透，物理學科才能更好地進行研究，才能成為名副其實的科學。

2.給學生時間和空間，讓學生對知識的積累有一個體驗、感知和構(gòu)建的過程。

在展評課上，幾乎每一位執(zhí)教教師都能提供生活中的事例來說明不等關(guān)系與我們?nèi)粘Ｉ畹年P(guān)聯(lián)。不僅如此，還進一步讓學生自己來舉例，從而為這一章節(jié)的后續(xù)教學打下一個豐富扎實的基礎(chǔ)。

3.啟發(fā)、引導并組織好學生的討論，不輕易去干擾和打斷學生的發(fā)言，善于發(fā)現(xiàn)其中的閃光點。

舉例4 蘇州第六中學的張胥奎老師在課堂上提出以下問題：“看某電影，普通票每位60元，團體票（50人以上，含50人）8折優(yōu)惠，問x（x≤50）個人看電影，買團體票劃算，還是買個人票劃算？”

一名學生給出了這樣一組不等式：

60x<50×60×80%；60x=50×60×80%；60x>50×60×80%

但這名學生并不能決斷問題的解，究竟是求解哪個不等式，顯然他還不太明了問題的關(guān)鍵所在，也不明白這些不等式的意義。張老師耐心地讓這名學生逐一分析解釋上述三個不等式的內(nèi)涵，肯定其從臨界狀態(tài)入手的思維和方法：先從等量關(guān)系列出方程：60x=50×60×80%，然后再在這個基礎(chǔ)上得出了問題的解。這一超出預設(shè)的問題成為了這節(jié)課的一個亮點。

4.讓學生學得簡單些、自然些、快樂些。

舉例5 太倉沙溪高中的魏志英老師在“不等關(guān)系”這節(jié)課上，圍繞列舉生活中不等關(guān)系的事例，設(shè)計了以小組為單位搶答計分的環(huán)節(jié)，請學生搶答不等關(guān)系的“關(guān)鍵詞”是什么？如何用不等式來表示？分析生活中含有不等關(guān)系意義的詞與數(shù)學中的“不等式”及其符號之間的關(guān)聯(lián)和區(qū)別。環(huán)環(huán)緊扣，教學的基本內(nèi)容在潛移默化中內(nèi)化為學生的知識。

5.創(chuàng)設(shè)合作學習和交流的平臺。

提出一個有價值的問題，往往是構(gòu)建良好的合作平臺及有效交流的前提，這樣的合作交流并不在于問題的難度，而在于其寬度，關(guān)鍵是教師用心與否。

舉例6 如皋中學夏雋老師和太倉沙溪高中的魏志英老師在引入課題時也提出了這樣一個問題：

“在100毫升糖水中再加入20克糖，糖水會發(fā)生怎樣的變化？”

在對這一問題討論并引申之后，接著又將問題反轉(zhuǎn)，問“不等式>；>（b>a>m>0）意味著什么？能給出解釋嗎？”

“你能構(gòu)造一個實際生活中的模型來說明不等式 <（b>a>0，m>0）的含義嗎？”

這個問題并不復雜，但挺有創(chuàng)意，也很有價值，不僅可以引導學生在一個新的平臺上合作交流，而且還可以啟發(fā)學生從多方位多角度去研究問題。

第三個亮點，教師在課堂教學中遵循大綱，尊重教材，但不是一味地按部就班，而是各顯神通，有所突破，有所創(chuàng)新，從而展示了教師各自的特色。

尊重課程標準，遵循教材大綱固然是必要的，但囿于教材按部就班就不可取了。同樣一本教科書，為什么有的教師上出了精彩，而有的則死板單調(diào)，原因就在于教師在教材的基礎(chǔ)上是否進行了恰當合理的設(shè)計、突破和創(chuàng)新。在遵循教材的同時，我們倡導教師拿出一部分精力和時間來耕耘自己的一份自留田，從而嘗試并形成自己的特色和風格。在這次展評活動中，我們也確實看到有許多青年教師大膽創(chuàng)新，敢于突破，對教材的加工和延伸做了有益的嘗試和探索。

舉例7 羊尖高級中學馬立軍老師從文字語言、符號語言和圖形語言三個方面闡述了不等關(guān)系的表現(xiàn)形式。他讓學生先回顧復習兩個實數(shù)在數(shù)軸上對應點的位置不同可以反映這兩個實數(shù)的大小，在進一步的舉例分析時，他又結(jié)合函數(shù)的圖象，運用直觀分析的方法，通過兩個函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，形象地闡述了對應的不等關(guān)系，這也為學生后續(xù)內(nèi)容的學習研究和問題的分析解決，特別是數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透和應用打下了基礎(chǔ)。

在這次展評活動中也暴露出一些問題，需要我們加以關(guān)注，也期待同行們一起來研討。

第一，要合理準確地領(lǐng)悟和把握教學內(nèi)容，延伸、拓展要講究一個度。

這次展評活動高中數(shù)學的教學內(nèi)容是“不等關(guān)系”起始課，是本章節(jié)的一段引言，如果按照以往常規(guī)教學，也許許多教師會幾句話一帶而過，從而進入后續(xù)所謂“實質(zhì)性內(nèi)容”的教學。所以展評活動選取這一教學內(nèi)容是很有價值的。

我們認為，在新教材中設(shè)置“不等關(guān)系”這一段引言，其目的有兩個：一是讓學生了解知識的背景，及其應用價值和文化意義。二是將前后知識聯(lián)系貫通起來，從而引領(lǐng)后續(xù)的學習內(nèi)容。因此，這一段內(nèi)容的教學有這樣五項規(guī)定動作：一是初中階段有關(guān)內(nèi)容的回顧復習。二是不等式的概念、意義及其表示。三是不等式的分類及其符號的含義。四是生活中與不等關(guān)系相關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵詞及數(shù)學化。五是實際問題中不等關(guān)系的數(shù)學構(gòu)建。當然還可以有所突破，設(shè)置一些創(chuàng)新動作，比如“不等式的圖形表示”“不等式實際意義的揭示和闡述”，等等。

在這次展評課中對教材的把握和理解存在著這樣兩個問題：一是教師在教材的處理上重后面的數(shù)學建模及其技巧，而對基本概念的復習深化重視不夠，功底還不到家。二是教師對實際問題中反映不等關(guān)系的關(guān)鍵詞的分析，尤其是對數(shù)學符號及其表述的聯(lián)系與區(qū)別，揭示得還不夠，比如“在15°～22°之間”“1.65米以上”，等等，在臨界點上往往模棱兩可，教師應當講清講透這些精確的知識。

第二，要講方法，講推理，更要講道理，從文化理性的層面上把握數(shù)學知識的傳授，從而突出數(shù)學課應該具備的數(shù)學味。

在展評活動中，初中數(shù)學的教學內(nèi)容是“分式的乘除”，執(zhí)教者先是讓學生回顧小學里分數(shù)的乘除運算及其法則：×=？，并有導向性地問：×=？÷=？，學生自然受到思維慣性的驅(qū)使，得出了分式乘除的運算法則。接下來是一連串的應用舉例和課堂訓練。

課后，我請學生說說×==；÷=×2=的道理，他們含含糊糊說不清楚，只是知道老師講過、書上寫了這樣的運算法則。學生會用，但不清楚其中的原委，這種現(xiàn)象值得教師重視。

由此，本人想到了曾經(jīng)經(jīng)歷過的一件事。在一次自主招生考試數(shù)學試題命題工作中，本人出了這樣一道題：

“古今中外，許多人致力于π的研究與計算。為了計算出π的越來越好的近似值，一代代數(shù)學家為這個神秘的數(shù)貢獻了無數(shù)的時間與心血。古人計算π，一般是用“割圓法”。歐幾里德用正96邊形得到π小數(shù)點后3位的精確度；劉徽用正3072邊形得到3.1410<π<3.1427；又過了大約200年，祖沖之發(fā)現(xiàn)了3.1415926<π<3.1415927，并且得到了有理數(shù)近似值，在歐洲，一直到1585年才發(fā)現(xiàn)了這個有理數(shù)近似值。這種基于幾何的算法計算量大，需要頑強的毅力和高超的技巧，因而也顯示了當時的數(shù)學發(fā)展水平。問題：請你說說圓周率的意義，為什么？請你說說道理。”

出這道題的目的有兩個：一是學生是否真正理解圓周率這一基本概念的意義。二是學生是否了解圓周率近似值的來龍去脈，以及“割圓術(shù)”這一方法?？荚囅聛淼那闆r是令人擔憂的，盡管從小學四年級開始，學生就接觸到了圓周率，有的學生可以將π背到小數(shù)點后面6位、10位、20位，但有57.6%的考生不能準確敘述圓周率這一概念，即“圓的周長與直徑的比值”。盡管學生對π運用已久，但有72.9%的考生不能說清它的由來，不知道什么是“割圓術(shù)”，可以說是“棄祖忘本”了。其中30.5%交了白卷，也許他們從來沒有接觸過這樣的考題，因而束手無策。是題目太偏？初中幾何教材第三冊在“圓”這一章節(jié)之后有一篇“讀一讀、想一想”，內(nèi)容便是“圓周率π的計算”，可能是教師或?qū)W生沒有當它一回事，讀后便忘了。是題目太難？事實上試卷中更難的題目一些考生都順利地解答出來了，能得90多分，就是不知道π的意義，也不清楚π的來歷，正如有些考生事后說的：“我們從來沒有學過數(shù)學史，也從來沒有做過這樣的試題，真不知道如何下手。”

我們常講的數(shù)學素養(yǎng)，應該包括四個層面，即數(shù)學意識、問題解決、邏輯推理和信息交流，其中最基本的是數(shù)學的觀念、態(tài)度和通識。我們現(xiàn)行數(shù)學教育的一個弊端，是重形式體系、重邏輯推理，輕人文意義、輕算理算法，這就造成了這樣的后果：能求解千奇百怪的數(shù)學難題（僅僅是“習題”，而不是“問題”），而不了解最基本的道理；能記住種種解題的模式（甚至作為經(jīng)驗廣為介紹），卻忘掉了數(shù)學的本源。因此我們倡導在數(shù)學教學中，要講解算法，更要講清算理。算法是一門工具、一種手段，而算理則是一種觀念，具有更多的人文精神。數(shù)學課上我們應當多講些什么？多做些什么？方法之根、思想之源，才是數(shù)學的理性所在，需要我們花大力氣去鉆研、去傳授！

第三，要善于處理教學過程中預設(shè)和生成之間的矛盾，及時應變，立足于學生的思維發(fā)展，而不能局限于預設(shè)好的教學案及課件的框架。

在展評活動中，我們看到參評的青年教師都做好了充分的準備，教學案精心設(shè)計，尤其是多媒體課件都非常精致，以至于在課堂上當有學生跳出這一框架，或回答獨辟蹊徑，或方法別具一格，或想法出乎意料時，教師的應變能力就有差異了，有的善于扭轉(zhuǎn)乾坤，機靈地引導學生回到自己預設(shè)的軌道，也有的出現(xiàn)了尷尬的局面，草草地打斷學生，強行將自己的想法灌輸給學生。

一節(jié)好課與教師周密的教學設(shè)計是分不開的。但時常也會出現(xiàn)這樣的情況：有好的預設(shè)，卻不一定能帶來好的效果。原因很簡單，因為課堂教學是師生之間的互動，是人與人之間活生生的對話，課前誰能完全預設(shè)到學生的所思所想呢？作為教師，在學會傳授的同時，還需要學會傾聽，學會對話。教學應當是一種對話，這種溝通必定是平等、民主的，教師走下了神壇，成為學生的對話者，構(gòu)筑起師生共同探討的平臺。

教學的過程是讓學生心靈開化的過程。人由蒙昧到覺悟、由混沌到開化，總有一個過程，教師決不能因為學生暫時的不覺悟、不開竅就喪失信心、失去耐心，更不能為了早日讓學生醒悟，不惜違背教育規(guī)律拔苗助長。教學還是一種告訴，是組織和引導學生重新去經(jīng)歷知識形成的過程，因此，教學過程具有開放性和靈活性，并不是完全預定、不可更改的，教師的權(quán)威不僅體現(xiàn)在知識的傳遞中，更是體現(xiàn)在與學生共同探究知識的過程中。教師教，學生照著做，充其量只是模仿。只有放手并鼓勵學生勇于探索，用心體驗，允許他們率性而為，寬容他們的失誤，才能跨越模仿，走上創(chuàng)造之路。

課堂教學需要周密的設(shè)計，但這種預設(shè)不能完全替代課堂上智慧的碰撞和交流，因為知識是豐富的，方法是靈動的，學生的思維更是百花齊放的。因此教師在做課前的教學設(shè)計時，不僅要備知識，備方法，更要備學生，要留有余地，甚至讓出空間給學生交流、展示、質(zhì)疑、碰撞。這樣的碰撞似乎感覺是無序的，或許也不在教師的備課范疇中，但卻是十分有益的，因為學生真正投入其中，并能主動地智慧地探索研究，這才是真正有效的學習活動。

第四，課堂上要教學生會學會練，更要教學生會想會問，給學生騰出更多的時間和空間。

正是由于預設(shè)性的內(nèi)容、課件及教學案的束縛，所以在課堂上教學生學得多，而讓學生問得少，尤其是有跨度、有價值的提問就少之又少了，特別是最后的課堂小結(jié)，教師往往三言兩語就草草收場了，沒有給學生留下有價值的需要課后進一步回味的問題。

目前我們的課堂教學普遍存在著這樣三個問題：一是學生的活動完全由教師調(diào)控和支配，教師可以隨時打斷學生的思考和討論，這樣的活動只是形式上的，是為知識的傳遞服務的，談不上民主，更體現(xiàn)不出主體意識。二是課堂上的提問也是完全在教師的主導之下，以低層次的推理性、記憶性問答為主，目的是檢查學生是否接受了。而“學問學問，貴在會問”，我們的學生會經(jīng)常向教師提問嗎？三是課堂的例題講解或習題安排是在低層次上反反復復，缺乏個性和創(chuàng)意。學生所學到的除了模仿還有什么呢？作為教師，特別要關(guān)注的是如何適時恰當?shù)亟槿雽W生的活動，盡可能少地去打擾、干涉他們的思考和探索，并充分地為他們提供合作討論、發(fā)表意見的時間和機會。如果教學只能是一個計劃、一種模式，學生怎敢越雷池半步？

蘇派的教學特色及成果需要幾代人的積累和提煉，需要更多年輕人的繼承、發(fā)揚和創(chuàng)新。根據(jù)數(shù)學教學自身的特色，我們不僅倡導蘇派教學的“大氣、精致、靈動、簡約”，還有必要在“思辨、厚重、嚴謹、留白”上多下功夫，期待有更多優(yōu)秀的數(shù)學青年教師脫穎而出。

（作者系江蘇省特級教師、江蘇省蘇州中學副校長）